Esercizi svolti, Macchine I

1. Data la seguente TP radiale, disegnare il triangolo di velocità (calcolare tutte le componenti delle velocità e gli angoli) della girante radiale operante con i seguenti dati. Calcolare il numero di pale, definire il grado di reazione e calcolare lo scorrimento.

• Uz = 18 m/s
• V2m = 2.4 m/s
• W2t = 5.4 m/s

Infine, utilizzando i seguenti dati, eseguire la verifica a cavitazione

• Q = 0.01 m³/s
• H = 55 m
• Z = 1.85 m altezza del bacino rispetto all'asse della pompa
• ΔH = 7.5% H
• ω = 157 rad/s

• TRIANGOLI DI VELOCITÀ, NUMERO DELLE PALE e SLIP FACTOR

  dai dati ho:

  ψ₂ = V_2m / U₂ = 0.1333

  V_2t = U₂ . W_2t = 12,6 m/s

  Ψ₂ = V_2t / U₂ = 0,7 → Rp = 1 - ψ₂/2 = 0,65 → PALE ALL’INDIETRO

  W_2m = V_2m = 2,4 m/s

  - MASSIMEZZO LE CLU: [V_1t = 0] → V_1m = V₁ → devo trovare V_1m

  _{In una prima approssimazione ipotizzo che: V1m ≈ V2m = 2,4 m/s}

  quindi ho che:

  V₂ = U₂/ω = 0,115 m

  FISSO Χ = 0,5 e uso l'equazione della portata

  → Q = π d_i2/2 (1 - Χ²) V_1m π/0,95

  ottengo:

  d_1e = 0,058 m

  d_1i = 0,029 m

  U_1e = ωd_1e/2 = 4,6 m/s

  U_1i = ωd_1i/2 = 2,3 m/s

  d₂ = 9,235 m

1.

Data la seguente TP radiale, disegnare il triangolo di velocità (calcolare tutte le componenti delle velocità e gli angoli) della girante radiale operante con i seguenti dati. Calcolare il numero di pale, definire il grado di reazione e calcolare lo scorrimento.

• U₂ = 18 m/s
• V_2m = 2.4 m/s
• W_2t = 5.4 m/s

Infine, utilizzando i seguenti dati, eseguire la verifica a cavitazione

• Q = 0.01 m³/s
• H = 55 m
• Z_b = 1.85 m altezza del bacino rispetto all’asse della pompa
• ΔH = 7.5 % H
• ω = 157 rad/s

• TRIANGOLI DI VELOCITÀ, NUMERO DELLE PALE e SLIP FACTOR

dai dati ho:

φ₂ = V_2m / U₂ = 0.1333

V_2t = U₂ . W_2t = 12.6 m/s

ψ₂ = V_2t / U₂ = 0.7 ➔ R_p = 1 - ψ₂ / 2 = 0.65 ➔ pale all’indietro

W_2m = V_2m = 2.4 m/s

➔ MASSIMIZZO L_EUL : | W_1t = 0 | ➔ V_1m = V₁ ➔ deno throse V_1m

In primissima approssimazione ipotizzo che : V_1m ≅ V_2m = 2.4 m/s

quindi ho che:

V_r2 = U₂ / ω = 0.115 m

FISSO X = 0.5 e uso l’equazione della portata

Q = π d_ie² / 2 (1 - X²) V_1m S_p / 0.95

ottengo :

d_ie = 0.058 m

d_ic = 0.029 m

U_ie = ωd_ie / 2 = 4.6 m/s

U_ic = ωd_ic / 2 = 2.3 m/s

d₂ = 9.23 m

INGRESSO

V_II = 0V_Im = 2,4 m/sV_I = √(0, 2,4 m/s²) = 2,4 m/sU_I = 4,6 m/sW_I = √(U_I² + V_I²) = 7 m/sα₁ = 90°β₁ = arccos(U_A/W_A) = 49°

USCITA

U₂ = 18 m/sV_2t = 12,6 m/sV_2m = 2,4 m/sV₂ = 12,03 m/sW_2t = 5,4 m/sW_2m = 2,4 m/sW₂ = 5,9 m/sα₂ = arccos(V_2t/V₂) = 10,8β₂ = arccos(W_2t/W₂) = 23.7

• Numero di pale: Z_p = β₂/3 ≈ 7,9 - ne prendo 7 (dispari e primo)
• Slip Factor: σ = 1 - 2/Z_p = 0,71
• β_{2 corretto} = arctg(ψ/(1-σψ)) = 14,8°

VERIFICA A CAVITAZIONE

2,5 ≤ S ≤ 23 per le TP RADIALI FISSOS = 2,75 = W/√(θ_hat)^3/4Dai dati troviamo che h_ot = 1,06 m

NPSH_disp = (P - Ps(t)) / ρg + V_I²/(2g) + z - 0,075H= 8 m (circa)

→ NPSH_disp > h_otOK

2. Il grado di reazione R_p nelle turbomacchine. Definizione analitica. Infine Tracciare i triangoli di velocità e il profilo delle pale del I stadio di una turbina assiale

U_max = 285 m/s, V_A = V₂

V_1t = 180 m/s,

V₁ = 350 m/s.

R_p = 0.75

- IL GRADO DI REAZIONE DEFINISCE IL CONTRIBUTO DI PRESSIONE DATO DAL ROTORE E QUELLO DATO DALLO STATORE.

