Meccanica razionale - Esercizi

Prova scritta di Meccanica Razionale e Meccanica Teorica

6 CFU14 Settembre 2018Prof. M. Vitello

Esercizio 1.

In un piano verticale Oxy, l’asta omogenea OA di lunghezza 2ℓ e massa M è incernierata in O e l’estremo A è collegato ad H da una molla di costante elastica k > 0, con H proiezione ortogonale di A sulla retta orizzontale y = 4ℓ. Un punto materiale P di massa M è vincolato attraverso un carrello a scorrere sull’asta OA.Supposti i vincoli lisci si chiede di determinarne:

1. il potenziale;
2. le posizioni di equilibrio discutendone la stabilità;
3. le equazioni della statica;
4. l’energia cinetica del sistema.

Esercizio 2.

Determinare il baricentro del corpo rigido costituito da una semiuscio di massa M e raggio R e da due OA e OB di massa m con OA di lunghezza L, come in figura.

Esercizio

O   m   R

AB    M   L

y_A=h

h cosθ > 0

F=∫^(l+a)_l f>0   B applicato, in B

m=1 + 1 = 2

y₁-x=x   y₂=θ

Imposta Arikuz

P₁=-mg⟨ x⟩

P₂=-M_y ⟨x + l + L cosθ ; h - L ¹/₂ sinθ⟩

F_x = -k⟨x-o⟩ = -kx_A - kh₁ ⟨ x ; h⟩

F=f_A

F=∫^{(   )}_B ⟨ x + R + L cosθ ; h - L sinθ⟩

Reazioni vincoli

φ_C ≠ φ_S

φ_C + φ_S

p ⊑ r

Equazioni statiche

|R_A + < f >=0

|R_C + M_y = 0

=> ⟨ - M_y f< >=0

|m₁ | m₁⟩ Kh φ_y = 01-1-1/ [ o-mg-p ]

B1 | non φ φ

S. B&B M

Porta ungu

V_F=β∣u_P, u₂ + u_e |

U_P1 = -m₁y_c = -m₁h

U_P2 = -M_yy_c = -M_y(h + ¹/₂ sinθ)

U_e = -k⟨o₂≠ = -k⟨x² + h²)

U_F

∮_O ⟨D⟩dx_αO = { λ + R + L cosθ⟩

┃U_o | = m_gh - f₀ ∣ (h-L ⟨cosθ) +

∣U₀ | /2

∮(x + R + L cosθ) ⟨

Esercizio

H+x²+l²+q₁+q₂+q₃ = 0

AB = 2l

CD

• m
• m = 0

F₁ = j₁

m = 1 + 1 = 2q₁ = x = q₂ = 1

R₁₂₃ XUV0

P_C1 = M ^5/3P_C2 = -m ^5/2

F₂ = -K (H - 14^*) = -K (lcosθ - cos(60°+θ))F = 1/2J³

φ₁, φ₂ = unocoloniφ_c = φ₄ = γ = 1/2I

S(k,t) = 5:1 5V +111

U = U_P1 + U_P₂ + U_P3 + U_E + U_FU_P1 = -my₁ = 0

U_P2 = -m_y2 = -mgi/2sinθU_P3 = -my₃ = -mg(lsinθ + l/2sin(60- θ))U_X = -K |HA^*| =

T_E = 1/2mw² = 1/2mV₂ + 1/2m_B1V₁²

R13 = 1/2IwlV² = 1/2ffx²

Combin^a57

cos θ [- m_gh + m_s s - k(r)]]

[] = 0

T₀₀ = 0

f_n = m a_F = m s

θ (s₀g) g sin (θ)

T₀₀ = 1/2 m v_p = 1/2 m s² + s²

v_p = (-școs θ + s θ sin θ)i + (șsin θ + s θ cos θ)j

v_p = [( ) + ( ) ] = ș² + s²

FORZE ATTIVE

P₁ = - m₁ g ȷ

P₂ = - m₂ b ȷ

F_z = - k (b̅ (x-o̅) - k (x+lcosθ) ȷ

G (x + ^l/₂ cosθ , - ^l/₂ senθ)

B (x + ^l/₂ cosθ , - l senθ)

REAZIONI VINCOLARI

ξ̅_c = ɸ₅ ȷ

ξ̅_p ɸ_s ȷ _{p, a, r, r}

(Ĩ_p , Ĩ_a) ȓ

EQUAZIONI STATICA

• R̅I̅_x + L̅I̅_o̅ = 0
• M̅_a + M̅ⁿ = 0

(1-A) = (0, ^l/₂)

(B-A) = (l cosθ , -l senθ)

(C-A) = (-^l/₂ , 0)

(D-A) = (^l/₂ , 0)

post. 2021

x = 2/πk

50 = di lagrangiana

mΔ²(ẋθ + cosθ₁)

cosθ = (m+ ẋ) [½θ -∫ζdi]₀

x = ∫d/∑ - ∫dθ

x = ∫dθ

V(x)

-k

U(x) = -k

V(P₁) =

½

-k

0

U(P₁) =

kj

0

0

F₀sen0= ½

V = ½m

1/(1)

p(x)

p = ½(m x² + m ℓ θ²) - ½(m ẋ ℓ - cosθ)

γ = ½m x² - ½m ℓ θ² + ½(m ẋ ℓ x θ cos θ)