Esercitazioni di Sperimentazione Aerospaziale

GJ

p

4 4

πD πD

vale (da non confondersi con il momento d’inerzia ). La formula risolutiva sarà perciò

J = J =

p 32 64

∆V = kε t

V

γ RM E

, con .

dove = G =

ε = t

t 2 2GJ 2(1+ν)

La coppia finale agente sul provino sarà ∆V GJ

M = 2

t V Rk

Approfondimento sull’effetto della lunghezza dei cavi nel ponte di Wheatstone

Considerando i cavi come non ideali, essi avranno delle resistenze interne, che saranno in serie alle resistenze che

∆R

costituiscono effettivamente il ponte. Questo ragionamento porta ad influenzare il fattore di taratura poiché R

∆R

diventa (dove con si indica la resistenza del cavo di collegamento). La variazione rimane invariata

R ∆R

k

R+R

k

ma sarà riferita ad una resistenza maggiore. A parità di deformazione meccanica si avrà una lieve differenza di

sbilanciamento del ponte, che però potrebbe essere riletta come una variazione di gauge factor, con l’introduzione

R

di un opportuno coefficiente correttivo .

R+R

k

Esercitazione 6 - Propagazione incertezze

Esistono due tipi di incertezza: A (incertezze statistiche, calcolate con metodi statistici) e B (incertezze probabili-

stiche in ingresso con infiniti gradi di libertà, calcolate con distribuzioni di probabilità).

Esercizio 1

Per misurare uno spostamento viene impiegato un trasduttore che ha una retta di calibrazione del tipo y = KE.

Stimare lincertezza dello spostamento al 95% con e , note le incertezze

y E = 5.00V K = 10.10mm/V wK =

±0.10mm/V ±0.01V

e , supponendo che:

wE =

entrambe le incertezze hanno distribuzione normale e sono estese al livello di confidenza del 95%;

entrambe le incertezze hanno distribuzione uniforme e sono estese al livello di confidenza del 95%;

ha distribuzione normale, mentre ha distribuzione uniforme ed entrambe sono estese al livello di

wK wE

confidenza del 95%. 14 ESERCITAZIONE 6 - PROPAGAZIONE INCERTEZZE

Soluzione

L’incertezza combinata è, applicando la RSS (si ricorda che per la RSS tutte le variabili della funzione considerata

20

devono essere indipendenti) , √(

√ ( ) ) ( ) √

∑ 2 2 2

∂y ∂y

∂y 2 2

u = u + u =

u = (Ku ) + (Eu )

y q E K K E

i

∂q ∂E ∂K

i

Poiché la distribuzione è normale e le incertezze sono entrambe stimate al 95% si applica direttamente la

formula: √ 2 2

u = (Ku ) + (Eu )

y K E

Per il secondo quesito, le incertezze vanno dapprima riportate al livello 1σ:

0.1 a

a 1

K

K √

→

±0.1 → = u =

w = K

K 2 0.95 2 3

a 0.01 a 1

E E √

±0.01 → →

w = = u =

E E

2 0.95 2 3

A questo punto si può utilizzare di nuovo la formula per l’incertezza combinata:

√ 2 2

u = (Ku ) + (Eu )

y K E

Il risultato andrà poi espanso al livello di confidenza richiesto moltiplicando per 1.96.

Anche nel terzo caso si riportano entrambe le incertezze a 1σ: la distribuzione gaussiana viene calcolata con

u a 1

√

, la distribuzione normale con . A questo punto si può di nuovo applicare la RSS.

u = u =

K E

K E

1.96 2 3

Esercizio 2

Uno strumento per la misura della velocità angolare sfrutta la misura della forza centrifuga agente su di una massa

(m=0.05 Kg) posizionata ad una distanza nota rispetto allasse di rotazione (R=50 mm). E richiesto di:

• Determinare la misura della forza attesa per una velocità angolare di 6000 giri/min;

• Descrivere la procedura per la definizione dellincertezza tipo ed estesa sulla misura di velocità angolare nel

caso le incertezze di misura siano assegnate come:

– Massa misurata con incertezza tipo pari a ś0.5%;

– Forza misurata con incertezza estesa, con livello di confidenza del 95%, pari a ś1%;

21

– Distanza misurata con una risoluzione di lettura pari a ś0.05 mm (le percentuali sono da riferirsi ai

valori disponibili)

• Determinare il valore

Soluzione 2

La forza centrifuga ha espressione F = mω R. ±0.5%

Le varie incertezze che concorrono al calcolo della velocità sono: (distribuzione gaussiana - incer-

u =

M ±0.05

±1% a (distribuzione

tezza tipo a 1σ), (distribuzione gaussiana - incertezza estesa =

w = z = 1.96), e

F 95% 2

uniforme - livello di confidenza 100%). Prendo ora le incertezze e le porto tutte a 1σ: la prima è già a posto, per

w w W

√

la seconda , per la terza . Propagando le incertezze con la RSS ottengo il risultato

w = = u =

F F R

F R

z 1.96 3

95% 22

desiderato (incertezza tipo), che va esteso all’intervallo di confidenza del 95% moltiplicando per 1.96 .

Il valore numerico viene calcolato sostituendo i valori assegnati.

Se la distribuzione è gaussiana l’incertezza a 1σ copre il 68%, normale il 58, triangolare il 62.

20 Si entra con incertezze dell’ordine di come livello di confidenza e si esce dalla RSS con una distribuzione di tipo gaussiano con confidenza

1σ

di 1 σ.

