Il proiettile sparato dall'alto

Il proiettile sparato dall’alto

Calcolare la gittata massima di un proiettile sparato da una altezza h rispetto al livello

del suolo e controllare i risultati ottenuti con un esempio numerico.

Per la risoluzione di questo esercizio e richiesto l’uso del calcolo differenziale.

Lo sviluppo e piuttosto complesso ma i risultati sono sorprendenti per la loro semplicità.

Siano la velocita iniziale del proiettile, θ l’angolo di tiro, h l’altezza rispetto al

v 0 02 /g la gittata massima del proiettile quando viene sparato con

livello del suolo e G = v

h = 0

L’equazione della traiettoria e:

Posto nella (1) y = 0 e h = k G con k > 0, la gittata x si trova risolvendo l’equazione:

G 2 2

Per convenienza di calcolo, ricordando dalla trigonometria che: 1 + tg θ = 1/cos θ;

tg θ = sen θ /cos θ; cos2 θ = (1+cos2 θ)/2 e 2sen θcos θ = sen2 θ, trasformiamo

con semplici passaggi algebrici l’equazione (2) in modo che tutte le funzioni

trigonometriche siano espresse nell’angolo 2 θ. Si ottiene:

La (2*) risolta per x ,ci fornisce la gittata x in funzione dell’angolo 2 θ :

G