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Metodi Numerici per l'Ingegneria - elaborato

Esercitazione per l'esame di Metodi numerici per l'ingegneria della professoressa Macconi. Nella relazione è riportata la function Matlab che realizza un algoritmo basato sul metodo di dei Trapezi e di Cavalieri-Simpson.
Il metodo dei Trapezi e quello di Cavalieri-Simpson consentono di calcolare in modo approssimato l'integrale di una funzione.
I risultati ottenuti sono dunque confrontati... Vedi di più

Esame di Metodi Numerici per l'Ingegneria docente Prof. M. Macconi

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Tema dell’elaborato

Tema dell'elaborato b )d

Data una funzione f reale ed integrabile sull’intervallo [a,b] f(

e definito I(f) = il

a

integrale, quest’ultimo può

suo essere approssimato attraverso una formula di

quadratura.

1. Scrivere una funzione Matlab che realizza un algoritmo basato sulla formula dei

trapezi;

2. Scrivere una funzione Matlab che realizza un algoritmo basato sulla formula di

Cavalieri Simpson; 2

-2

3. Data l’equazione sin( ) ∙ e

√ - 0.3 = 0:

l’integrale nell’intervallo [0,1] con la formula dei trapezi;

a) calcolarne

calcolarne l’integrale nell’intervallo [0,1] con la formula di Cavalieri

b) - Simpson;

funzione Matlab “quad”.

c) confrontare i risultati ottenuti con la Pagina | 3

Capitolo 1- Integrazione numerica

1. Integrazione numerica

Un problema che spesso ricorre è quello di dover calcolare l’integrale di una funzione

b )d

f(

f(x) a valori reali in un intervallo [a,b]: I(f) = .

a

Talvolta, tuttavia, l’integrale può risultare difficile da calcolare o non essere valutabile

in forma esplicita; in tali situazioni l’integrale può essere approssimato con una

formula di quadratura, detta anche formula di integrazione numerica.

Le formule di quadratura sono algoritmi di approssimazione dell’integrale ottenuti

dalla integrazione di una approssimazione della funzione integranda.

,i = 0,…,n nodi distinti [a,b] l’approssimazione di I(f) è

Fissati x ottenuta sostituendo

i

alla funzione integranda il polinomio di Lagrange che la interpola nei nodi suddetti.

b b b

ni=0

)d ( )d ∑ ( )d

f( p f( ) ∙ l

∫ ∫ ∫

Dunque I(f) = = , in cui l è il polinomio

i i

n i

a a a

caratteristico di Lagrange. –

Le formula dei trapezi e la formula di Cavalieri Simpson sono esempi significativi

della formula definita in precedenza corrispondenti ai casi n = 1 ed n = 2.

1.1 Formula dei trapezi

La formula dei trapezi si ottiene sostituendo

alla funzione f il polinomio interpolatore di

Lagrange di grado 1 relativo ai nodi x = a

o

ed x = b.

1

L’espressione della formula di quadratura

risulta dunque essere:

b b

)d ( )d

f( p

∫ ∫

I(f) = , essendo p (x)

1 1

a a

la retta congiungente i punti di coordinate Figura 1.1 – Formula dei trapezi

(a,f(a)) e (b,f(b)).

In definitiva il valore dell’integrale viene approssimato con l’area del trapezio avente

estremi dell’intervallo.

altezza h = (b-a) e basi date dal valore di f(x) agli

b a

- ∙[f(a)+f(b)].

Dunque I(f) = 2 3

Si dimostra che l’errore di quadratura che si commette risulta proporzionale ad h .

1 3

∙∙h ∙f’’(ϵ),

Per esattezza E = - h = (b-a).

T 12 l’approssimazione.

Per cui maggiore è il numero di nodi e migliore è Pagina | 4

Capitolo 1- Integrazione numerica

1.2 Formula di Cavalieri - Simpson

La formula di Cavalieri Simpson si ottiene

integrando sull’intervallo [a,b] il polinomio

interpolatore di Lagrange di grado 2 di f nei

a b

nodi x = a, x = = ed x = b.

o 1 2

2

L’espressione della formula di quadratura

risulta dunque essere:

b b

)d ( )d

f( p

∫ ∫

I(f) = , essendo p (x)

2 2

a a

la parabola passante per i punti suddetti. Figura 2.2 – Formula di Cavalieri - Simpson

b a a b

- )+

∙[f(a)+4f(

Dunque I(f) = f(b)].

