Piramide non retta inserita in un cubo, misure di volume

Complementi di matematica

Geometria euclidea nello spazio

Esercizi Svolti

• Piramide regolare inserita in un cubo

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• Piramide regolare inserita in un cubo

Problema 1

Un cubo in figura ha lo spigolo di 6 cm. Considera la piramide _DMNV di vertice _V.

1. Spiega perché non è retta.
2. Verifica che tutte le sue facce sono triangoli isosceli.
3. Calcola l’area della sua superficie totale e il suo volume.
4. Calcola la distanza del punto _D dal piano _MNV.

a. La piramide non è retta perché la proiezione ortogonale _W del vertice _V sulla base non è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo _DMN, ovvero l’incentro del triangolo. Infatti le bisettrici degli angoli _DMN e _MND non passano per _W.

b. Il triangolo _DMN è isoscele, infatti

_{DM = DN = \sqrt{AM^2 + AD^2} = \sqrt{9 + 36} = 3\sqrt{5}}.

Il triangolo _VMN è isoscele, infatti

_{VM = VN = \sqrt{VP^2 + PN^2} = \sqrt{9 + 36} = 3\sqrt{5}}.

Segue che anche i triangoli _DMV e _DNV sono isosceli, poiché _{DM = VM} e _{DN = VN}.

b. Per calcolare l’area della superficie totale, calcoliamo l’area di ciascuna faccia Osserviamo che i triangoli _DMN e _VMN sono congruenti, poiché _{DM, VM, DN, VN} e il lato _MN è in comune. Il triangolo _DMN è isoscele su base _MN, che misura

_{MN = \sqrt{BM^2 + BN^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}}