Possibili domande teoriche di Algebra e geometria

Definizioni o enunciati di teoremi di Algebra

1. Un criterio di riconoscimento dei sottospazi vettoriali.

2. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti.

3. Chiusura lineare di un insieme non vuoto A di vettori di uno spazio vet-

toriale.

4. Insieme di generatori e base di uno spazio vettoriale.

5. Spazio vettoriale finitamente generato.

6. Lemma di Steinitz (o Teorema dello scambio).

7. Dimensione di uno spazio vettoriale.

8. Teorema del completamento a base.

9. Somma e somma diretta di due sottospazi di uno spazio vettoriale.

10. Formula di Grassmann.

11. Complemento diretto di un sottospazio vettoriale.

12. Minore di ordine p di una matrice.

13. Rango di una matrice.

14. Sistema lineare e matrici associate

15. Soluzione di un sistema lineare e sistema lineare compatibile.

16. Sistema principale equivalente ad un sistema lineare.

17. Teorema degli orlati.

18. Polinomio caratteristico di una matrice quadrata.

19. Autovalore e autovettore di una matrice quadrata.

20. Autospazio relativo ad un autovalore di una matrice quadrata.

21. Matrici simili e matrice diagonalizzabile.

22. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore di una

matrice quadrata.

23. Prodotto scalare.

24. Base ortogonale e base ortonormale.

25. Teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

1

26. Complemento ortogonale di un sottoinsieme non vuoto A di uno spazio

metrico reale. ◦

∈

27. Proiezione ortogonale di v lungo w, dove v, w V (R) (spazio metrico

reale).

28. Matrice ortogonale e matrice ortogonalmente diagonalizzabile.

Dimostrazioni di Algebra (con enunciato incluso)

1. Sia A un insieme non vuoto di vettori di V (K). Se A contiene un sottoin-

sieme B di vettori linearmente dipendenti, allora A è legato.

2. Un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è legato se e soltanto se uno

dei suoi vettori è combinazione lineare dei rimanenti. ∈

3. Siano A è un insieme di generatori di uno spazio vettoriale V (K). Se v A

\ {v}

è combinazione lineare dei rimanenti vettori di A, allora A è ancora

un insieme di generatori di V (K).

4. Uno spazio vettoriale finitamente generato ammette almeno una base.

5. (NO EDAR) Lemma di Steinitz (o Teorema dello scambio).

6. Due basi di uno stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori.

7. Teorema di caratterizzazione delle basi di uno spazio vettoriale.

8. L’intersezione e la somma di due sottospazi è un sottospazio vettoriale.

9. Teorema di Cramer.

10. Teorema di Rouché-Capelli.

11. (NO EDAR) Un criterio di diagonalizzabilità.

12. (NO EDAR) La somma di due sottospazi è diretta se e solo se la loro

intersezione è banale. ◦

13. In uno spazio metrico reale V (R) è possibile decomporre un vettore v

n ̸

nella direzione di un vettore w = 0 e nella direzione ortogonale a w.

14. Matrici simili hanno lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratter-

istico. 2

Definizioni o enunciati di teoremi di Geometria

1. Sottospazio lineare (o affine) di dimensione h dello spazio affine (K).

A n

2. Retta e piano dello spazio affine (K).

A n

3. Sottospazi lineari (o affini) paralleli dello spazio affine (K).

A n

4. Rette sghembe

5. (NO EDAR) Riferimento affine e coordinate affini di un punto di (K).

A 3

6. Fascio proprio e fascio improprio di rette in (K).

A 2

7. Fascio proprio e fascio improprio di piani in (K).

A 3

8. Segmento e punto medio.

9. (NOEDAR) Sottospazi lineari (o affini) ortogonali.

10. (NOEDAR) Riferimento cartesiano in (R).

E

n

11. Proiezione ortogonale di un punto P sulla retta r.

12. Circonferenze di (R) ed (R).

E E

2 3

13. Sfera di (R).

E

3

14. Punto improprio del piano affine ampliato (K).

A 2

e

15. (NO EDAR) Punto improprio dello spazio affine ampliato (K).

A 3

e

16. Retta impropria del piano affine ampliato (K).

A 2

e

17. (NO EDAR) Piano improprio dello spazio affine ampliato (K).

A 3

e

18. (NOEDAR) Retta immaginaria di prima e di seconda specie di (C).

A 3

e

19. (NO EDAR) Curva algebrica di (C).

A 2

e

20. Conica

21. Teorema dell’Ordine per curve algebriche piane.

22. Conica generale, semplicemente degenere e doppiamente degenere.

23. Parabola, ellisse ed iperbole.

24. Punti coniugati rispetto ad una conica generale.

25. Polare di un punto rispetto ad una conica generale.

26. Centro di una conica generale.

27. Diametri di una conica generale. 3