Equazioni e disequazioni goniometriche - problema e quesiti svolti

Matematica per il liceo

Equazioni e disequazioni goniometriche

Minisimulazione di matematica

Problema

Considera le funzioni di equazione al variare di a, b e c numeri naturali minori di 3.

Punto a

2a. Determina per quali valori di a, b e c si ottiene una funzione \( y = f(x) \) il cui grafico ha periodo \( 2\pi \), passa per \( (0,0) \) e ha come insieme immagine l’intervallo \([0; 2]\).

b. Calcola per quali valori di a, b e c si ottiene la funzione il cui grafico passa per \( (0,0) \), ha come insieme immagine l’intervallo \([-1; 1]\) e nell’intervallo ha esattamente tre zeri.

c. Applica alla funzione la traslazione di vettore \( \vec{v} \) indicando con la funzione traslata \( g(x) \).

d. Individua graficamente e algebricamente i punti di intersezione tra le funzioni.

Svolgimento

Punto a

Imponiamo che il periodo della funzione sia \( 2\pi \):

\( 2\pi = \frac{2\pi}{a} \Rightarrow a = 1 \)

La funzione è una sinusoide traslata di un valore pari al parametro c. La sua immagine è data dall’immagine della funzione seno che è \([-1;1]\) traslata di c. Trasliamo allora gli estremi dell’intervallo:

\((c-1, c+1)\)

Imponiamo che questa coincida con l’intervallo dato:

\((c-1, c+1) = (0, 2)\)

E dunque:

• \( c - 1 = 0 \Rightarrow c = 1 \)
• Verifichiamo anche l’altro estremo: \( c + 1 = 2 \Rightarrow c = 1 \)

Abbiamo due parametri: Possiamo riscrivere l’espressione della funzione come segue:

\( y = \sin(x) + 1 \)

Imponiamo che il grafico passi per \((0,0)\) per determinare il parametro b:

\( 3 \sin\left(- \frac{\pi}{2}\right) + 1 = 0 \)

Risolviamo:

\( 3 \sin\left(- \frac{\pi}{2}\right) = - 1 \)

La funzione vale -1 per:

\( 3\left(-1\right) + 1 = 0 \Rightarrow b = 0 \)

Pertanto, l’espressione della funzione è:

\( y = \sin(x) + 1 \)

Punto b

La funzione come visto al punto precedente, ha l’immagine della funzione seno che è \([-1;1]\) traslata di c. Trasliamo allora gli estremi dell’intervallo:

\((c-1, c+1) = (-1, 1)\)

Da cui:

• \( c - 1 = -1 \Rightarrow c = 0 \)
• \( c + 1 = 1 \Rightarrow c = 0 \)

La funzione \( g(x) \) deve avere 3 zeri nell’intervallo:

\( \sin(ax) + b = 0 \)

Al variare di \( a, b \), con \( a = 2 \), i tre zeri sono nell’intervallo, perciò vale la seguente condizione:

\( 0 < x < \frac{3\pi}{a} \Rightarrow a = 2 \)

Sempre per la condizione iniziale, l’unica soluzione accettabile è \( a = 2 \).

La funzione traslata è:

\( g(x) = \sin(2x) \)

Manca ancora il parametro b, che ricaviamo imponendo il passaggio per \((0,0)\).