Esercizi Fisica generale

Esercizio 1 - Mappaggio grafico

• a = b cosα
• b = a cosα
• a · b = ab cosα
• c · b · a = ba cosα

UCUA: il prodotto scalare è commutativo geometricamente.

Anticommutatività prodotto vettoriale

A x B = -B x A

A x B = (\(\hat{x}\) \(\hat{y}\) \(\hat{z}\))(A_x A_y A_z) = \(\hat{x}\)(A_yB_z - A_zB_y) - \(\hat{y}\) (A_xB_z - A_zB_x) + \(\hat{z}\)(A_xB_y - A_yB_x)

B x A = (A_x A_y A_z) = \(\hat{x}\)(B_zA_y - B_yA_z) - \(\hat{y}\)(B_xA_z + B_zA_x) + \(\hat{z}\)(b_xA_y + b_yA_x)

-B x A = (-B_x - B_y - B_z) = -\(\hat{x}\)(-b_yA_z + B_zA_y) - \(\hat{y}\)(-b_xA_z + b_zA_x) + \(\hat{z}\)(-B_xA_y + B_yA_x)

A x B = -B x A => A_yB_z = B_zB_y = B_yA_z = A_yB_z

A_xB_z - A_zB_x = b_xA_z + b_zA_x

A_xB_y - A_yB_x = B_xA_y + B_yA_x

A x B = -B x A => A_yB_z - A_zB_y = -b_yA_z + B_zA_y

A_xB_z - A_zB_x = -b_xA_z + B_zA_x

A_xB_y - A_yB_x = -B_xA_y + B_yA_x

Esercizio 1 - Maero Conica Ing. Civile

\(\vec{a} = b \cos \alpha\)

\(\vec{b} = a \cos \alpha\)

c = \(\vec{b} \cdot \vec{a} = ab \cos \alpha\)

c = \(\vec{b} \cdot \vec{a} = ba \cos \alpha\)

Il prodotto scalare è commutativo geometricamente.

Anticommutatività prodotto vettoriale

\(\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}\)

\(\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}\)

\(\Rightarrow \hat{i}(A_y B_z - A_z B_y) - \hat{j}(A_x B_z - A_z B_x) + \hat{k}(A_x B_y - A_y B_x)\)

\(\vec{B} \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ B_x & B_y & B_z \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}\)

= \(\hat{i}(B_y A_z - B_z A_y) - \hat{j}(B_x A_z + B_z A_x) + \hat{k}(B_x A_y - B_y A_x)\)

-\(\vec{B} \times \vec{A} = -\hat{i}(B_y A_z - B_z A_y) + \hat{j}(B_x A_z + B_z A_x) - \hat{k}(B_x A_y + B_y A_x)\)

\(\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A} \Rightarrow -A_y B_z = B_z B_y = -B_y A_z - A_y B_z\)

A_xB_z - A_zB_x = B_x A_z + B_z A_x

A_xB_y - A_yB_x = B_x A_y + B_y A_x

\(\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A} \Rightarrow A_y B_z - A_z B_y = -b_y A_z + b_z A_y\)

A_xB_z - A_zB_x = -B_x A_z + B_z A_x

A_xB_y - A_yB_x = -B_x A_y + B_y A_x

Dati due vettori: a = [-7, 3, 5] e b = [8, 4, -2]

(Calcolare a × b)

┃ i     j    k ┃

┃-7    3    5 ┃ = i [6 - 20] - j [14 - 40] + k [-28 - 29]

┃ 8   4   -2 ┃ = -28i - 26j - 58k = 0 = u - j - 2k = det(a × b)

a × b = (-14, 1, 2)

(Calcolare a • b)

a • b = axbx + ayby + azbz = [(7×8) + (3×4) + (5×-2)] = 54

Calcolare OAB

a • b = ab cos OAB

OAB = arccos (a • b)

54 = √ax² + ay² + az² = √bx² + by² + bz²

OAB = acncos(0,64231/8184) = 130,29°

q × b = ab sin OAB = 911 - 917; per 130,29 = 63,21

(Calcolare DAB)

|a - b| = √[(Ax-Bx)² + (Ay-By)² + (Az-Bz)²]

= √135+26 582°

Calcolo â e b̂

â = √_ax² + ay² + az² = √(-7)²+(3)²+(5)² = 9.110433579 ≈ 9.11

b̂ = | bx + by + bz | + √(8*1) + 4*(2)^-2 = √84 + 9.16515139 ≈ 93.311

â [ a_x a_y a_z ] = (1/â) [ -7 3 5 ] [ b_x b_y b_z ] / b = [ 8 4 2 ]

√ [ 0.87 0.33 0.55 ] √ [ 0.87 0.83 ]