Geometria analitica, condizione di perpendicolarità tra rette, problema svolto

Problema svolto

Scrivi l'equazione della retta perpendicolare alla retta di equazione: 11x-8y+4=0 che forma con i semiassi positivi delle ascisse e delle ordinate un triangolo di area 11.

Strategia per lo svolgimento

L'equazione generica di una retta nel piano cartesiano è: y=mx+q, dove m è il coefficiente angolare e q è detta ordinata all'origine. Il parametro m ci dà informazioni sulla pendenza della retta, questo coefficiente è il valore della tangente dell'angolo che la retta forma con la direzione positiva dell'asse delle x. Quando m è positivo la retta passa per il primo e il terzo quadrante, la retta è crescente, quando m è negativo essa passa per il secondo e quarto quadrante, la retta è decrescente. Il parametro q, individua il punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate, quando questo valore è nullo la retta passa per l'origine e la forma dell'equazione.

si semplifica diventando: y=mx. Per determinare l'equazione bisogna individuare questi due parametri: coefficiente angolare e intercetta.

La retta cercata deve essere perpendicolare ad una retta di cui è fornita l'equazione ed interseca il semiasse positivo delle ascisse e quello positivo delle ordinate. I segmenti intercettati sui due semiassi sono i cateti di un triangolo rettangolo di cui è nota l'area. Il triangolo giace dunque nel primo quadrante.

La condizione di perpendicolarità tra due rette si esprime mediante l'antireciprocità dei coefficienti angolari. Dall'equazione della retta, in forma implicita, si ricava il valore di m e poi se ne fa l'antireciproco. Nel problema il valore di m, della retta data è pari quindi all'antireciproco a -8/11, vale 11/8. Questo è il valore del coefficiente della retta ricercata.

L'equazione di questa retta può essere scritta nella forma esplicita: y=mx+q,

inserendo il valore dim appena trovato. Per sfruttare l'altra informazione bisogna individuare i due punti sui semiassi positivi. Il punto sul semiasse positivo delle ordinate è proprio l'ordinata all'origine della retta, indicato con O. Il punto sul semiasse positivo delle ascisse si ottiene mettendo a sistema l'equazione della retta A con l'equazione dell'asse x, sia B questo secondo punto. Questi valori si impone che l'area del triangolo sia pari ad 11, valore fornito nel testo del problema. L'area del triangolo rettangolo è calcolabile come semiprodotto delle misure dei due cateti: OA e OB. Sostituendo i valori in funzione del parametro q si ottiene un'equazione di secondo grado nella sola incognita q che fornisce due valori: q=+/- 4. Poiché è detto che la retta cercata interseca i due semiassi positivi, ed il triangolo è situato nel primo quadrante, il valore da considerare per q è sicuramente quello positivo.