Equazioni biquadratiche e parametri - esercizi svolti

Complementi di Algebra

Equazioni di grado superiore al secondo

Esercizi svolti

• Equazioni biquadratiche e parametri
• Problema geometrico di secondo grado

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Equazioni di grado superiore al secondo

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• Equazioni biquadratiche e parametri
• Problema geometrico di secondo grado

Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione:

9x⁴ + (9k–1)x² – k = 0

1. ha quattro soluzioni reali;
2. ha due soluzioni doppie.

a) k ≤ 0; b) k = –¹/₉

L’equazione è biquadratica, per risolverla poniamo t = x² e otteniamo 9t² + (9k–1)t – k = 0.

Il discriminante dell’equazione è:

Δ = (9k – 1)² + 36k = 81k² – 18k + 1 + 36k = 81k² + 18k + 1 = (9k + 1)².

Il discriminante è maggiore o uguale a zero per ogni valore reale di k.

Le radici dell’equazione sono:

t = ^{–9k + 1 ± √(9k + 1)}/₁₈ → t₁ = ¹/₉, t₂ = –k.

1. Per t = ¹/₉ si ha l’equazione binomia x² = ¹/₉ che ha soluzioni ±¹/₃.

   Per t = –k si ha x² = –k quindi se –k ≥ 0, cioè k ≤ 0, si avranno due ulteriori soluzioni: ±√–k.

   L’equazione data ha quattro soluzioni reali solo se k ≤ 0; in particolare se k = 0 l’equazione

   ha una soluzione doppia, lo zero, e due soluzioni opposte –¹/₃ e +¹/₃.

2. Affinché l’equazione abbia due soluzioni doppie il discriminante Δ = (9k + 1)² deve essere

   nullo quindi k = –¹/₉. Le due soluzioni –¹/₃ e +¹/₃ sono così soluzioni doppie.

L’equazione iniziale infatti diventa

9x⁴ - 2x² + ¹/₉ = 0 → 9⟮x² – ¹/₉⟯² = 0 → 9⟮x + ¹/₃⟯²⟮x – ¹/₃⟯² = 0.

L’equazione ha:

• due soluzioni per k > 0;
• quattro soluzioni per k ≤ 0, e in particolare ha quattro soluzioni di cui una doppia per k = 0 e due
• soluzioni doppie per k = ¹/₉