Equazioni e disequazioni goniometriche - problema e quesiti svolti

Equazioni al variare di a, b e c

Che questa coincida con l'intervallo dato: () " 0; 2e dunque: 1 ;1 0; 21 0→ 1verifichiamo anche l'altro estremo:1 2→ 1 1.Abbiamo due parametri: Possiamo riscrivere l'espressione della funzione come segue:" sin 1; 0Imponiamo che il grafico passi per per determinare il parametro b:3"- / 023sin - / 1 02risolviamo:3sin - / 12 sin 0 0 21La funzione vale -1 per3 3→ 212 2→ 21 2 1∈4 50,1,26.Dovendo essere i parametri reali, non negativi e minori di 3, i valori possibili per b sono:Tra questi l'unico che verifica l'equazione: 3sin - / 12è b=0.Pertanto, l'espressione della funzione è: " sin 1

Punto b)La funzione come visto al punto precedente, ha l'immagine della funzione seno che è[-1;1] traslata di c.Trasliamo allora gli estremi dell'intervallo:() 1 ;1 1; 1da cui:1 1→ 0 0;La funzione g(x) deve avere 3 zeri nell'intervallosin 0 10→ 71 8 0.Al variare di, , # 0; :9 :I

tre zeri son nell'intervallo perciò vale la seguente condizione: <9

In cui: 09 2sostituendo: 2 - /<2 <2 < → =2∈ 50, 1,26,

Sempre per la condizione iniziale, l'unica soluzione accettabile è a = 2g x sin 2 ;0

Manca ancora il parametro b, che ricaviamo imponendo il passaggio per il punto3- / 02 3sin -2 / 02sin 3 0sin 3 sin 3 ⋅ cos cos 3 ⋅ sin sinsin 0→b kπ 0; ∈ 50, 1,26,

Poiché gli zeri sono nell'intervallo , per la condizione iniziale, l'unica soluzione accettabile è b=0.

La funzione cercata risulta: sin 2

Punto c) ⃗ ; 1 ℎ

Applica alla funzione la traslazione di vettore , indicando con la funzione traslata.

La funzjone traslata risulta: ℎ sin 2 1 sin 2 2 1G I4F h x sin 2 12

Punto d)Possiamo trovare i punti di intersezione tra (x) e (x) mettendo a sistema le due funzioni e risolvendof gsin 1 sin 1" →K →KK ℎ sin 2 1 sin 1 sin 2 12 2sin 1Ksin sin 2 22 21 ∨ 2 212 221 ∨ 3 212

2221 ∨ 3 212 2 221 ∨ 12 6 33 221 ∨ 12 6 3

Quesiti1 cos sin 21 0 < <√3

Trova per quali valori di k l’equazione ammette soluzione per

Svolgimento

L’equazione in seno e coseno è lineare e non omogenea, usiamo il metodo dell’angolo aggiunto per passare⋅ sin ⋅ cos O sin 0

alla forma .dalla forma

Abbiamo:1√3

I parametri r ed alfa, valgono:

P 2O 22 → 0 U0 # 8 0.tan 0 √3

ST essendo 2L’equazione lineare e non omogenea diventa:

2 sin - / 2132

semplificando il fattore 2: sin - / 130 < <

con la condizione su x:2 √30 → sin - / 1→13 22 5 √3→ sin - / 1 → sin - / 1→13 3 2

quindi: √31<1< 22 ZWXY" ":[WX\ F \]^ F

Data la funzione , calcola gli zeri di e determina per quali valori di in0; 2 assume valori negativi.

Svolgimento

Esprimiamo la cotangente in funzione di seno e coseno :cot F :_`ab F• \]^ Fsostituiamo: 1 2cot 1 12 sin→cos sin 2 cos sin 21 cos 1sin ⋅ cos

sin²sin²2sin⋅cos

Ricordiamo che:

per cui:

1 cos 1 2 cos 1→sin ⋅ cos 2 sin ⋅ cos sin 2

Poniamo le condizioni di esistenza del denominatore:

sin² c 0 → 2 c 1 → c 1 ,1 ∈ 42

Cerchiamo gli zeri richiesti" 0

2 cos 1 0sin 2→ 2 cos 1 01→ cos 22 421 ∨ 213 3 0; 2in assume valori negativi.

Studiamo il segno della funzione e determiniamo per quali valori di

2 cos x 1 80sin 2xN 8 0 → 2 cos x 1801 2 4→ cos x 8 →0<x< ∨ U < 2π2 3 3π πD 8 0 → sin 2x 8 0 3→ 2 sin x cos x 8 0 → 0 U U ∨ U Uπ2 2π πsin x ⋅ cos xN.

B. Il prodotto è positivo nel primo e nel terzo quadrante.

Rappresentiamo i segni dei due fattori su due circonferenze concentriche, applichiamo la regola dei segni eriportiamo i risultati su una terza circonferenza.