Esercizi Fisica generale

Esercizio 1

1.

a = b cosαb = a cosα

C = a ∙ b = ab cosα

C = b ∙ b¹ = ba cosx

Uguaglianza: il prodotto scalare è commutativo, quindi riscriviamo.

2. Anticommutatività Prodotto Vettoriale

A × B = -B × A

A × B =

• | î ĵ k̂ |
• | A_x A_y A_z |
• | B_x B_y B_z |

= î(A_yB_z - A_zB_y) - ĵ(A_xB_z - A_zB_x) + k̂(A_xB_y - A_yB_x)

B × A =

• |î ĵ k̂|
• |B_x B_y B_z|
• |A_x A_y A_z|

= î(B_zA_y - B_yA_z) - ĵ(B_xA_z + B_zA_x) + k̂(B_xA_y + B_yA_x)

-B × A =

• | î ĵ k̂ |
• | -A_x -A_y -A_z |
• | B_x B_y B_z |

= î(-b_yB_z + B_zA_y) - ĵ(-b_xA_z + B_zA_x) + k̂ (-b_xA_y + B_yA_x)

A_xb - B × A̅ → A_yB_z - B_zB_y = BbA_z - A_yδ_z

A_xB_z - A_zB_x = b_xA_z + B_zA_x

A_xB_y - A_yB_x = B_xA_y + B_yA_x

A × B = -B × A̅ → AyB_z - A_zB_y = -b_yA_z + B_zA_y

A_xB_z - A_zB_x = -B_xA_z + B_zA_x

A_xB_y - A_yB_x = -B_xA_y + B_yA_x

PAG. 1

3)

DATI DUE VETTORI: _a = [-3; 5] e _b [8, -4; -1]

(Calcolare _a × _b)

_a × _b = _i -3 5 _k = _i [6 - 20] - _j [14 - 40] + _k [28 - 29]

= -26_i + 26_j- 5_k = 0

= û - 5 - 2_k = det(_a × _b)

_a × _b = [-1, 1, 2]

(Calcolare _a ⋅ _b)

_a ⋅ _b =a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = [(7×8) + (3×4) + (5×-2)] = -54

Calcolare Θ_AB

a⋅b = ab cosΘ_AB

ΘAB = arccos a⋅b |a||b| = 54√ax2+ay2+... 54√bx2+by2 54√8354 √...2

Θ_AB = arccos(0,642₁(818₄) = 130,29°

_a × _b = ab sin Θ_AB = 911⋅911⋅sin 130,29 = 63,72

(Calcolare D_AB)

|_a - _b | = ^{√ (Ax-Bx)2 + (Ay-By)2 + (Az-Bz)2}= √ 135 = 16,58

2^o Pag MARROCO, GIANLUCA / ING. CIVILE

Esercizio

• Dati:
• M₁ = 2 kg (3, 11, 16) m
• H₂ = 6 kg (21, 18, -7) m
• F₁₂ = ?

F₁₂ = G₁ M₁ M₂ / R₁₂³ = G₁ 12 kg [(3-21), (12-18), (16+7)] / [(3-21)² + (12-18)² + (16+7)²]^3/2

F₁₂ = -6,67 + 10^-11 N m² / kg² 12 kg [-24, 6, 23] / 3854,4737

Calcolare g sulla luna

• M_L = 7,34 * 10²² kg
• R_L = 1,74 * 10³ Km = 1,74 * 10⁶ m
• G₂ = 6,67 * 10^-11 N m² / kg²

g_L = G _L / R_L²

g_L = 6,67 * 10^-11 * 7,34 * 10²² / (1,74 * 10⁶)²

= 3,0276

= 16,36877395 * 10^-11 * [m/s²]

= 1,636877395 m/s²

Pag. 6

3) Determinare velocità e accelerazione istantanea

V_i(t) = (V_ocos, V_osen - gt, 0)

a_i(t) = (0, -g, 0)

Moto uniformemente accelerato perché da t=0 e t=t V_x costante

dV_x / dt = V_ocos dt   |₀^tdV_x = |₀^tV_ocos dt

dV_y / dt = V_osen - gt dt   |₀^tdV_y = |₀^tV_osen - gt dt

dV_z / dt = 0 o t   |₀^tdV_z = 0 o t

  | x(t) - x(0) = | V_ocos t

  | y(t) - y(0) = | (V_osen)t - 1/2gt²

  | z(t) = | 0

Legge oraria

R_t(t) = [[(V_ocos)t (V_osen)t - 1/2gt² 0 ]]

z(t) = 0 → Moto piano e si ha luogo in t_xy

Verifica con derivate prima delle leggi orarie

V(t) = [(V_ocos V_osen - gt, 0)]

Pag. 10

Esercizio

Rosso Gianluca Ing. Civile

a) Fissato V₀, trovare il valore di α affinché il proiettile ricade oltre il grattacielo

b) Trovare secondo quali condizioni di (V₀, α) è possibile colpire un oggetto posto a l₁ dal palazzo.

F_z = m β ŷ

Equazioni del moto

• a_x = 0
• a_y = -β
• a_z = 0

Condizioni al contorno

• x(0) = 0, y(0) = h₀, z(0) = 0
• V_x(0) = V₀cosα, V_y(0) = V₀senα, V_z(0) = 0

dV_x/dt = 0 → ∫₀dV_x = 0 → V_x(t) = V₀cosα

dV_y/dt = g → ∫₀dV_y = -g∫₀dt → V_y(t) - V_y(0) = -gt → V_y(t) = V₀senα - gt

dV_z/dt = 0 → ∫₀dV_z = 0 → V_z(t) - 0 = V_z(0)

V(t) = ( V₀cosα , V₀senα - βt ; 0 )

Pag 14

6) Calcolare E_K, E_P, E

E_K = ¹/₂ m v² = ¹/₂ m V(t)² = ¹/₂ m {(l_o - x_o ) w_o sen(w_o t)}²

= ¹/₂ m w_o² (l_o - x_o )² sen²(w_o t)

F_r = - dE_P/dx -> dE_P = Fdx = - K x

E_P = ¹/₂ K (l_o - l_o²)

E_P = ¹/₂ K [ (x_o - l_o) cos(w_o t) + l_o] - l_o²

E_P = ¹/₂ K [ (x_o - l_o) cos(w_o t) + l_o] - l_o