Esercitazioni microeconomia svolti

La condizione di ottimo che troviamo dividendo le prime due equazioni è:

Inserendola nel vincolo di bilancio otteniamo:

Per trovare la funzione di domanda è sufficiente procedere calcolando x:

Quindi:

Da questa funzione di domanda individuale deduciamo che il bene x:

- è un bene normale, poiché all’aumentare del reddito la quantità acquistata di x aumenta;

- non è un bene di Giffen, poiché esiste una relazione inversa tra la quantità acquistata del bene ed il

suo prezzo.

b) Nel caso di beni perfetti complementi si procede esattamente nello stesso modo. Mettiamo

dunque a sistema la condizione di ottimo con il vincolo di bilancio espresso in forma generale:

Dal sistema otteniamo:

Raccogliendo x:

Quindi la funzione di domanda individuale per il bene x è:

c) Facendo riferimento al punto b) dell’esercizio 2.8 possiamo derivare la funzione di domanda.

Eserciziario Molinari – Esercizio 2.15

Teoria del consumatore – Calcolo dell’effetto reddito e dell’effetto sostituzione

Le preferenze di Luigi per pizza (x) e birra (y) sono date da:

Il reddito di Luigi è di 120 euro.

a) Trovate il paniere ottimo quando e e rappresentatelo graficamente.

Ecco il vincolo di bilancio per il consumatore:

Ed ecco le intercette:

Troviamo il punto di ottimo:

Ecco le condizioni di primo ordine:

Dalle quali otteniamo la seguente condizione di ottimo:

Inserendola nel vincolo di bilancio:

Quindi l’ottimo per il consumatore è dato da:

Ecco la rappresentazione grafica dell’ottimo per questo consumatore:

b) Se il prezzo della pizza diventa 6, come cambia il paniere ottimo? Rappresentate graficamente.

In questo caso la nuova condizione di ottimo è ed il punto di ottimo sarà:

Il nuovo vincolo di bilancio è infatti:

Con le seguenti intercette:

Ed ecco la rappresentazione grafica di questo equilibrio.

c) Calcolate l’effetto reddito e sostituzione del bene x in corrispondenza di questa variazione di

prezzo. Dite se il bene x è un bene normale o inferiore. Rappresentate graficamente i due effetti.

Innanzitutto vediamo se il bene è normale o inferiore. Per farlo utilizziamo la curva di Engel.

Come abbiamo già visto, procediamo come se stessimo calcolando l’ottimo, ma nel vincolo di bilancio non

specifichiamo il valore del reddito.

Dunque, il nostro problema di ottimizzazione sarà:

Con il seguente vincolo:

Dunque:

Ottimizziamo:

Dividendo la prima per la seconda troviamo la condizione di ottimo:

La inseriamo nel vincolo di bilancio:

La curva di Engel, dunque, sarà:

Dunque il bene è normale, poiché all’aumentare del reddito aumenta anche la quantità consumata di x.

Passiamo ora al calcolo dell’effetto reddito e dell’effetto di sostituzione e alla loro rappresentazione grafica.

Calcolo numerico

Ecco i 4 passi da seguire per il corretto calcolo numerico dell’effetto di reddito e dell’effetto di sostituzione:

a) Calcolo della prima condizione di ottimo e del primo punto di ottimo (PUNTO A).

La prima condizione di ottimo era ed il punto di ottimo era

b) Calcolo della seconda condizione di ottimo e del secondo punto di ottimo (PUNTO B).

La seconda condizione di ottimo era ed il secondo punto di ottimo era .

c) Mettere a sistemala curva di indifferenza calcolata nel primo punto di ottimo con la seconda

condizione di ottimo (PUNTO C).

Calcoliamo la mappa delle curve di indifferenza per questa funzione di utilità:

La curva di indifferenza nel primo punto di ottimo sarà dunque:

La seconda condizione di ottimo era:

Mettendo a sistema le due otteniamo:

Quindi, facendo tutti i passaggi:

Ora, dato che in economia le quantità negative non esistono, prendiamo solamente il risultato positivo.

d) Calcolo definitivo degli effetti.

Prima di tutto, è importante capire qual è la differenza tra il punto di partenza (A) ed il punto di arrivo (C).

Questo è il risultato della somma tra l’effetto di reddito e l’effetto di sostituzione.

Nel primo punto di ottimo, x valeva 15. Nel secondo punto di ottimo x valeva 10.

Quindi, il risultato dell’applicazione dei due effetti è:

Effetto di sostituzione. È il passaggio dal punto A (valore 15) al punto C (valore 12,2474). Dunque l’effetto di

sostituzione misura:

Effetto di reddito. È il passaggio dal punto C (valore 12,2474) al punto B (valore 10).

Controlliamo ora che i nostri calcoli siano corretti:

Rappresentazione grafica

Anche per la rappresentazione grafica saranno necessari gli stessi 4 passaggi:

a) Disegnare il primo punto di ottimo (PUNTO A)

b) Disegnare il secondo punto di ottimo (PUNTO B)

c) Disegnare il risultato dell’effetto di sostituzione. Per fare questo è necessario disegnare un vincolo

di bilancio (si chiama aggiustato, o fittizio) che si muova parallelamente al vincolo di bilancio dopo

la variazione di prezzo e che sia tangente alla precedente curva di indifferenza.

Questo perché l’effetto di sostituzione porta il consumatore all’acquisto del bene relativamente

meno caro, mantenendo però lo stesso livello di utilità di partenza.

d) Definire gli effetti di reddito e sostituzione.

