Esercizi di Statistica

FORMULE STATISTICHE

Freq. assoluta:

Freq. relativa:

Freq. cumulata o retrocumulata:

media aritmetica: 𝖵 = _i=1^k (x_j x µ_i )

oppure x_j = _i=1ⁿ (x_j x p_j)

se sono raggruppati in classi

𝖵 = _i=1^k (x_j x µ_i)

quartili Q_x X (n+1)

Mediana ( n+1 ) = ¶ ⁿ ₂ = ¶

range x_max - x_min

varianza: 𝖤² = _j=1ⁿ 𝑫 = _j=1 (x_i - µ_j) ^h

scarto quadratico S = _h^{n+1 i=1}(x_j - x_i)

cio devazione STD 𝜎 = ^{2 √(S2)}

Var coeff:

C(v) (CV) = ( S / x ) x 100

DISTRIBUZIONE NORMALE STD

Z = X - µ

σ

DISTRIBUZIONE UNIFORME Pr (X = x)

DISTRIBUZIONE DI BERNOULLI (dicotomica)

p^{(1-p) x} k

DISTRIBUZIONE BINOMIALE Pr (X = x) = (n / x)

p^{(1-p) n-x} x

DISTRIBUZIONE DI POISSON

Pr (X = x) = e^1λ

^K e^{-λ x}

x!

Intervallo di confidenza (α nota)

per la media µ

X ± 2zα σ

‣n

Intervallo di confidenza (σ incognita) per la media µ

t = ( X − µ / x/‣n)

t _{(con n-1 grd.l)}

Intervallo di confidenza per la p

proporzione

p^± = zα

_p(1-p)

p = x /n

≈ π_A -π_C = (π_A+πC)

± 2zα

(√α,β) _𝖪

Test Z per la media (σ nota)

Z = X - µ

∂/&sqrt;n

Test t per la media (σ non nota)

t =( X - µ ) S√n )

Test Z per le proporzioni

Z = (p) (P)

√((1-τ) / n )

Test a due campioni

test per le medie

Z = (_{X̄1 - X̄2}) - (_{μ1 - μ2})

-medie

σ₁, σ₂ note

_C1² / _{n1     C2²} / _n2

t = (_{X̄1 - X̄2}) - (_{μ1 - μ2}) con variabili sconosciute

Sp² = (_n1-1)S₁ + (_n2-1)S₂ / (_n1-1) + (_n2-1)

IC: < X₁ + X₂ ^{± t_α/2 ;} Sp²(_{1/n1 + 1/n2} )

e.g. t(_{μ1 = μ2}) GDL

Confronto proporzioni

Z = (_{P1 - P2}) - (_{Π1 - Π2})

p₁ - X̄; p₂ X̄₂ / n₂

P_- = X̄₁ + X̄₂ / n₁ + n₂

IC ± (P₁ - P₂)

P4(1/_n1 + 1/_n2 )

R(1-P_A) - P_(1-P)     P_O(1-P₀ )

Confronto varianze

Test F i.e., S₁²

n₁ - 1 GDL   F_i-1

n₂ - 1 GDL   F₁ = 1/F_a

S² = 1/n_m-1 Σ(y-g)²

ANOVA

SST =    SSA =    SSW =

F = SSA + SSW

HMT = SST / n - 1   F = MSA / MSW

HSA = SSW / n - q

c = _c-1 R(_SSA) ^ANSDen

Tukey-Cramer

RC = Qui = 1 - 1 / n_j / n_i

MSW / 2

Q = (^{Ȳ_j - Ȳ_n} + ^{M_J - M₄})

HSW / 2 = _{nJ + 1 / nM+2}

GDL / _nk+1

Chi Quad

χ² = Σ (^{(⍴_i - ⍴_e)2 / ⍴_e}) _freqlocale

TɪA-TɪB

Indipendenza

χ² = Σ (^{(ϕ_o - ϕ_e)2 / ϕ_e})

Expected: (Er total rig x    Tukhodi colonna N)

(4.4) Costruire un intervallo di confidenza a livello (1-α)=95% della differenza della proporzione di consumatori complessivamente soddisfatti (c₁ - π_A - π_C). Si commentino i risultati, in particolar modo con riferimento al punto (4.3).

IC_C95(π_A - π_C) = (p_A - p_C) ± z_α/2 √((p_A(1 - p_A) / n_A) + (p_C(1 - p_C) / n_C)).

Commenti:

• All’interno dell’intervallo di confidenza non è contenuto lo zero, quindi si può rifiutare l'ipotesi nulla, concludendo che ci sia una differenza tra le due proporzioni (π_A - π_C).
• Allo stato attuale, la proporzione di clienti soddisfatti in A è comunque significativamente migliore rispetto a C.

(5.1) Per meglio veicolare la futura comunicazione pubblicitaria, è importante poter identificare eventuali caratteristiche individuali dei consumatori legate alla soddisfazione del prodotto. Un aspetto potenzialmente legato alla soddisfazione è la lunghezza della barba (1=corta, 2=folta, 3=lungo, 4=molto lunga). Commentare i seguenti diagrammi a torta in cui viene riportata la soddisfazione complessiva in funzione della lunghezza della barba:

• Dal momento che la PROP di clienti soddisfatti tende a diminuire all’aumentare della lunghezza semberebbe ci possa essere un legame inverso tra lunghezza e soddisfazione.
• Osservando visivamente non ci sono tendenze chiare.