2 5

che l’errore di quadratura che si commette risulta proporzionale ad h

Si dimostra .

b a

1 -

5 (4)

∙h ∙f

Per esattezza E = - (ϵ), h = .

S 0 2

Anche in questo caso minore è h e minore è l’errore che si commette con

l’approssimazione.

In ambedue i casi, quando l’ampiezza dell’intervallo di integrazione [a,b] non è

abbastanza piccola l’errore di quadratura (E ,E ) può essere molto grande.

T S

Questo problema può essere superato con le formule di quadratura composite.

Sostituendo ad f sull’intervallo [a,b] l’interpolante di Lagrange di grado 1 su m (m 1)

sottointervalli, la formula dei trapezi composita si può scrivere come:

b a

m-1 -

(f(

∙∑ ) f( ))

I(f) = , H = .

=0 m

2

Analogamente sostituendo ad f su [a,b] il polinomio interpolante di grado 2, la

formula di Cavalieri Simpson composita si può scrivere come:

b a

m-1 -

(f(

∙∑ ) f( ) f( ),

I(f) = H = .

=0 m

3 Pagina | 5

Capitolo 2- Function del metodo dei trapezi e di Cavalieri - Simpson

2. Function metodo dei trapezi e di Cavalieri - Simpson

Struttura dell’algoritmo

2.1.

2.1.1. Metodo dei trapezi

Si riportano di seguito i passi necessari per la costruzione dell’algoritmo basato sul

metodo dei trapezi.

% Fun è la funzione integranda

% a è l’estremo inferiore dell’intervallo

% b è l’estremo superiore dell’intervallo

% Nmax è il numero massimo di iterazioni di confronto

% n1 è il numero iniziale di sottointervalli

% toll è la tolleranza assunta

1) Leggi: Fun, a, b, Nmax, n1 e toll.

2) h1 = (b-a)/n1

I1 = 0

per (Contatore1 = 1:n1)

Festri1 = Fun(a + (Contatore1-1)*h1)

Festrs1 = Fun(a + Contatore1*h1)

I1 = I1 + ((h1/2)*(Festri1+Festrs1))

fine

n2 = 2*n1

per ( Iter = 1:Nmax)

I2 = 0

h2 = (b-a)/n2

per (Contatore2 = 1:n2)

Festri2 = Fun(a + (Contatore2-1)*h2)

Festrs2 = Fun(a + Contatore2*h2)

I2 = I2 + ((h2/2)*(Festri2+Festrs2))

fine

se |I2-I1| toll

I = I2

stop

altrimenti

I1 = I2

n2 = 2*n2

fine

fine

se (Iter == Nmax ed |I2-I1| > toll

I non raggiunto

fine

3) Scrivi: I Pagina | 6

Capitolo 2- Function del metodo dei trapezi e di Cavalieri - Simpson

2.1.2. Metodo di Cavalieri Simpson

di seguito i passi necessari per la costruzione dell’algoritmo basato sul

Si riportano –

metodo di Cavalieri Simpson.

% Fun è la funzione integranda

% a è l’estremo inferiore dell’intervallo

% b è l’estremo superiore dell’intervallo

% Nmax è il numero massimo di iterazioni di confronto

% n1 è il numero iniziale di sottointervalli

% toll è la tolleranza assunta

1) Leggi: Fun, a, b, Nmax, n1 e toll.

