Matematica Discreta - Esercizi

Esame di Matematica Discreta - 28 Maggio 2012 - (Prof. Sterle Claudio)

Esercizio 1.

a) Si diano le definizioni di relazione e di funzione. b) Sulla base della definizione di funzione iniettiva, suriettiva e biettiva. c) Dato il grafico della seguente funzione f : _R → _R (riportato di seguito) cosi definita: f(x) =

• e^x se x ≥ 0
• log_e(3 - x) se x < 0

Dire, motivando le risposte se f è iniettiva (utilizzando la definizione di funz. iniettiva), suriettiva, biettiva e invertibile. d) Se la funzione non è biettiva, qual’è la minima restrizione da fare sul dominio o sul range o su entrambi al fine di renderla biettiva?

Esercizio 2.

a) Si enunci il teorema cinese del resto e si dimostri l’esistenza della soluzione di un sistema di congruenze lineari. b) Risolvere (se possibile) il seguente sist. di congruenze lineari, calcolando l’inverso della seconda congruenza con l’algoritmo di Euclide.

• 5x ≡ 2 (mod 7)
• 73x ≡ 11 (mod 13)
• 7x ≡ 5 (mod 11)

Esercizio 3.

Si considerino i seguenti insiemi A={n ≤ 4, n ∈ _N}, B={n ≤ 12, n ∈ _N}, C={12 ≤ n ≤ 20, n ∈ _N}. a) In quanti modi si possono scegliere 4 elementi dall'insieme A? b) In quanti modi si possono scegliere 4 elementi dall'insieme A in modo che almeno due siano elementi di B? c) In quanti modi si possono scegliere 4 elementi dall'insieme A in modo che almeno due siano elementi di B e il valore 1 e il valore 20 non compaiono mai contemporaneamente?

Esercizio 4.

a) Si enunci e si dimostri il teorema di Rouche-Capelli per i sistemi lineari di equazioni. b) Si studi la seguente sist. lineare al variare di h ∈ _R (dire se ammette nessuna, una o più soluzioni motivando rigorosamente la risposta).

⎧ x + (h−1)y − 2z = 0 ⎪ (1+h)x − y + 2z = h − 1 ⎩ (h − 1)x + 2y − z = h + 2

Esercizio 5.

a) Si enunci e si dimostri il teorema della sommatoria di una serie geometrica. b) Si calcoli la somma della seguente serie telescopica.

• Σ_{n = 1} ^∞ √n+1 − √n / √n² + n

Esercizio 6.

Dire se i seguenti grafi G1, G2 e G3 sono isomorfi a due a due.

Esercizio 7.

a) Verificare le condizioni necessarie per la planarità del seguente grafo e dimostrare la sua planaritá o non planaritá con l’algoritmo di Kuratowski. b) E’ possibile avere un circuito o un percorso euleriano sul seguente grafo? c) E’ possibile avere un circuito o un percorso hamiltoniano sul seguente grafo? d) Di quanti colori abbiamo bisogno al massimo per colorare il seguente grafo?