Informatica - calcolo numerico

Y Y

2 1



a

1 

X X

2 1

da cui l’equazione desiderata.



Y Y

2 1



a

L’espressione è spesso indicata anche con la lettera m ed è il coefficiente angolare

1 

X X

2 1

della retta.

4.

Trovate a) il coefficiente angolare, b) l’equazione, c) l’ordinata all’origine e d) l’intercetta sull’asse

delle X della retta passante per i punti (1,5) e (4,1).

SOLUZIONE

a) Utilizzando l’equazione



Y Y

2 1

  

Y Y ( X X )

1 1



X X

2 1

si ha 

Y Y

2 1

 

m (-1-5)/(4-1)= -2



X X

2 1

Il segno negativo del coefficiente angolare indica che, al crescere di X, Y diminuisce:

b) L’equazione della retta è

Y – Y = m (X-X )

1 1

o

Y-5 = -2(X-1)

ossia

Y = 7 – 2X.

c) L’ordinata all’origine, che è il valore di Y quando X=0, è data da Y = 7-2(0) =7, come

d’altra parte si vede dal grafico.

d) L’intercetta sull’asse delle X è il valore di X quando Y=0. Sostituendo Y=0 nell’equazione

Y=7-2X abbiamo

0 = 7 – 2X cioè

2X = 7 ossia X= 3.5 .

Questo valore può anche essere visto dal grafico.

5.

a) Costruite una retta che interpoli i dati in tabella.

b) Trovate l’equazione di tale retta.

SOLUZIONE

a) Riportiamo i vari punti (1,1), (3,2), ecc. su un sistema di coordinate cartesiane come in

figura.

La retta interpolante è tracciata empiricamente nella figura. Per tracciarla nel modo corretto ci si

dovrebbe servire del metodo dei minimi quadrati.

b) Per ottenere l’equazione della retta, scegliamo due punti qualsiasi sulla retta, come ad

esempio P e Q, che valgono approssimativamente (0,1) e (12, 7.5).

L’equazione della retta è

Y = a + a X,

0 1

che applicata ai punti vale

1 = a + a (0)

0 1

7.5 = a + 12 a .

0 1

Si ottiene quindi

a = 1

0

a = 6.5/12 = 0.542.

1

Si ottiene così

Y = 1 + 0.542 X .

Altro metodo, usando



Y Y

2 1

  

Y Y ( X X )

1 1



X X

2 1

Y - 1 = [(7.5 –1)/(12 – 0)] (X – 0)

Y – 1 = 0.542 X

Y = 1 + 0.542 X .

6.

Interpolate i dati del problema precedente con una retta dei minimi quadrati, usando X come

variabile indipendente.

SOLUZIONE

L’equazione della retta è



Y = a N + a X .

0 1

Le equazioni normali sono

 

Y = a N + a X

0 1

   2

XY = a X + a X

0 1

Il calcolo delle somme viene ordinato per colonne:

Dato che ci sono 8 paia di valori di X e Y, N=8, e le equazioni normali diventano

8a + 56 a = 40

0 1

56 a + 524 a = 364 .

0 1

Risolvendo simultaneamente,

a = 6/11 = 0.545

0

a = 7/11 = 0.636.

1

La retta dei minimi quadrati richiesta è

Y = 0.545 + 0.636 X .

7.

(Applicazione alle serie temporali)

In tabella è riportata la produzione di acciaio di un certo paese in milioni di tonnellate durante gli

anni 1946-1956.

a) Tracciate il grafico dei dati

b) Trovate l’equazione della retta dei minimi quadrati interpolante i dati.

c) Stimate la produzione di acciaio per gli anni 1957 e 1958 e confrontate con i veri valori, che

sono rispettivamente 112,7 e 85.3 milioni di tonnellate.

d) Stimate la produzione di acciaio per gli anni 1945 e 1944 e confrontate con i veri valori, che

sono 79.7 e 89.6 milioni di tonnellate.

SOLUZIONE

a)

b)

Usiamo l’equazione

 xy

( ) x

y= 2

 x

dove x = X -X e y = Y -Y .

Il lavoro può essere ordinato come in tabella :

L’equazione richiesta diventa

Y = (434.1/110) x ossia y = 3.95 x

Che può essere riscritta nella forma

Y – 95.0 = 3.95 (X – 5) o

Y = 75.2 + 3.95 X

Dove l’origine X=0 è l’anno 1946 e l’unità di misura di X è l’anno.

c)

Usiamo l’equazione del trend Y = 75.2 + 3.95 X, dove X=0 corrisponde al 1951.

Quindi gli anni 1957 e 1958 corrispondono rispettivamente a X=6 e X=7.

Per X=6, Y= 75.2 + 3.95 (6) = 98.9

che non è sufficientemente prossimo al valore reale 112.7.

Per X=7, Y = 75.2 + 3.95 (7) = 102.85

che non è sufficientemente prossimo al valore reale 85.3 : ciò illustra il rischio implicato dal

procedimento dell’estrapolazione.

Gli stessi risultati possono essere ottenuti usando l’equazione del trend Y = 75.2 + 3.95X che ha

come origine l’anno 1946, ponendo rispettivamente X=11 e X=12.

d)

Usando la retta del trend Y=75.2 + 3.95X con X=-1 e X=-2, troviamo i valori

Y = 75.2 + 3.95(-1) = 71.2

e

Y = 75.2 + 3.95(-2) = 67.3 .

8.

La tabella dà la produzione di sigari negli Stati Uniti per gli anni 1945 – 1954.

Trovate l’equazione della retta dei minimi quadrati interpolante i dati.

SOLUZIONE

Compiliamo le colonne delle somme:

 xy

( ) x

L’equazione richiesta y= diventa

2

 x

Y = (-354.9/82.5)x ossia y = 4.30 x

Che può essere scritta nella forma

Y – 76.8 = -4.30 (X – 4.5) oppure

Y = 96.2 – 4.30 X

Dove l’origine X=0 è il 1945 e l’unità di misura di X è 1 anno.

Questa retta, detta retta del trend, è indicata nel grafico come linea tratteggiata.

9.

La tabella riporta le rispettive masse X ed Y di un campione di 12 padri e dei loro figli primogeniti.

a) Costruite un diagramma di dispersione

b) Trovate la retta di regressione dei minimi quadrati di Y su X

SOLUZIONE

a)

Si ottiene il diagramma di dispersione riportando i punti (X,Y) su un sistema di coordinate

cartesiane come in figura.

b)

La retta di regressione di Y su X è data da Y = a + a X, dove a0 e a1 vengono ottenute risolvendo

0 1

le equazioni normali

 

Y = a N + a X

0 1

   2

XY = a X + a X

0 1

Calcolate le dovute somme, si ottiene