Esercizi di Calcolo numerico

2^o Appello 2019

1. Detta la formula di quadratura

   ∫_-2² f(x) dx ≅ c₀f(-2) + c₁f(0) + c₂f(0) + c₃f(1)

2. Trovere cui cosiche le formule si estete sui polinomi di grado 3. P.: Potete le matrici in forma triangolare inferiore che determinate b₂? Si potrebbe che le matrici satisfa la factorizazione LU senza pivoting?

   • Trovare cui, l_i, l₂, e l₃ equivale a visibare il sistema del momenti
   • (1, 1, 1, 1), (-2, 0, 1, 0), (2, 0, 6, 10)
   • da cui c₀ = 0, c₁ = 8/3, c₂ = -4/3, c₃ = 8/3
   • Le matrici risilente he det = 4
   • percio le condizione per una factorizazione LU sono satisfette, senza pivoting

3. Si integri con la precedente formula di quadrature la funzione

   f(x) = (x-1)(x-3)(x+1)+x³-3 = x³ + x² - 4

   • Integro con il formula di quadrature
   • &frac{8}{3} f(-1) - &frac{4}{3} f(0) + &frac{8}{3} f(4) - &frac{32}{3}

4. Usando le formule dell’errore delle formula trapsoidale quali punti sono necessadi?

   • Ricordando che l’errore per la formula dei trapezi composta è

   B₁(f) = (b-a)³ max f(x)/12N²

   Errore f(x) modto (c), con f(c) = 3x + 2

   B₁(F) = 10^-5

   √NV(b-a)³max(f(x))/12B₁(F) = 2.7 x 10⁵ punti

   Con Simpson composto

   B₁(F) = (b-a)⁵ / 2880 N⁴

② Si consideri la funzione f(x) = e^x x + 1 [0, 2]

③ a) È l'unico zero in I_n, perché?

• Perché n non è annullabile in [0, 2] ed essendo il polinomio restante un primo grado avrà solo un zero in suddetto intervallo.
• Trasformo f(x)=0 in una funzione del tipo g(x)=0
• x = e^x + 1 ⇔ g(x) = e^x - x - 1

b) Individuare sottointervallo che contenga lo zero e svilppare un metodo con il punto fisso che converge ad α. Calcolare gli zeri di X_n+1 - X_n | ⁿ⁼⁰_1,2,3 partendo con x⁰ coincidente di uno dei due estremi dell'intervallo. Sapendo che l'ordine di convergenza è approssimato al passo d'ordine √ ₂

• g(x) = e^x + 1
• I = [1, 1.4]
• X₀ = 1
• Si verifica benevolmente assue |g(x)| cotrollo -3∼(-x1)

  • f'(x)= -∑ dx

  • ↑count(xu,p^xe 0^{1=0=c esiste> 5>15)}

  • deg"x' - - --

  • differenza punteggio ee^gx dan e'Ptoto infer ^<1

  ➥➣ vesuccesso δ_1 + &sub➀ 0

    g₂=0.45 ➥ CONVERGE PER ⩷ δ-2

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