21 Questo termine ci suggerisce che la distribuzione è uniforme.

22 Con la moltiplicazione per si riporta il risultato all’incertezza estesa.

z 15 ESERCITAZIONE 6 - PROPAGAZIONE INCERTEZZE

Esercizio 3

Si deve determinare la densità di un gas ideale tramite misure di temperatura e pressione. Le variabili sono legate dalla

legge dei gas ideali . Il gas è contenuto allinterno di un contenitore impermeabile. Vengono eseguite 20

ρ = p/RT

misure di pressione e 10 di temperatura. Determinare la miglior stima della densità e il suo intervallo di confidenza

al 95%, sapendo che la costante del gas è R=54.7 J/Kg K e che i risultati dellindagine statistica sono:

N

p̄ = 2253.91 2

m

N

σ = 167.21

P 2

m

T̄ = 311K

σ = 1.5K

T

Soluzione σ

√

Sia per la prssione che per la temperatura si hanno due incertezze di tipo A, per cui si potrà dire che .

µ = σ̄ = P

p P n

p̄ kg

Dalla legge dei gas perfetti si può scrivere . Applicando la RSS si può ottenere il valore per

ρ̄ = = 0.133 3

m

RT̄

σ σ

√ √

, sapendo che e :

u u = u =

P T

ρ P T

20 10

√( √(

) ( ) ) ( )

2 2 2 2

∂ρ ∂ρ 1 P kg

| − |

u = u + u = u + u = 0.002198

ρ P T P T

T̄ P̄ ,T̄ 3

∂P ∂T RT RT m

Tuttavia non si sa se tale distribuzione sia gaussiana o t-Student: si ricorre perciò alla formula di Welch-

− −

Satterthweite per determinare il numero di gradi di libertà equivalenti, essendo e

ν = n 1 ν = n 1.

T T P P

Dai calcoli si osserva che bisogna ricorrere ad una distribuzione t-Student: si cerca sulle tabelle il che fornisce il

t

ν

95% richiesto e si scrive infine w = u t

ρ ν

95% 95%

Esercizio 4

Si supponga di voler determinare la velocità media del suono nellalluminio. Una estremità di una sbarra di alluminio

viene percossa generando unonda di vibrazione rilevata da una cella di carico allo stesso estremo e da un accelero-

metro allestremo opposto. Il sistema di misura ricostruisce il tempo trascorso tra la generazione dellimpulso e la

ricezione allestremo opposto.

• Ripetendo la misurazione del tempo 5 volte, si ottengono i seguenti valori: t = 1.091, 1.097, 1.102, 1.092, 1.084[ms].

i

Ricavare la miglior stima dellintervallo di tempo e la sua incertezza tipo.

• Misurando la lunghezza della sbarra con un metro a nastro metallico con risoluzione pari a 1 mm, si ottiene

L

il valore Ricavare la misura della velocità del suono nellalluminio e la sua incertezza tipo.

L = 5.5m.

• Esprimere lincertezza estesa della misura trovata al punto b) con livello di confidenza del 99 %.

Soluzione σ 1

risoluzione

√ √

Da definizione di incertezza tipo si può anzitutto scrivere Inoltre . Il valor

= 0.003ms. u =

i L 2

n 3

±

medio dei tempi misurati è da cui la miglior stima è Inoltre le velocità possono

t̄ = 1.0932ms, 1.0932 0.003ms.

m

l̄ . Per determinare l’incertezza tipo si applica la RSS:

essere determinate come = 5031

v̄ = t̄ s √( ) )

(

2 2

∂v ∂v

| |

u = u u

+

v l t

l̄,t̄ l̄,t̄

∂l ∂t

16 PROVA 26-06-2015

Per estendere l’incertezza al livello di confidenza richiesto si osserva che è un’incertezza di tipo B (infiniti gradi

l

di libertà), mentre è un’incertezza di tipo A con Applicando la formula di Welch-Satterthweite si ricava

t ν = 4.

perciò si dovrà applicare una distribuzione di tipo t-Student:

ν = 4,

v 99% 99%

w = u t

v

v ν

v

99%

dove t = 4.604

ν

v

Prova 26-06-2015

Esercizio 1

Sia dato un sistema di acquisizione dati composto da un sensore per la lettura della pressione (0-10 bar), un gene-

±1%), ±0.5%)

ratore per alimentarlo (5 V, un guadagno regolabile ed un A/D a 10 bit

(1, 2, 10, 100, 1000, 10000,

±1%) ±1%).

regolabile come unipolare (10V, o bipolare (±5V, Si presume che la misura sia approssimativamente

−4

· ±0.1

mV mV

pari a 6.7 bar e che il trasduttore abbia una sensibilità di con un errore di ripetibilità di

2 10 P a·V bar·V

al al

±0.07 mV

e di linearità di .

bar·V

al

Si richiede di:

• Configurare i parametri della scheda

• Calcolare l’incertezza della misura

• Supponendo di poter intervenire solo sulla qualità dell’alimentatore e dell’amplificatore si determini su quale

è preferibile operare.

Soluzione

Poichè le pressioni sono sempre positive, si sfrutta il convertitore nella configurazione unipolare. Ricordando la

· · ·

formula sulla base dei dati ricavati si sceglie come valore del guadagno (si

V = sens V F G, G = 10

out al

ottiene infatti un’uscita pari a 6.7 V, un guadagno maggiore porterebbe una tensione troppo elevata in ingresso al

convertitore).

Per determinare l’incertezza si ricorre poi alla funzione di trasferimento tra ingresso ed uscita del sistema, pari a

FS . Applicando la RSS per incertezze combinate si ottiene

·G·2

nbit

sens·V al √ (

( ) ( ) ( ) ( ) )

2

2 2 2 2