R_p = ΔH_ROTOR / ΔH_STADIO = ΔH_ROT / ΔH_ROTT+ΔH_STAT = (L_EUL - ΔV_x) / 2

- IN PRIMA IPOTESI MASSIMIZZO L_EUL ( V_2t = 0, Ψ₂ = 0 )

OTTENGO R_p = -Ψ₄ / 2 CON Ψ_A = V_at / U_max ≈ 0,63

OTTENGO R_p = 0,69 †

IMPONGO R_p = 0,75 = 1 - ΔΨ / 2 -> ΔΨ = 0,5 = Ψ₁+ Ψ₂

ESSENDO LA MACCHINA ASSIALE ABBIAMO CHE:

V_2u = V_1u = (V₁² - V_2t²)^1/2 = 300 m/s

• INGRESSO: U = 285 m/s
• V_1t = 180 m/s
• V_1m = 300 m/s
• V₁ = 350 m/s
• W₁ = V₁ - V_1t
• W_1m = V_1m = 300 m/s
• W₁ = (ΓW_1m+ΔV_1t)²
• α = 59°
• β₂ = 70°
• USCITA: U = 285 m/s
• V_2t = 37.5 m/s
• V_2u = 300 m/s
• V₂ = 302 m/s
• V₂ = 302.2 m/s
• W₂ = 389 m/s
• α = -83°
• β₂ = 43°

3.

Considerate una turbomacchina motrice multistadio operante con i seguenti dati:

• T₀ = 1473 K
• T₂ = 1362 K
• φ_u = 0.85
• ψ_u = 1.2
• R_c = 0.5

Calcolare e di segnare i triangoli di velocità e lo scheletro delle pale rotatrici e statoriche del I stadio

0: ADOUZIONE1: INGRESSO ROTORE2: USCITA ROTORE

DATI CHE

T_A = (T₀ + T₂) / 2 = 1417.5 K

DAI DATI SI COMPRENDE CHE E' UNA TURBINA ASSIALE PERCHÉ ABBIAMO φ_ae e ψ_ae, FOSSE STATA RADIALE ψ sAREBBE STATO UNICO

LAVORO SPECIFICOL = c_p (T_A - T_e) = 1 h_Kj (1417.5-1362) = 7847.5 JEssendo R_c = 0.5 ON POSSO IPOTIZZARE ψ_A...

ottengo:

L_eu = U_aV_at - U₂V_2t -> a macchina è:U_A = U₂ + 4_eu = U_ae (V_A...

U = √(L_eu / ψ_ae - ψ_2e) ≈ 274 m/s

UTILIZZO I VALORI ESTERNI 1e e 2e PERCHE'POI LA VERIFICA A MACH È FATTA SU 2e

OTTENUTO U POSSO CALCOLARE:

INGRESSOU = 274 m/sV_m = 232,9 m/sV_t = φ_e U = 328,8 m/sW_te = |U - V_t| = 54,8 m/sW_me = V_m = 232,9 m/s

W_re = 239,8 m/sα = arctg(φ_e) = 35°β = arctg(V_me) = 77,7°

USCITAU = 274 m/sV_2m = V_m = 232,9 m/sV_2t = φ_e.U = 54,8 m/sW_2t = U - V_2t = 219 m/sW_2m = V_2m = 232,9 m/sW_2e = 320 m/s

VERIFICA A MACHC_s = √kRT = 740 m/s > 320 m/sM_a = 0,49 OK

FASE SIMMETRICA φ = 0,5

4. Disegnare i triangoli di velocità di una girante radiale operatrice

operante con i seguenti dati (assumere dati mancanti):

• ω = 6280 rad/s
• φ₂ = 0.14
• V_t = 0.7
• D₂/D_ac = 1.79
• χ = 0.66

eseguire verifiche di corretto funzionamento, se necessarie

Fisso: U_max = 400 ^m/_s (un buon valore per TC)

Calcolo V₂ = U_max/^ω = 6,37 cm → D₂ = 12,74 cm

Dai dati ho: D_ac = D₂/1,79 = 7._{11 cm} e D₁ = χD_ac = 4,7

per calcolare le rimanenti incognite devo fare delle ipotesi:

• massimizzo ψ _o → V_at = 0 ψ₁ = ψ_ac = 0
• assumo V_zm ≡ V_ami ≡ V_ame → V_loe prima approssimazione va bene

Velocità' sulla sezione di mandata costante

Ingresso ae

• U_ae = ω . R_ac = 223 ^m/_s
• V_at = 0
• V_ame = 56 ^m/_s = V_ae
• W_ae = U_ae = 223 ^m/_s
• W₁ = 230 ^m/_s
• α₂ = 90°
• β₁ = 20,8°

stesso valore → 20,8°

Ingresso si

• U_si = ωR_ac = 144 ^m/_s
• V_ti = 0
• V_mi = 56 ^m/_s = V_ii
• W_mi = V_ami = 56 ^m/_s
• W_it = U_ai = 8.₄ ^m/_s
• W_1i = 15,7 ^m/_s
• α₁ = 90°
• β₁ = 20,8°

stesso valore → 20,8°

Uscita 2

• U₂ = U_max = 400 ^m/_s
• V_t2 = ψ_t2 = 280 ^m/_s
• V_2m = V_2o = 56 ^m/_s
• W₂ = 205 ^m/_s
• W_2c = U₂ - V_t2 = 120 ^m/_s
• V_2m = V_2m = 56 ^m/_s
• W₂ = 133 ^m/_s
• Δ₂= cos^-1(V_1t/V₂) = 11,135°
• β₂ = cos^-1(V_ctW₂)= 25°

La verifica la faccio su W_ac (è il più grande)

ipotezzo 18° → c_s = √RT = 342^m/_s

H_ac = W_ae/c_s = 0,647 < 0,65 OK