Esercizi di Sistemi di servizio e simulazione

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA GESTIONALE

Prova di esame di

Sistemi di Servizio e Simulazione (6 cfu)

COGNOME: ______________________ NOME: ______________________ MATRICOLA: ______________________

Quesito A (Punti 8)

Enunciare e dimostrare il Teorema di Pollaczek-Khintchine.

Quesito B (Punti 4)

Illustrare la tecnica delle variabili antitetiche, evidenziandone la funzione all'interno della simulazione.

Esercizio 1 (Punti 4)

Si consideri un processo di nascita e morte con i seguenti coefficienti di natalità e mortalità:

• λ_n = λ, n = 0,1,2
• λ_n = (n + 1)λ / (n - 1), n ≥ 3
• μ_n = nμ, n = 1,2,3
• μ_n = n²μ, n ≥ 4

con λ, μ ∈ ℝ fissati.

1. Determinare sotto quali condizioni questo processo di nascita e morte raggiunge lo stato stazionario.
2. Determinare, se esiste, la soluzione stazionaria (in funzione di λ, μ).

Esercizio 2 (Punti 8)

Per un server di calcolo, un importante indice di prestazione è il cosiddetto tempo medio di risposta, ovvero il tempo medio che intercorre tra l'istante in cui un job è ricevuto dal server e l'istante in cui termina l'elaborazione del job stesso. Si vogliono confrontare le prestazioni di due diverse configurazioni: la configurazione (A) che prevede un solo processore che ha un tempo di elaborazione distribuito esponenzialmente con media 0.5 secondi e la configurazione (B) che prevede due processoriindipendenti che lavorano in parallelo ciascuno con un tempo di elaborazione distribuito esponenzialmente con media 1 secondo; in entrambi i casi si possono elaborare un job per volta, e in entrambe le configurazioni, i job che arrivano al server hanno uno stesso buffer di attesa gestito secondo la logica FIFO. Il tempo di interarrivo dei job al server sono distribuiti esponenzialmente con media 0.5 secondi.

• Descrivere un sistema a coda che può essere utilizzato per studiare il funzionamento del server.

Direte avere quale quota soddisfa i requisiti di un processo di nascita e morte.

Considerando la configurazione (A), determinare:

1. ρ_A, stima (in media) quanti job è necessario accettare al più non ci siano nuovi lavoratori.
2. l'unità percentuale del tempo medio di risposta e il rapporto di distribuzione crescente.

Considerando la configurazione (B), determinare le stesse quantità richieste ai punti c) e d) per la configurazione precedente, ovvero:

• e) quanti job al secondo (in media) possono essere al più ricevuti per avere un tempo medio di risposta non superiore a 2.5 secondi;
• L'incremento percentuale del tempo medio di risposta se il numero dei job ricevuto aumenta del 10%.

Da questo calcolo, concludere qual è la migliore configurazione tra le due proposte in termini di tempo medio di risposta.

In riferimento alla configurazione (B) con la frequenza media di arrivo dei job calcolata al precedente punto e), determinare:

• k) La probabilità che entrambi i processori siano inoperosi.
• L) il numero medio di job in attesa nel buffer.

Esercizio 3 (Punti 4)

Si vogliono generare osservazioni casuali da una distribuzione di probabilità che ha per funzione di distribuzione

F(x) = (1 - ^{2 cos-1(x)}⁄_π)²   0 ≤ x ≤ 1

attraverso il metodo della trasformazione inversa. Generare le prime 5 osservazioni ottenute utilizzando come generatore di numeri pseudocasuali in (0,1) un generatore congruenziale lineare moltiplicativo con a = 7, m = 11 e Z₀ = 9.

