Esercizi per l'esame di metodi matematici

Ex.1)

f(x) = |x + 3| + √x

x + 3 + x     x ≥ -3

f(x) =     x - 3 + √x     x < -3

y=     {x + 3     x ≥ -3     -x -3      x < -3

cod(f) = [-3, +∞[ (domain limited supreme)]

è Monoton crescent ma la funzione no è Injectiva, ma rigida [−∞,+∞] [a,b] in sup-rid x [-∞, -x+3, 3] x [-4, +2] inclusa supreme. - + riduzione

lim [-∞, -2] a sottotot supreme + implement. - ma punto di union ass  (−∞-x-3]  lim - A.S         −∞ -E.S → E.P

min lim: A.S. 1°

punto di A.S. = 1 punto di A.X.          [∞, 0,1,0,1,    ∞] pub-A.Y AX[0,10] : 1 Ex.2) f(x) =         {3x+2/5    x ≤ 1

x + 2 + √2   x 1,2&esp;R

cod(f) = [] inf-sup[

x = x * 1, 23 +∞,

[a ≤ b ^R [¹2]

da (f) = R cod(f) = [0,2.3]  23+∞,₂R

puncto y, 6 [] [0,2]

x² . y =       {x^p(y       −y ⊃−x^p,[2]

puncto y 2.3 in &.p - Y . x^sup, 2 =       - 9 + 2 .      x^ -=, f^[-1](x)[,

f - (x) =       {x = P/x, x        x̟ - f^[-1](x)√[x−0,2]

x² . x =  2 .x       −⊃= y10,2

Esercitazione 2

1. x² ≥ 0   ∀x ∈ ℝ

   x² - 1 ≥ 0   x ∈ ℝ   ⇔   x ∈ V   ]∞, 1] ∪ [1, +∞[

   x² - x ≤ 0

   (x-1) (x+1) ≤ 0   I = [1, -1] ∪ ]1/2, +∞[

   (3x - 1)(2) ≤ 0   x ∈ I -3

2. Disequazione quadratica: (x - 1) (x + 2) ≤ 0   x ∈ ℝ, A forma (x^2 + bx + c)

   (x - 3)(x + 1) ≥ 0   Δ = -b ≤ A

3. Disequazione paramet: (x) -1) ≥ 0   ∀x ∈ ℝ

4. Disequazione var: Valore assoluto: (x + 2) (3x + 1)CO. Sistema risolto (composizione) x_s ≥ x

5. Equazione: variazione modulo x tra i membri pari

   3x + 1 = 2 1/3

   4x² - 3x - 1 ≤ 0

   -3 ≤ √9:16

   8/10x + 9 < 0/x + 4_5x -3

   {x - 9}(x - 1) < 0 5x + 7 ≤

   x -1 ≤ V x

6. Sistema

   |x| < 3  

   1/x > 3

   x < -7/2

   {X} = |8|

7. {¹/₂ = x + 1}

   -1 < x <

   -1/2 ∪ x > √(1/2)

8. Disequazione fratta: x³ - 2x² - 5x + 6

   x + 1 ≥ 0

   Q: x{^-1/0} ≤ 5 - X [3, +∞[

24) |(x²-4)| - 2 |3-x|

• x²-4 >= 0
• 3-x >= 0
• x <= -1 x >= 2
• -x < 3/2

x²-4, -2) > -3 + 2x, per x < -2

x²+4, -2, -3 + x, per -2 < x < 3/2

x²-4, -2, 3 + 2x, per x > 3/2

x²-4, -2, 3 + x per x >= 2

x²-2x-3 > 0, no x < -2

x²-4 >= 0 no -2, x-x,3/2

x²+2x-5 <= 0

x²-x+2 < 0

• (x-2)(x+1) > 0 no x ∈ ℝ
• -x < (
• x > -1

• x > 3/2
• -x > 5/8
• x > 2

x³-3 ∈ [1

x - 1 > 1 ∈ [1, +∞[

(x - 2) > (x-1)

³x + 1 <= 0

3-x >= 0

• 1/2, x < 1
• x > 3

x=3 [1/2, 3] 0

5)

2 +

• x + 1 > 0
• -2,1-c,x < 0

x-3) >

2 + x- > 0 per x > 1

Esercitazione 6

1. f(x) = √(x - 3)/(x² + x + 6) + log₃(8 - 3x)

   • { x + 3 _∈ D }
   • { x + 1 _∈ D }
   • { x - 3 _∈ D < 0 } => { x _∈ D }
   • x < 8/3

   S : {@em 8/3}

2. f(x) = log(x² + 4x - 3)

   • x + 1 _∈ [ -4, ∞ ]
   • x-1²_∈ √( )

3. f(x) = √(|x|) + (log log),

   • { x| q _∈ R }
   • log > 0
   • { log³ > log² log }

4. f(x) = ^x2/₃