Esercizi settimanali su matrici e numeri complessi

Esercizi settimanali di geometria

Settimana 1

Da consegnare lunedì 03 ottobre 2022

Esercizio 1

Calcolare la parte reale e la parte immaginaria di ognuno dei seguenti numeri complessi:

1. z₁ = (2 + i)(1 - 2i)(2 - 2i).
2. z₂ = (2 + √2i)(-1 + √3i)^-1(2 - 2i).
3. z₃ = (1 - √3i)(2 - 2√3i)(1 + 2i)^-1.

1(2 - 4i + 4i · 2i) : (2 - 2i) · (4 - 2i) · (2 - 2i) = 8 - 8i - 6 · 6 · 6i · 2 = (4i : 2 : (4 - 4i + 20i : 2 - 20i +1) · (-1 + √3i)^-1= (-4i + 4 2√2i + 2√2 4i), (-1 √3i = -2i 2i - √2i + √2 + √2i), (-1 - √3)₂) (-2 i : √2 i : √2 + √2 + 2), - ( - 1 - √3₂)z = 4 + √3i : - √2₂ - √2 - √2₂ + √3₂ - 1 - √5 iz = i - √5 · √2 + 4 · √2_- √2/2 + √2/2 + √2 + √3i + (i - √2 √2 + √2₂ - √2₂ - √2 - √3i3(2 - 2√3-2√3: + √2): (4 + z):=(-4 - 4 √3), 1 · 2·= (-4 - 4 √3) (4 1 · z · i) z= -4⁵ + 8³ - 4 √3/5₅+= 8 √3⁵ - 2√3/5 + √3₅ i+ 8√3/5 + 8√3⁰ i

01 Ottobre 2021 Nome, Cognome e Matricola

Esercizio 2

Rappresentare i seguenti numeri complessi nel piano complesso:

1. z₁ = ^{(1 + i)}⁄_√2
2. z₂ = ^{(1 - i)}⁄_√2
3. z₃ = (^{(1 + i)}⁄_√2)²
4. z₄ = (1 + i)²⁰²⁰

1. z₁ = ^{(1 + i)}⁄_√2 = ¹⁄_√2 + ⁱ⁄_√2

2. z₂ = ^{(1 - i)}⁄_√2 = ¹⁄_√2 - ⁱ⁄_√2

3. z₃ = (^{(1 + i)}⁄_√2)² = ^{1 + i + i - 1}⁄₂ = i

4. z₄ = (1 + i)²⁰²⁰   = ((1 + i)²)¹⁰¹⁰ = ([1 + i]²)¹⁰¹⁰   = (1 + i² + 2i()¹⁰¹⁰ ⁄ 2i   = 2¹⁰ · (-1)¹⁰¹⁰ = -2¹⁰¹⁰

01 Ottobre 2021 Nome, Cognome e Matricola

Esercizio 3

Usando solo gli otto assiomi di spazio vettoriale, dimostrare che in uno spazio vettoriale V:

1. Se v + u = w + u allora v = w, per ogni u, v, w ∈ V (Legge di cancellazione per la somma).
2. Il vettore nullo è unico.
3. Per ogni vettore v ∈ V esiste un unico opposto di v.
4. Dimostrare che tv = 0v se e solo se t = 0 oppure v = 0v.

1 v+u=w+u => v=w, ∀u,v,w∈VV=v+0v=v+(w-w)=(v+u)-(w+u)=w+(u-u)=w+0=w

2 Supponiamo per assurdo che esistano v₁,0v₁≠v ∀t.c. v+0v₁=v e v+0v₂=v, ∀v∈V0v₁=v-v+0v₂=0+0v₁+0v₂0=0v₁

3 ∀v ∈ V ∃! -vSupponiamo per assurdo che ∃ v₁,v₂ ∈ V t.c. v+(-v₁)=0v ∧ v+(-v₂)=0v, ∀v∈V-v=0v-v=v+(-v₂)-v= -v

4 0=0=0v4 TV=cv è vera se e solo se t=0v=t stesso è il vettore nullov=0v v=0v => t·0v=0v

01 Ottobre 2021 Nome, Cognome e Matricola

Esercizio 4

Trovare una matrice complessa X (della taglia appropriata) tale che -2X - 3A + 2B = A - (B + X) sapendo che

-2X - 3A + 2B = A - B - X

-X = 4A - 3B

X = 3B - 4A

X = 3( -√5i   0   0   1 )( 0   3 + i   1 - 2i   0 ) + (-A)( π   100   0   -40 )( -1   2   3   0 )( 2   4/12   -2   0 )( √2   2i   6   4 )

= ( -3√5i   0   0   3 )( 0   9 + i   3 - 6i   0 ) +( 3π   300   0   -120 )( -4   -8   -12   0 ) +( -8   -2   8   0 )

= ( -√2   -2i   -24   -16 )( 4 - 3√5i   -8   -12   3 )( -8   7 + 3i   1 - 6i   0 )( 3π - √2   300 -   8   -24   -36 )