Distribuzione normale e intervallo di confidenza

ES.2.41

Sia t una variabile aleatoria che si distribuisce secondo una t di Student con n gradi di libertà. Si determini:

1. (a) P (t < 1.89)
2. (b) P (t > 2.76)
3. (c) P (| t < 3.85)
4. (d) P (| t < 2.13)
5. (e) il 90mo percentile di t6
6. (f) il 99mo percentile di t15

Soluzioni:

1. (a) 0.90
2. (b) 0.01
3. (c) 0.998
4. (d) 0.95
5. (e) t = 1.446, 0.10
6. (f) t = 2.6015, 0.01

Da una variabile X distribuita normalmente è stato estratto un campione di osservazioni, ottenendo i seguenti risultati:

2 5 7 8 12 13 16

x̄ = 1 2 1 1 2 2 1

k = n

Si determini:

1. (a) la media campionaria e la varianza campionaria corretta
2. (b) un intervallo di confidenza per la media al livello 1 α = 0.95, sapendo che la varianza di X è pari a σ = 161
3. (c) un intervallo di confidenza per la media al livello 1 α = 0.95, sapendo che la varianza di X non è nota
4. (d) un intervallo di confidenza per la media al livello 1 α = 0.99, sapendo che la varianza di X non è nota
5. (e) un intervallo di confidenza

per la media al livello 1 α = 0.90,sapendo che la varianza di X non è nota

Soluzioni.

2(a) x̄ = 9.3, σ̂ = 20.46 4 ± ⇒⇒ ± × = 9.3 2.48 (6.82, 11.78)

(b) z = 1.96 x̄ 1.96 √0.025 104.52⇒ ± × ± ⇒

(c) t = 2.26 x̄ 2.26 = 9.3 3.23 (6.07, 12.53)√9,0.025 104.52 ± ⇒⇒ ± × = 9.3 4.65 (4.65, 13.95)

(d) t = 3.25 x̄ 3.25 √9,0.005 104.52 ± ⇒⇒ ± × = 9.3 2.62 (6.68, 11.92)

(e) t = 1.83 x̄ 1.83 √9,0.05 103.

La seguente tabella riporta le concentrazioni giornaliere di ozono mi-surate da una centralina di rilevazione dell’inquinamento.

centralina A

Si determini:

(a) media e varianza campionaria corretta

(b) un intervallo di confidenza per la concentrazione media di ozono−al livello 1 α = 0.90

(c) il numero minimo di osservazioni da effettuare per ottenere

Un intervallo di confidenza al livello 1-α = 0.95 di lunghezza inferiore a 1, sapendo che la varianza della popolazione è pari a σ = 200(d) il numero minimo di osservazioni da effettuare per ottenere un intervallo di confidenza al livello 1-α = 0.95 di lunghezza inferiore a 4, sapendo che la varianza della popolazione è pari a σ = 200

Soluzioni.

2°2(a) x̄ = 108.83, σ = 230.56 q 230.56≈ ⇒ ± × ±

(b) t z = 1.64 x̄ 1.64 = 108.83 2.30 =119,0.05 0.05 120(106.53, 111.13)2(2σz ) 2 2α/2 ⇒ × × ⇒ × ×

(c) n > n > 4 200 (z ) n > 4 1.96 200 =0.0252d* *⇒3073.28 n = 30742 2(2σz ) 24×200×(z ) ×2004×1.96 3073.28α/2 ⇒⇒ 0.025 n> = =

(d) n > n>2d* 16 16 16192.08*⇒ n = 1934. Un'altra centralina situata nella stessa città dell'esercizio 3 ha riportato le misurazioni

(a) Costruire un intervallo di confidenza al livello 1 α = 0.90 per la concentrazione media di ozono rilevata dalla centralina B

(b) Supponendo che le due centraline producono osservazioni distribuite normalmente con varianze σ_A = 200 e σ_B = 150, costruire un intervallo di confidenza al livello 1 α = 0.97 per la differenza μ_A - μ_B

(c) Supponendo che le due centraline producono osservazioni distribuite normalmente con la stessa varianza incognita σ, costruire un intervallo di confidenza al livello 1 α = 0.97 per la differenza μ_A - μ_B

Soluzioni:

(a) t = 1.68, 105.6 ± 1.68 * √49 / 0.05 = (102.52, 108.68)

(b) z = 2.17, x̄_A - x̄_B ± z * √(σ_A²/n_A + σ_B²/n_B) = 200 - 150 ± 2.17 * √(0.015/200 + 0.015/150)