Esercizio 4 (Punti 4)

Si consideri una rete dati costituita da tre nodi come rappresentato nella figura ciascuno avente un router che provvede all'instradamento dei pacchetti. I pacchetti arrivano al nodo 0 (arrivi poissoniani) con media 10⁴ pps. In media, un

pacchetto è composto da 10³ bit. Supponiamo che il tempo che il router presente in un nodo i impieghi ad instradare un pacchetto sia distribuito esponenzialmente con media c_i bps, i = 0, 1, 2, 3. Ogni nodo è dotato di un buffer di attesa illimitato. Dal nodo 0, i pacchetti possono seguire il percorso verso il nodo 1 oppure il percorso verso i nodi 2 e 3. Supponiamo che, intervenendo sulle regole di routing, si possa decidere la proporzione di pacchetti che seguono i due percorsi. Si denoti con p la frazione di pacchetti che vengono instradati sul percorso verso il nodo 1. Utilizzando una rete di Jackson aperta per rappresentare la rete descritta, assumendo c₀ = c₁ = 2 · 10⁷, c₂ = 3 · 10⁷, c₃ = 4 · 10⁷, determinare:

• a per quali valori di p la rete raggiunge condizioni stazionarie;
• passo l'espressione del tempo medio di permanenza di un pacchetto nella rete in funzione di p;
• L il numero medio di pacchetti in coda in ciascun nodo se p = 0.5.

Esercizio 2

(a) M/M/1

(b) ^{μB = μ}

(c) μ = 2

ρ = λ/2 < 1

λ < 2

T = 1 / (μ - λ)

1/(2-λ) = 2.5 sec.

1 = 5/2 (2 - λ)

2 = 10 - 5λ

5λ = 8

λ = 8/5 = 1.6

da λ = 1.6 e λ = 1.76 (incremento del 10%)

per λ = 1.76

ρ = 1.76 / 2 = 0.88

T = 1 / (μ - λ) = 1 / (2-1.76) = 4.16 secondi

(d) da T = 2.5 sec. a T = 4.16 secondi (incremento frazionale 4.16 - 2.5 / 2.5 = 66.66%)

M/M/2

μ = 1

Es. 4

3/6/2019

In media un pacchetto è composto da 10³ bit

(_{μ0 - μ1} = 2 · 10⁷ / 10³

= 2 · 10⁴)

1 / μ₂ = 3 · 10⁷ / 10³ PPS

= 3 · 10⁴

μ₃ = 4 · 10⁷ / 10³ = 4 · 10⁴

• d₀ = 10⁴
• d₁ = 10⁴p
• d₂ = d₀(1-p)
• d₃ = 10⁴(1-p)

ρ₀ = d₀ / μ₀ = 10⁴ / 2 · 10⁴ = p / 2 < 1 OK

ρ_e = d_e / μ₁ = 10⁴p / 2 · 10⁴ = p / 2 < 1 OK

Anno Accademico 2018-2019

B

18 giugno 2019

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA GESTIONALE

Prova di esame di

Sistemi di Servizio e Simulazione (6 cfu)

COGNOME: NOME: MATRICOLA:

Quesito A (Punti 8) Ricavare le equazioni di Kolmogorov e la loro soluzione stazionaria.

Quesito B (Punti 4) Descrivere come si effettua l'analisi dell'output di una simulazione senza terminazione.

Esercizio 1 (Punti 4) Si consideri un processo di nascita e morte con i seguenti coefficienti di natalità e mortalità:

con λ, μ ∈ R fissati:

1. Determinare sotto quali condizioni questo processo di nascita e morte raggiunge lo stato stazionario.
2. Determinare, se esiste, la soluzione stazionaria (in funzione di λ, μ).

Esercizio 2 (Punti 8) Una società affitta appartamenti, per brevi e lunghi periodi, e attualmente dispone di 4 appartamenti che affitta ai clienti che arrivano. Da un’analisi statistica si è dedotto che l’arrivo dei clienti può essere considerato poissoniano con media in colonne ogni 5 giorni. Se un cliente arriva e trova tutti gli appartamenti occupati, si rivolge ad un’altra struttura della zona. Si è inoltre stimato che il tempo medio che un cliente rimane in un appartamento è distribuito esponenzialmente con media 15 giorni. Un appartamento è affittato a 400 Euro a notte.

1. Descrivere un sistema a coda che può essere utilizzato per rappresentare questa situazione.
2. Descrivere come tale sistema può essere ricondotto ad un processo di nascita e morte.
3. Determinare la probabilità che un cliente ha di arrivare e trovare tutti gli appartamenti occupati.