Ecco la rappresentazione grafica richiesta:

Suggerimento: per disegnare il vincolo di bilancio aggiustato (quello verde) basta appoggiare un righello sul

secondo vincolo di bilancio (quello dopo la variazione di prezzo) e farlo scorrere fino a raggiungere il punto

di tangenza con la curva di indifferenza.

Per fare bene questo disegno bisogna farne molti perché la curva di indifferenza deve essere il più precisa

possibile. Il vantaggio è che, se il disegno è corretto, allora i valori numerici corrispondono perfettamente.

Economia Politica – Appello 11 febbraio 2009

Esercizio 1 – Teoria del consumatore - Effetto reddito ed effetto sostituzione

Si identifichino l’effetto reddito e l’effetto sostituzione relativi al bene 1 provocati dalla seguente manovra

fiscale. Il consumatore trae utilità da due beni, 1 e 2, secondo la seguente funzione . I prezzi sono

inizialmente entrambi pari ad 1. Il governo impone una tassa indiretta sul bene 1 pari a t = 2. Il reddito del

consumatore è pari a 120 Euro.

Soluzione

Effetto di reddito ed effetto di sostituzione vengono calcolati a fronte di una variazione del prezzo di un

bene (e quindi del reddito relativo del consumatore).

Quando vi viene richiesto di “identificare” gli effetti, non è sufficiente farlo graficamente. Dobbiamo

effettuare anche il calcolo.

In questo caso il prezzo di x inizialmente è uno, a seguito dell’introduzione della tassa passa a 3.

Ecco il vincolo di bilancio:

Calcoliamo il primo punto di ottimo, con la relativa curva di indifferenza e livello di utilità.

Ecco le condizioni di primo ordine:

Ecco la condizione di ottimo:

Quindi il primo punto di ottimo è:

Il livello di utilità corrispondente è:

Ecco la mappa delle curve di indifferenza:

Ed ecco la curva di indifferenza in corrispondenza del punto di ottimo:

Calcoliamo ora le stesse cose per il secondo punto di ottimo.

Ecco il vincolo di bilancio:

Calcoliamo il secondo punto di ottimo:

Ecco le condizioni di primo ordine:

Ecco la condizione di ottimo:

Messa a sistema con il vincolo di bilancio:

Il livello di utilità associato a questo punto è:

La curva di indifferenza relativa:

Abbiamo dunque calcolato il primo ed il secondo punto di ottimo.

Ora vediamo il risultato dell’effetto di sostituzione. Per poterlo fare mettiamo a sistema la curva di

indifferenza nel primo punto di ottimo e la condizione di ottimo nel secondo punto.

La curva di indifferenza nel primo punto di ottimo:

La condizione di ottimo dopo l’aumento di prezzo:

Messe a sistema otteniamo:

Quindi:

La soluzione:

Dato che in economia le quantità negative non esistono, allora accettiamo solamente una delle due

soluzioni. Ecco il punto C:

Ora dobbiamo passare a calcolare i singoli effetti. A tal fine è utile procedere alla rappresentazione grafica

della situazione:

Quindi:

- l’effetto di sostituzione va dal punto A al punto C:

- l’effetto di reddito va dal punto C al punto B:

Appello 11 giugno 2005

Esercizio 2 – Teoria del consumatore - Ottimo, curva di Engel, curva di Domanda Individuale

Si consideri un consumatore che preferenze definite su due beni e rappresentate dalla seguente funzione di

utilità:

I prezzi sono , . Il reddito del consumatore è .

a) Si dica se la scelta di consumo è fattibile in termini di vincolo di bilancio.

Il vincolo di bilancio per questo consumatore è il seguente:

Quindi la scelta proposta è fattibile in termini del vincolo:

Attenzione! La domanda non chiede se è una risposta ottima. Chiede solo se è fattibile, cioè se di fatto si

trova sul vincolo di bilancio.

b) Si dica se la scelta di consumo è ottimale per il consumatore.

Determiniamo l’ottimo per questo consumatore:

Ecco il sistema delle condizioni di primo ordine:

Dal rapporto tra le prime due equazioni troviamo la condizione di ottimo:

La mettiamo a sistema con la terza equazione (vincolo di bilancio):

Ottenendo:

Questo paniere (ottimo) ci dà questa utilità:

E sta su questa curva di indifferenza:

Il paniere proposto (5;5) ha questo livello di utilità:

E sta su una curva di indifferenza più bassa:

Quindi non è ottimo per il consumatore.

c) Si calcoli la curva di Engel per il bene 1 e si dica se il bene è normale.

Posto che con una conformazione dell’utilità e del vincolo di bilancio così, il bene è chiaramente normale

(se arrivato a questo punto lo studente non se ne avvede prima di calcolare, deve semplicemente fare più

esercizi di quelli che sta facendo), calcoliamo la curva di Engel.

Prendiamo dunque il vincolo di bilancio e lasciamo il reddito in forma generica:

Risolviamo dunque come se stessimo calcolando l’ottimo:

Ecco il sistema delle condizioni di primo ordine:

Dal rapporto tra le prime due equazioni troviamo la condizione di ottimo (che sarà sempre la stessa dato

che le variazioni di reddito non hanno impatti in tal senso):

La mettiamo a sistema con la terza equazione (vincolo di bilancio):

Quindi:

Ed infine:

Questa è la curva di Engel. La derivata prima è chiaramente crescente dunque il bene viene consumato di

più all’aumentare del reddito. È normale.

d) Si calcoli la funzione di domanda individuale per il bene 2 e si dica se si tratta di un bene di Giffen.

Posto (nuovamente) che lo studente dovrebbe essere in grado di dire subito che questo non è un bene di

Giffen, guardando utilità e vincolo di bilancio, ricordiamo cos’&