2) h1 = (b-a)/n1

I1 = 0

per (Contatore1 = 1:n1/2)

Festri1 = Fun(a + (2*Contatore1-2)*h1)

Fint1 = Fun(a + (2*Contatore1-1)*h1)

Festrs1 = Fun(a + (2*Contatore1)*h1)

I1 = I1 + ((h1/3)*(Festri1+4*Fint1+Festrs1))

fine

n2 = 2*n1

per ( Iter = 1:Nmax)

I2 = 0

h2 = (b-a)/n2

per (Contatore2 = 1:n2/2)

Festri2 = Fun(a + (2*Contatore2-2)*h2)

Fint2 = Fun(a + (2*Contatore2-1)*h2)

Festrs2 = Fun(a + (2*Contatore2)*h2)

I2 = I2 + ((h2/3)*(Festri2+4*Fint2+Festrs2))

fine

se |I2-I1| toll

I = I2

stop

altrimenti

I1 = I2

n2 = 2*n2

fine

fine

se (Iter == Nmax ed |I2-I1| > toll

I non raggiunto

fine

3) Scrivi: I Pagina | 7

Capitolo 2- Function del metodo dei trapezi e di Cavalieri - Simpson

2.2. Function

2.2.1. Metodo dei trapezi

function[Int,Out] = Met_Trapezi(Fun,a,b,Nmax,n1,toll)

%--------------------------------------------------------------------------

% Formula dei trapezi

%--------------------------------------------------------------------------

%

% function [Int,Out] = Met_Trapezi(Fun,a,b,Nmax,n1,toll)

%

% ||Input||

% Fun è la funzione da integrare

% a è l'estremo inferiore dell'intervallo di integrazione

% b è l'estremo superiore dell'intervallo di integrazione

% Nmax è il massimo numero di iterazioni di confronto

% n1 è il numero di sottointervalli a cui applicare il metodo dei trapezi

% toll è la tolleranza assunta

%

% ||Output||

% Int è l'approssimazione numerica dell'integrale

% Out è l'esito del procedimento:

% Out = 0 --> Si verifica il criterio d'arresto

% Out = 1 --> Non si verifica il criterio d'arresto

%

% ||Variabili tabella||

% Iter sono le iterazioni di confronto

% Diff è la differenza tra due soluzioni |Iter2-Iter1|

h1 = (b-a)/n1;% Ampiezza del primo intervallo

Int1 = 0;

for Count1 = 1:n1

Finf1 = feval(Fun,a+(Count1-1)*h1);% Valutazione della funzione negli

Fsup1 = feval(Fun,a+Count1*h1); % estremi dell'intervallo

Int1 = Int1+((h1/2)*(Finf1+Fsup1));

end

n2 = 2*n1;

disp(sprintf(' Iter Diff'))% Creazione tabella

for Iter = 1:Nmax

Int2 = 0;

h2 = (b-a)/n2;% Ampiezza del secondo intervallo

for Count2 = 1:n2

Finf2 = feval(Fun,a+(Count2-1)*h2);% Valutazione della funzione

Fsup2 = feval(Fun,a+Count2*h2); % negli estremi dell'intervallo

Int2 = Int2+((h2/2)*(Finf2+Fsup2));

end

Diff = abs(Int2-Int1);

disp(sprintf('%8.0f: %20.16e',Iter,Diff))% Inserimento dati Pagina | 8

Capitolo 2- Function del metodo dei trapezi e di Cavalieri - Simpson

if Diff <= toll;% Verifica del criterio d’arresto

Int = Int2;

Out = 0;

format long

disp(sprintf('\n Si verifica il criterio d''arresto:',Int))

break

else Int1 = Int2;

n2 = 2*n2;

end

end

if Iter == Nmax && Diff > toll

Int = 0;

Out = 1;

disp(sprintf('\n Non si è verificato il criterio d''arresto'))

return

end

end Pagina | 9


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DESCRIZIONE ESERCITAZIONE

Esercitazione per l'esame di Metodi numerici per l'ingegneria della professoressa Macconi. Nella relazione è riportata la function Matlab che realizza un algoritmo basato sul metodo di dei Trapezi e di Cavalieri-Simpson.
Il metodo dei Trapezi e quello di Cavalieri-Simpson consentono di calcolare in modo approssimato l'integrale di una funzione.
I risultati ottenuti sono dunque confrontati con la funzione Matlab "quad".


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria per la tutela dell'ambiente e del territorio
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Nobody.1990 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi Numerici per l'Ingegneria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Macconi Maria.

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