Esercizi Analisi I Limiti, Dominio, Composizione

Analisi I - esercizi in preparazione dell'esame

1. Trovare il dominio delle seguenti funzioni:
   • \(\frac{\sqrt{x-1}}{x+2}\), \(\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}\), \(\sqrt{\log\left(\frac{x-1}{x}\right)}\)
   • \(\frac{1+\tan(x)}{1+\tan(2x)}\) con \(-\pi \leq x \leq \pi\)
   Successivamente, calcolare i limiti nei punti di frontiera dei rispettivi domini.
2. Trovare il dominio della seguente funzione:
   • \(\frac{x \sin(x) + 1}{\sin(x) - 1}\)
3. Trovare il dominio e l'espressione della funzione composta \(f(g(x))\) quando \(f\) e \(g\) sono le funzioni seguenti:
   1. \(f(x) = x^2 + x\); \(g(x) = \frac{x-1}{2x+5}\)
   2. \(f(x) = \sqrt[3]{1-x}\); \(g(x) = \frac{x^2+1}{x-3}\)
   3. \(f(x) = \sqrt{\log(x)}\); \(g(x) = \frac{x^2-1}{x}\)
   4. \(f(x) = \sqrt{e^x - 1}\); \(g(x) = x \sin(x)\)
   5. \(f(x) = \sqrt{\log(x)}\); \(g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\)
   6. \(f(x) = e^{x}\); \(g(x) = x^2 + 1\)