Campo elettrico in gusci sferici concentrici e distribuzioni di cariche ai vertici di un quadrato

In una scala grafica la lunghezza dei vettori sarà pertanto:

= 6, = 4, = 2, =

⃗

Rappresentiamo le cariche con colori diversi e nelle figure seguenti riportiamo singolarmente i 4 vettori :

Il vettore è uscente dalla carica in A essendo questa Il vettore è entrante nella carica perché questa è

positiva. negativa.

Vettore uscente da B perché positiva Vettore uscente da D perché positiva.

Consideriamo ora tutti i vettori in O, centro del quadrato.

Per calcolare l’intensità del vettore campo elettrico risultante in O, possiamo sommare le coppie di vettori

che agiscono lungo la stessa diagonale: ⃗ ⃗ ⃗

= +

1

⃗ ⃗ ⃗

= +

2

Lungo AC i due vettori sono discordi quindi il modulo di è la differenza dei moduli e il verso è quello di

1

:

Ricordiamo che la distanza r tra gli spigoli ed il centro del quadrato è metà diagonale:

2

2

= → =

√2

2 2

La prima risultante vale:

0 0

( ) ( )

= − = 2 −

1

2 2

2

⋅

9

(8,99 ⋅ 10 )

2

−8 6

(6,00

= 2 ⋅ − 2,00) ⋅ 10 = 7,2 ⋅ 10 /

1 −2 2

(10 )

Il modulo della seconda è la somma dei moduli perché i vettori sulla diagonale BD sono concordi

0 0 |

( ) (| )

= + = 2 +

2

2 2

2

⋅

9

(8,99 ⋅ 10 )

2

−8 6

(4,00

= 2 ⋅ + 1,00) ⋅ 10 = 9,0 ⋅ 10 /

1 −2 2

(10 ) ⃗

Le due componenti sono fra loro perpendicolari. Il vettore campo è la diagonale del parallelogramma

⃗ ⃗

che ha per lati ed , come in figura:

1 2

L’intensità del campo risultnte è:

12 22 6

2 2

√ √7,2

+ = + 9,0 ⋅ 10

6 7

= 11,5 ⋅ 10 ≈ 1,2 ⋅ 10

,

Determiniamo ora l’angolo formato con la direzione orizzontale, cioè con l’asse x.

Detto l’angolo formato dal vettore con la componente , abbiamo:

2

= 90° −

L’angolo BOC è infatti retto.

L’angolo è dato da:

1

= arctan ( ) = 38,7°

2

E dunque: = 90° − 38,7° = 6,3° −6

−1,6 ⋅ 10

Due gusci sferici hanno lo stesso centro. Una carica di intensità è disposta uniformemente

−6

+5,1 ⋅ 10

sul guscio più interno, che ha un raggio di 0,050 m. Una carica di intensità è invece disposta

uniformemente sull’altro guscio che ha un raggio di 0,15 m. Trova l’intensità la direzione e il verso del

campo elettrico a una distanza (misurata dal centro comune) di:

• 0,20 m

• 0,10 m

• 0,025 m

Svolgimento

All’esterno di un guscio sferico (una sfera cava) dotato di carica q uniforme il campo elettrico da esso

generato ha direzione radiale (con verso uscente o entrante a seconda del segno della carica) e modulo

variabile con la distanza r: 1

() = ⋅ 2

4

0

Il campo è lo stesso che si avrebbe se tutta la carica del guscio fosse concentrata nel suo centro.

All’interno del guscio il campo da esso generato è nullo.

Riportiamo in figura i due gusci sferici, denominiamo 1 quello intero e 2 quello più esterno:

Il campo elettrico sulla sfera interna è uniforme con

simmetria radiale e verso entrante perché la carica è

negativa, il suo modulo è: | |

1 1

= ⋅

1 12

4

0

Il campo sulla sfera esterna, con le stesse

caratteristiche di simmetria ha verso uscente e modulo:

1

2

= ⋅

2 22

4

0

Per valutare l’intensità del campo elettrico totale alla

distanze r richieste, consideriamo 3 superfici sferiche

Gaussiane, che indicheremo rispettivamente:

= 0,20

20

= 0,10

10

= 0,025

2,5 = 0,20

La superficie gaussiana con raggio

racchiude entrambi i gusci, al suo interno la carica

totale è la somma algebrica delle cariche

.

distribuite sulle due superficie ed

1 2

−6 −6

(−1,6

= + 5,1) ⋅ 10 = 3,5 ⋅ 10

Il modulo del campo elettrico è:

1

= ⋅ 2

4

0

−6

1 3,5 ⋅ 10 5

= ⋅ = 7,9 ⋅ 10 /

2

(0,20)

4

0

La direzione è uscente come .

2 = 0,10

La superficie gaussiana con raggio

racchiude solo il guscio interno, la carica totale in

.

essa è quella di 1

Il modulo del campo elettrico è:

| |

1 1

= ⋅ 2

4

0

−6

1 1,6 ⋅ 10 6

= ⋅ = 1,4 ⋅ 10 /

2

(0,10)

4

0

La direzione è entrante come 1