(5.2) Dopo aver completato la tabella di contingenza usando le frequenze assolute riportate nei diagrammi a torta, applicare una procedura inferenziale (indicando sistema di ipotesi e statistica test) finalizzata a stabilire se vi è un’associazione significativa (α=0,01), tra soddisfazione complessiva e lunghezza della barba. Commentare i risultati ottenuti.

• Al livello di significatività ha poco peso χ²_calcolato = 23,423.
• Crediamo che non ci sia sufficiente evidenza.

1. Per stabilire se la proporzione di consumatori soddisfatti é o meno la stessa rispetto alla lunghezza barba, si dovrebbe utilizzare

La stessa procedura applicata al punto (5.1); B Il test χ²; C Il test F-ANOVA.

(6.1) Il seguente diagramma di dispersione rappresenta la soddisfazione globale (analizzata in precedenza negli esercizi (4.1) e (4.2)) in funzione dell’età del consumatore. Commentare il grafico alla luce degli obiettivi dello studio.

• Ipotizziamo un legame debole, da confermare con ipotesi e test specifici.

Y₂ = 0,211 + 0,011X; Y, con X Età del consumatore.

(5.4) Completare la tabella dell'analisi della varianza e condurre una verifica di ipotesi a livello di signf. α=0,01, specificando le due ipotesi

H₀:β₁=0 H₁:β₁≠0

Per verificare se sussiste una relazione lineare significativa tra età e soddisfazione globale.

ANALISI VARIANZA

• Regressione 61 F0,01
• Residuo N-1-2 8,96
• Totale 449 Ha

Commenti:

Perché F_oss > F_e allora rifiuto H₀ quindi affermo che c’è una relazione.

(5.11) Il valore osservato della statistica test F_oss si trova nell’intervallo

• A) F_oss∈ [5;10]
• B) F_oss∈ [10;50]
• C) X

F_oss∉ [50;+∞)

(7) Fissato α=0,01, quale affermazione è FALSA?

• A) ∃ esiste una relazione lineare diretta tra età e soddisfazione globale
• B) L'età è un aspetto del consumatore legato alla soddisfazione;
• C) L’età è l’unico aspetto del consumatore legato alla soddisfazione

(5.5) Dopo aver fornito la definizione di residuo, commenta il seguente output:

residuo = somma dell'errore da campionamento cause

(8) Con riferimento al termine di errore casuale e del modello di regressione e del relativo residuo, quale affermazione è vera?

• A) E ed e possono coincidere;
• B) E è concettualmente collegato ad e;
• C) E è concettualmente indipendente da e.

(5.12) Con riferimento al punto (5.5), quale affermazione è vera? L’assunzione sul termine di errore è decisamente non supportata e

• A) l’indipendenza;
• B) la normalità;
• C) l'eteroschedasticità.

(6) Indicare la risposta corretta alle seguenti affermazioni, indicando unicamente una tra le tre possibili scelte.

1. L'asimmetria di una distribuzione di frequenza può essere definita per quale dei seguenti tipi di variabili?
2. A) Categoriale nominale; B) Dicotomica/binaria; C) ❑ numerica.
3. Quando ci sono due etichette (sì/no, presenza/assenza, ecc) utilizzati per identificare una caratteristica con due modalità/valori, si tratta di una variabile
4. A) categoriale nominale; B) ❑ dicotomica/binaria; C) numerica.
5. Il grafico appropriato per rappresentare la frequenza delle modalità/categorie di una variabile qualitativa nominale è
6. A) il biplot; B) il diagramma di dispersione; C) ❑ il diagramma a torta.
7. Dopo aver ordinato in modo crescente un insieme di valori numerici, 1° quartile è il valore che ripartisce la serie ordinata n-1 parti con
8. A) pari numerosità; B) ❑ ¼ di numerosità a sin. e ¾ a destra; C)❑ ½ di numerosità a sin. e ½ a destra.
9. [13] Dati n valori numerici, nel calcolo della varianza campionaria il valore da porre al denominatore è
10. A) n; B) ❑ n-1; C) 1/(n-1).
11. [14] Se un campione di numerosità n viene estratto da una popolazione non normale ma simmetrica, si può affermare che la sua
12. A) distribuzione campionaria; B) media campionaria; C) ❑ varianza campionaria distribuita anch’essa normale, per una dimensione della numerosità n>10.
13. [15] Poste due ipotesi nulle su vera, la probabilità con cui un ricercatore conclude correttamente che la differenza osservata tra le statistiche campionaria e il parametro della popolazione è dovuta al caso (non è significativa), è un concetto di...
14. A) Il livello di significatività del test; ^{B) Il livello di confidenza; C) ❑ Potenza del test statistico.}
15. [16] Nella scomposizione della somma dei quadrati del test F, Q campioni, la quantità SST si riferisce alla varianza
16. A) attribuibile alla differenza delle media y gruppo; B) complessiva della risposta numerica;C) ❑ del errore casuale.
17. Nella verifica di ipotesi per il confronto delle proporzioni di 2 popolazioni, se è vera l’ipotesi nulla la statistica test Z è in media pari a
18. A) 0; B) ❑ 1;
19. [18] Nell’ambito della regressione lineare multipla, la differenza tra il valore osservato della variabile dipendente e il valore previsto/stimato dal modello di regressione viene definita con il termine
20. A) ❑ errore casuale; B) residuo C) scarto quadratic.