Fondamenti Costruzione Macchine - Esercizi svolti

Esercizi vari di esami

Per la trave su due appoggi determinare il numero di tratti ditrave che occorre considerare, e calcolare per tali trattil'espressione analitica del momento flettente in funzione delcaricamento e della geometria della trave.

• Reazioni vincolari: Y_a = ......... , Y_b = .........
• n° tratti di trave: .........
• Espressione analitica M_f:.........

svolto a p. .........

Svolgimento

1. Reazioni vincolari

Possiamo ricavare Y_a e Y_b dalle equazioni della staticaAbbiamo 2 incognite quindi 2 equazioni

Ras. verti = Y_a + Y_b + F = P_max \(\frac{e}{2}\)

Rotazione B = Y_a . e + F\(\frac{e}{2}\) = P_max . e² - \(\frac{F}{2}\)²

= Y_a = P_max . e² - \(\frac{F}{2}\)

Y_b = 5P_max e - \(\frac{F}{2}\)

Il segno + assicura che i versi supposti erano corretti.

2. Momento flettente

è meglio dividere la trave in più parti, precisamentein 2 parti

I)

II) Vado a trovare il mom. flett. in funzione di x

M_f(x) = Y_A . x \(\frac{P_{max} . e . (e^2 \frac{F}{2})}{24}\) . x

Avrei, analogamente, potuto fare un equilibrio alla rotazione.

Ponendo come incognita il Momento M_f, posso dire:

-\(M_{f}\) - m_f + Y_a . x = 0 ...

Voglio sapere M_P(y)

Il trucco è il seguente.

Vado a prendermi un certo punto sulla coordinata y e, muovendomi verso la sua origine cerco di capire cosa ho alla destra.

In questo caso è difficile in quanto sulla destra ho un trapezio, allora uso il seguente procedimento.

Procedimento per sottrazione

Solo geometricamente intuito, quello corretto è il seguente.

MP_II(y) = MP_II-1(y) - MP_II-2(y)

MP_II(y) = Pmax . y . Y₂

ovvero Altezza (Pmax), base (y) e braccio (Y/2), in quanto

il braccio è la distanza dalla risultante, dall'origine di Y

(mom. ∂, ∂ma y)

Mf_II-2(y) = Pmax . Y . 1₂ Y_B = ... Y_B

1. In questo caso il primo termine è l'esp di una retta. Abbiamo m e y con m = Pmax
2. A questi termini dobbiamo aggiungere il contributo di YB, ovvero YB . y
3. - MF(III) = Pmax V . YB . y - Y³Pmax / 3ε ...

2) massimo valore mom. flettente.

Sebbene chieda il massimo valore mi conviene calcolare mol* con le coordinate. Immagino, ad ogni presenza di caricamente, vedo d opposte le leve. Quindi, per la presenza di Y_B divido le leve in 2. Mi conviene sempre mettere le stesse al bordo.

II] Taglio in un punto generico chiamato sezione mi basta dire che il mom. flettente vale la risultante di questa sezione per il braccio di questa sezione.

• M_f(_I) (x) = P · x · ^x/₂ = ^{P · x2}/₂

h base ↖; braccio ↙

III] Analogamente, ma con y, abbiamo

• M_f(_II) (y) = P · Y · ^Y/₂ = ^{P · Y2}/₂

h base ↖; braccio ↙

II] massimo valore, sia per I che per II si ottiene con x = e e y = e (con la differenza che uno parte da sinistra e uno da destra), ma è lo stesso punto

3) Deformata In tutta la struttura, le fibre tese sopra

Soluzione

Con il teorema di Mohr si va a costruire una trave ausiliaria che viene calcolata con la curvatura della Trave Reale. Una volta fatto questo avremo che:

• Taglio ausiliaria = Rotazione reale
• Momento ausiliaria = Freccia reale

1. Momento Flettente Trave Reale

M(x) = P * x = 2P * e

Adesso questo è un vero e proprio carico: \( \frac{P \cdot e \cdot 2}{3 \cdot EJ} \)

Calcolo T e \( \varphi_A \)

Traslazione Verticale = \(\gamma_A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{2 \cdot e}{3} \cdot \frac{P \cdot e^2}{EJ} = \frac{-2P e^2}{9 \cdot EJ} \)

Rotazione in A = \( m \left[ \frac{b \cdot h}{2} \cdot \frac{1 \cdot e}{3} \cdot \frac{2 \cdot e}{3} \cdot e \right]= 0\)

+ ^{Po e2}/₂⋅ d₂ = e^Po + ^{Po ⋅ e4}/₉₆ + ^{Po₂ ⋅ e}/_6a + ^{Po e4}/₉₆ + ^{Po e4}/₁₉₂ + ^{Po e4}/₉₆

+ ^{Po e4}/_2a + ^{Po e4}/₄₈₀ - ¹/_EJ = ^{Po e4}/₄₈₀ (29,75)

5) Frecce e Rotazione im D con PLV

^{e1/2 Po2 e4} x ^2e5

= 0 + ^{( Po e2 + Po e₂2 ⋅ Po₂2)}/_2eE⁵ ⋅ 1 ⋅ 1

= ¹/_EJ

= ¹/_{4 Po e³} + ¹/_12EJ = ^{Po e3} - ^Ph/_D

6) Frecce im D

In primo luogo o le = f_a = p_b Il bo ab interno vale

o_i = ^{e1/2 (1)}/₂

= ^{Po e2}/₂₄ + ^{Po e₂}/₄ + ^Po2/₌

= ^-/_EJ

¹/_E + ³/₁₂₃ - ^{Po ej2}

Svolgimento:

Facciamo ipotesi di completezza e supponiamo che con la rotazione in B.

In questo particolare caso non è importare conoscere la reazione vincolare in A.

1. Momento flettente.

Conviene dividere la trave in 2 tratti.

• M_F(I)(x) = 0
• M_F(II)(y) = -F*y = negativo se ^positivo.

Visto che in B non è possibile mettere una coppia ne una forza, ma devo inserire un filtro.

Quando le immagine devo calcolare il momento flettente. O detto da capo, o con supposto aggiungere effetti.

Osservazione:

Le coordinate devono essere le stesse.

1. Continuare una trave.

• Se inizialmente la base è stata divisa in tratti, io devo dividerla per gli stessi tratti.

In questo caso il mom. flettente dato da c è costante, e conviene dividere in 2 la trave in quanto

• -M_F(I) = M_F(II) = C

Svolgimento

Conosciamo tutto della forza F, direzione della reazione del vincolo e punto di applicazione della cerniera.

Per avere equilibrio le 3 direzioni devono convergere in un punto. Da quel punto tutte le forze avranno braccio nullo e sarà soddisfatto l'equilibrio alla rotazione.

• Determino, chiudendo il triangolo, le reazioni R₁ e R₂, che tengono in equilibrio il carico sulla cerniera.

Momento Flettente

Tolgo i vincoli e metto le azioni vincolari:

• Nel tratto BC il momento è dato dalla reazione R₁.
• Nel tratto AB ho la componente verticale di R₂, essa è più grande di R₁ e quindi il momento è più inclinato.
• Nel tratto BD il momento è dato dalla componente orizzontale di F.