Analisi stabilità metodi equilibrio limite: Verifica pendio con Fellenius

I metodi di verifica di stabilità dei pendii più utilizzati sono i ; questi si

basano sul rispetto di due importanti condizioni: il rispetto dell'equilibrio (alla traslazione e alla

rotazione) e la rispondenza nel comportamento ad uno specifico criterio di resistenza (es. Mohr-

Coulomb).Ulteriori ipotesi semplificative, diverse da metodo a metodo, si rendono poi necessarie

per rendere il problema staticamente determinato. In particolare, per le analisi di stabilità dei pendii

naturali (spesso caratterizzati da una morfologia complessa ed irregolare, nonchè da una grande

variabilità delle caratteristiche stratigrafiche e geotecniche, si ricorre ai metodi delle strisce. Questi

metodi prevedono l'individuazione di una potenziale superficie cilindrica di scorrimento e la

suddivisione della porzione di pendio potenzialmente instabile in strisce verticali e valutando per

ciascuna la condizione di equilibrio. Tra i metodi delle strisce più noti si ricordano i metodi di

Bishop e Fellenius. In questa sede, come esplicitamente chiesto nella traccia, verrà applicato il

metodo di Fellenius. 2

La prima operazione da compiere nella risoluzione di esercizi con il metodo delle strisce è quella di

effettuare una discretizzazione:

dividere la porzione di pendio potenzialmente instabile (e cioè quella che si trova al di sopra

della superficie potenziale di scivolamento ipotizzata) in un numero n di strisce (in questo caso

14, come imposto, di ampiezza a = 1m ciascuna) e numerarle, come mostrato in figura.

Successivamente risulta comodo assegnare un sistema di riferimento di assi x e z con riferimento al

quale individuare le caratteristiche geometriche delle strisce che serviranno nei successivi calcoli. In

pratica:

con riferimento alla singola striscia i-esima individuo: l'ascissa del suo centro (xi), la distanza

(z ) tra la superficie topografica e il piano orizzontale passante per O; la distanza (z ) tra la

1 2

superficie di scivolamento e il medesimo piano orizzontale passante per O; l'angolo

individuato tracciando la tangente alla superficie di scivolamento passante per il punto centrale

della base della striscia, come meglio illustrato in figura: 3

Le grandezze così individuate, analiticamente, si valutano con le seguenti espressioni, frutto di

semplici considerazioni trigonometriche:

z x tan x H / L con i 45

1 i i

2 2

z r ( L x ) (Pitagora)

2 i

r x i

arsen

i r H z z

Altezza singola striscia i 2 1

Volume singola striscia (considero spessore unitario nel piano ortogonale al foglio, essendo il

V H a 1

pendio di estensione indefinita) i i

W V

Peso della singola striscia i i

Fatto ciò, si possono valutare per ciascuna striscia il termine coesivo ed attritivo contenuti

nell'espressione di Fellenius: C W cos tan

i i i

F W sen

i i

ed è pari a:

In particolare il è indicato con C

termine coesivo i

a

C c

i cos i

con c = coesione del terreno

a = ampiezza della striscia

i = angolo valutato per ogni singola striscia come sopra indicato

il è invece pari a:

termine attritivo

W cos tan

i i

con Wi = peso della singola striscia

i = angolo valutato per ogni singola striscia come sopra indicato

= angolo d'attrito del terreno 4

Abbiamo ora tutti i dati per impostare una tabella come di seguito illustrato:

Somma dei termini coesivi delle varie strisce

Somma dei termini attritivi delle varie strisce

Somma delle mobilitate

limite (sommatoria termini coesivi + sommatoria termini attritivi) e la

Facendo il rapporto tra

sommatoria delle mobilitate, otteniamo infine il coefficiente di sicurezza del pendio.

C W cos tan 127

.

50

i i i

F 1

.

72

W sen 73

.

95

i i

Il pendio in esame è caratterizzato quindi da un coefficiente di sicurezza pari a 1.72.

Infine, per ogni striscia in cui è stato diviso il pendio si riporta il valore della tau limite e tau

mobilitata, e se ne diagramma .

Per la singola striscia: T W sen

- tau mobilitata imob i i

T C W cos tan

- tau limite i lim i i i 5

Dato un pendio asciutto di inclinazione i = = 55°

3 3

2.10 t/m , angolo di attrito ø = 30° e coesione c = 4 t/m , determinare il coefficiente di sicurezza F

utilizzando il metodo di Fellenius. a superficie di scivolamento circolare di raggio r = 20 m e la

geometria rappresentata in figura. Tracciare inoltre il diagramma T e T con i dati ottenuti per

i mob i lim

ogni striscia. 6

La prima operazione da compiere nella risoluzione di esercizi con il metodo delle strisce è quella di

effettuare una discretizzazione; quindi analogamente a quanto fatto nell'esercizio precedente si va a:

dividere la porzione di pendio potenzialmente instabile in un numero n di strisce (scegliamo 10

strisce di ampiezza a = 2 m ciascuna);

numerare le strisce ed assegnare un sistema di riferimento;

calcolare per ogni striscia le grandezze di interesse illustrate in figura:

Le grandezze così individuate, analiticamente, si valutano come nel precedente esercizio, con

l'eccezione dell'espressione di z1 che vale: per le strisce 1-3

z 0

1

z ( x L 2

) tan ( x L 2

) H / L

1 per tutte le altre

1 i i

Quindi restano invariati:

2 2

z r ( L x ) (Pitagora, dove L sta volta è L = L1+L2 )

2 i 7