Esercitazioni Microeconomia per manager - 2 parte

[5-6]

|N| = 4

v(N) = 4

v(1,2,3) = 1

v(1,2,4) = 1

v(1,3,4) = 1

v(2,3,4) = 1

v(1,2) = 0

v(1,3) = 0

v(1,4) = 0

v(2,3) = 0

v(2,4) = 0

v(3,4) = 0

v(i) = 0

v(s) (1)

v(1,4) - v(4) = 0

v(n) - v(2,3,4) = 0

v(2,3) - v(2,4) = 0

v(1,4) - v(1,3) = 0

tot: 4

tot: 0

tot: 0

tot: 0

p_h = 1/3

N=4

v(N)=2⁴

• v(1,2,3) = 1
• v(1,2,4) = 1
• v(1,3,4) = 1
• v(2,3,4) = 1
• v(1,2) = 1
• v(1,3) = 1
• v(1,4) = 1
• v(2,3) = 1
• v(2,4) = 1
• v(3,4) = 1
• v(1) = 0
• v(2) = 1
• v(3) = 1
• v(4) = 0
• v(3) = v(4) = 0

v(N) - v(2,3,4) = 0

TOT: 0

v(N) - (v(2,4) + v(1,3)) = 0

TOT: 0

V.S (1)

• v(1,2,3) + v(2,3) = 0
• v(1,4) + v(1,4) = 0
• v(2,3,4) = v(2,4) = 0

TOT: 0

V.S (3)

• v(1,2,3) - v(1,2) = 0
• v(1,4) - v(1,4) = 0
• v(3,4) - v(3,4) = 0

TOT: 0

P_B = 1/4 = 0

1 N = 4

V(N) = 2

• V(1,2,3) = 1
• V(1,2,4) = 1
• V(1,3,4) = 1
• V(2,3,4) = 1
• V(1,2) = 0
• V(1,3) = 0
• V(1,4) = 0
• V(2,3) = 0
• V(2,4) = 1
• V(3,4) = 1
• V(x) = 0

PERS. 1 2 3 4

RU. 1 2 3 4 TOT: 10

X₁ + X₂ + X₃ + X₄ = 2 j

• X₄ ≤ 1
• X₃ ≤ 1
• X₂ ≤ 1
• X₁ ≤ 1
• X_i ≥ 0

∃ ∞ vettori nel Core t.c. 0 ≤ X_1,2,3,4 ≤ 1, quindi

(½ ; ½ ; ½ ; ½) è nel Core.

Considerando 1

V(1∪∅) - V(∅) = 0 ➔ 1 2 3 41243134213241432TOT: 0

V(1,2) - V(2) = 0

• 2134
• 2143
• 3124
• 3142
• 4132

V(1,3) - V(3) = 0

• 2314
• 2413
• 3214
• 3412

V(1,4) - V(4) = 1

• 4213
• 4312

TOT: 2

V(N) - V(2,3,4) = 1

• 2341

P_{1, algeb} = 1/4! [6 + 2] = 8/24 = 1/3

6 N = 4

1 5

2 5

3 5

4 5DO

v(N) = 2

v(1, 2, 3) = 0

v(1, 2, 4) = 2

v(1, 3, 4) = 2

v(2, 3, 4) = 2

v(1, 2) = 0

v(1, 3) = 0

v(1, 4) = 2

v(2, 3) = 0

v(2, 4) = 2

v(3, 4) = 2

v(1) = v(2) = v(3) = 0

v(4) = 1

(0, 0, 0, 2) è nel core

v ≤ (4)

v(4 ∪ ∅) - v(∅) = 1

Δ123

Totale: 6

x1 + x2 + x3 + x4 = 2

x1 + x2 + x3 ≤ 0

x1 + x2 + x4 = 2

x1 + x3 + x4 = 2

x2 + x3 + x4 = 2

x1 + x2 ≤ 0

x1 + x3 ≤ 0

x1 + x4 = 2

x2 + x4 = 2

x3 + x4 = 2

(x1, x2, 3, 0)

