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L Jsolidale al positrone che si muove con velocità rispetto al sistema del laboratorio,J′ sarebbe: quindi la velocità dell’elettrone misurata da + → 2OPer quanto riguarda il dominio della funzione, considerando che nella fisica classica non ci sono∀ ∈ limitazioni alle velocità raggiungibili dai corpi essa è definitaPunto 3.Scrivi la trasformazione relativistica che permette di esprimere la velocità dell’elettrone misurata nel sistema di riferimento del positrone e indica tale velocità con| | | | ∈Verifica che .Nella teoria della relatività, le trasformazioni di Galileo sono sostituite da quelle di Lorenz; da questeJultime deriva una legge di composizione delle velocità, sempre facendo riferimento ai due sistemiJ’ Led con, possiamo calcolare la funzione che esprime la velocità dell’elettroneJ’:misurata in L 2 2→ →O OL 1+ 1+1Per quanto piccola, l’elettrone ha una
massa diversa da zero, quindi la sua velocità sarà comunque inferiore alla velocità della luce. 1< < 1.
In accordo con i postulati della relatività ristretta la variabile è compresa tra -1 ed 1: ∀ ∈
La funzione , dal punto di vista matematico è definita .
Verifichiamo la disuguaglianza richiesta| | | | ∀ ∈
Questo equivale a verificare che: 2|2 | S S1+⇒ |2||2| 1+0
L'uguaglianza è verificata certamente in| | |,> 0 2|
Essendo dividiamo entrambi i membri per ed otteniamo:1 ≤ 1.1+∀ ∈
Verificata
Punto 4. , ∈
Studia la funzione e traccia il suo grafico. Individua la parte di grafico fisicamente accettabile. In questa parte del dominio la funzione ha un massimo? Riporta anche nello stesso sistema di riferimento cartesiano.il grafico di
Verificando eventuali simmetrie: 21+V W+XW )
Sappiamo che la funzione è una funzione dispari. 0 e poi completandolo per
Questo ci consente di ottenere il
grafico tracciando quello per i valori
simmetria rispetto all'origine.
La funzione è definita, continua e derivabile in .
Y ZSegno di
Il denominatore è sempre positivo perciò:
>0→ >00→ 0<0 ↔ <0
Asintoti
Il grafico della funzione non presenta asintoti verticali.
+∞:Calcoliamo il limite alim 0W+XW )W→X] V 0
Il denominatore è di grado superiore è asintoto orizzontale destro e sinistro per la funzione
Ricerca di massimi e minimi relativi
Calcoliamo la derivata prima della funzione .
Applichiamo la regola del quoziente. 21+2 1+ 2 2O 1+2+2 41+2 21+2 11+
Studiamone il segno:
2 1 0 → 1≤ ≤11+
Essendo il denominatore sempre positivo e mai nullo.
Riportiamo nel quadro dei segni:
∞; 1 ∪ 1; +∞ 1; 1
La funzione è decrescente in e crescente in .
1 1; .'
La funzione ammette un punto di minimo per di coordinate1 1;_ di coordinate .
La funzione ammette un punto di massimo per
Considerando il segno della
derivata e il valore della funzione agli estremi del dominio,I valori e sono anche, rispettivamente, il minimo e il massimo assoluto.
Ricerca dei punti di flesso
Calcoliamo la derivata seconda della funzione 2 1O 1+12 ⋅ 1+ ⋅2 1+ ⋅22OO 1+ `2 ⋅ 1+ 1 ⋅42 1+ a2 ⋅ 2 4 +4a a2 1+ a62 a2 1+ a2 32 1+ a
Otteniamo quindi: 34OO 1+ a
Studiamone il segno34 0 → ≤ ≤0∨√3 √31+ a
Riportiamo nel quadro dei segni:e 0f ∪ e√3; +∞f, e ∞; ∪ e0;√3; √3f √3f
La funzione è convessa in concava in ∨ 0∨√3 √3
Il grafico della funzione presenta tre punti di flesso: in
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