(x4 = 3)

x4 ≤ 2

x3 ≤ 0

x2 ≤ 0

x1 ≤ 0

v(1, 4) - v(1) = 2

v(2, 4) - v(2) = 2

v(3, 4) - v(3) = 2

Tot: 12

• 1 4 2 3
• 1 4 3 2
• 2 4 3 1
• 2 4 1 3
• 3 4 2 1
• 3 4 1 2

v.s.(3) tot. ₁₈

v(1, 3) - v(1) = 2 v(2, 3) - v(2) = 1 v(3, 4) - v(4) = 0 v(n) - v(1, 2, 4) = 0

• 3 2 4
• 3 4 2

tot.₆

v(1, 2, 3) - v(1, 2) = 1 v(3, 1, 4) - v(1, 4) = 0 v(2, 3, 4) - v(2, 4) = 0

• 1 2 3 4
• 1 4 3 2
• 2 4 3 1
• 2 1 3 4
• 4 1 3 2
• 4 2 3 1

tot.₂

p₃ = 1 / ₄(1251) / 24 = ¹³/₁₂

p₄ = 4 - (1/4 + 7/12 + 13/12) = 4 - (3 + 7 + 13)/12 = 4 - 23/12 = 48 - 23/12 = 25/12

3

X | Y

X₁ Y₁

X₂ Y₂

Y₂ X₃

Y₃ X₁

Round 1 (X):

• X₁ – Y₂ R
• X₂ – Y₂ A
• X₃ – Y₃ R

(X₂; Y₂) (X₁; Y₃) (X₃; Y₁)

Round 1 (Y):

• Y₁ – X₃ A
• Y₂ – X₃ R
• Y₃ – X₁ R

Round 2 (Y):

’’

• Y₂ – X₂ A
• Y₃ – X₁

(X₃; Y₁) (X₂; Y₂) (X₁; Y₃)

Round 2 (X):

• X₁ – Y₁ R
• X₂ – Y₁ R

Round 3 (X):

• X₁ – Y₃ A
• X₃ – Y₃ R

Round 4 (X):

• X₃ – Y₁ A

4

X | Y

X₁ X₂ X₃ | Y₁ Y₂ Y₃

Y₁ Y₂ Y₃ | X₃ X₁

Y₂ Y₃ Y₁ | X₁ X₃

Y₃ Y₁ Y₂ | X₂ X₂

Round 1 (X):

• X₁ – Y₁ A
• X₂ – Y₃
• X₃ – Y₂ A

(X₁; Y₁) (X₂; Y₃) (X₃; Y₂)

Round 1 (Y):

• Y₁ – X₁ A
• Y₂ – X₃ A
• Y₃ – X₁ R

Round 2 (Y):

• ’’
• =
• Y₃ – X₂ A

(X₁; Y₁) (X₂; Y₃) (X₃; Y₂)

Per andare a capire quale sia l'EPS in questo gioco dobbiamo utilizzare la tecnica dell'induzione al ritroso partendo dal secondo nodo e andando a salire.

Prima però di iniziare l'induzione dobbiamo introdurre due nuove variabili molto importanti nel modello di Rubinstein che sono δ_i e δ_j ovvero due fattori di sconto, uno per ciascun giocatore. Il fattore di sconto serve a rappresentare il valore della trattativa futura e modellano l'idea che ogni volta che un'offerta viene rifiutata, la torta si restringe "Shrinking cake". Il valore dei due fattori di sconto è 0 ≤ δ_i ≤ δ_j ≤ 1 di conseguenza all'aumentare del fattore di sconto aumenta la pazienza del giocatore dato che assegna ad una trattativa futura lo stesso valore di una trattativa presente.

EPS: abbiamo detto di posizionarsi nel 2^o nodo, dove il giocatore 2 effettua la proposta. Dobbiamo adesso capire quali saranno le proposte accettate dal giocatore 1:

S₂ ≥ δ₁S

Al fine di ottenere il maggior payoff possibile, il giocatore 2 offrirà il minimo che 1 è disposto ad accettare ovvero:

S₂ = δ₁S

Così facendo il soggetto 2 può ricevere due tipi di payoff:

• Nel caso in cui il giocatore 1 accettasse: 1 - δ₁S
• Nel caso in cui il giocatore 1 rifiutasse δ₁(1 - S )

Per capire quale delle due opzioni sia migliore per il soggetto 2, dobbiamo confrontarle

1 - δ₁S ≥ δ₂(1 - S )

Possiamo vedere che 1 - δ₁S è maggiore e di conseguenza al giocatore 2 conviene che il soggetto 1 accetti la sua proposta. Offrirà quindi δ₁(1-δ₁)

Adesso dobbiamo spostarci al 1^o nodo analizzando le proposte che farà 1 al soggetto 2. Quali saranno le offerte che il giocatore 2 accetterà ?

1-S₁ ≥ δ₂(1-δ₁S₂

E come prima al fine di ottenere il payoff maggiore, avremo che l'offerta migliore da fare è:

1-S₁ = δ₂(1-δ₁)