Meccanica applicata alle macchine

.……………………………………………………………………. Domande Culla76w

• Rotore squilibrato dinamicamente
• Equilibratura di rotore
• Effetto giroscopio
• Freno a ceppo ad accostamento libero
• Freno a ceppo ad accostamento rigido
• Freni a pattino ad accostamento libero
• Freno a pattino ad accostamento rigido
• Freno a disco
• Frizione, Dimostrazione formula Cf per la frizione
• Le ruote dentate
• Vedere la stabilità delle omega di regime sulla caratteristica di un motore
• Regime di funzionamento stabile e instabile
• Studio della velocità di regime nel diagramma Coppia-velocità angolare
• Trasmissione cinghia
• Cinghie piane
• Rapporto tra le tensioni per cinghie piatte
• Rapporto tra tensioni in una cinghia in strisciamento con la puleggia
• Ricavare la relazione tra le tensioni nella trasmissione con cinghie piane
• Rotismo epicicloidale e forze scambiate tra solare portatreno e corona
• Forze all’interno di un rotismo epicicloidale
• Tutto sulle ruote dentate quindi evolvente e proprietà, come si disegna un dente, definizioni varie sempre sui denti e poi le domande sulla dinamica
• Ruote di frizione accostamento forza ruote dentate accostamento formato
• Differenziale simmetrico
• Differenziale open rapporto tra le velocità e le coppie
• Vibrazioni libere con smorzamento in particolare la soluzione nel caso sottosmorzato
• Problema agli autovalori di un sistema a 2 gdl
• Forzante a gradino, risposta all’impulso
• Problema sulle vibrazioni che abbiamo fatto in classe con la massa attaccata al bastone che gira e la forza centrifuga; Sistema massa molla senza smorzatore con massa eccentrica rotante
• Formule della trasformata e voleva che gli facevo grafici individuando i termini dominanti nelle varie porzioni di grafico

Domande Fregolent

• Forze inerziali sull’aereo, Azioni inerziali dell’elica di un aeroplano
• Freno a disco
• Freno a ceppi accostamento libero
• Freno a ceppi ad accostamento rigido
• Freno a pattino ad accostamento libero
• Effetto giroscopico su aereo
• Funzionamento della frizione
• Frizioni piane
• Perno-boccola
• Coppia rotoidale (anche con una forza in direzione diversa sulla cerniera)
• Rapporto di trasmissione di cinghia piatta,
• Ricavare la relazione tra le tensioni nella trasmissione con cinghie piane
• Ruote di frizione e varie considerazioni sulle risultanti
• Cosa succede se sposto l'interasse nelle ruote dentate è
• Cosa succede se modifico l'angolo di pressione tra le ruote dentate
• Ruote dentate, espressione della coppia motrice, come cambiano le forze scambiate e l'angolo di pressione a parità di Cm se modifico la grandezza delle ruote
• Rapporto di trasmissione tra ruote dentate e cosa mi garantisce che sia costante
• Rapporto di trasmissione delle ruote dentate
• Differenze rotismo epicicloidale e ordinario
• Rotismo epicicloidale a corona bloccata
• Differenziale
• Ha chiesto la velocità angolare del portatreno del differenziale e la differenza tra il moto in rettilineo e in curva.
• Rapporto tra le velocità di un rotismo epicicloidale con considerazioni cinematiche
• Rapporto trasmissione differenze tra rotismi ordinari ed epicicloidali
• Rotismo epicicloidale a corona bloccata
• Trovare la coppia resistente offerta dai satelliti in funzione della coppia motrice in un rotismo epicicloidale a corona bloccata con considerazioni dinamiche
• Ricavare la relazione tra coppia resistente e motrice in un rotismo epicicloidale a partire da considerazioni sulle forze tra le ruote
• Rotismo epicicloidale coppia trasmessa ai supporti
• Ha continuato il discorso inserendo prima una trasmissione e poi un volano per vedere come variava omega resistente
• Trasmissione con volano (Tutto il volano) e considerazioni sul regime periodico
• Riduzione all'albero motore e stabilità
• Vibrazioni autoeccitate
• Fattore di amplificazione e studio nel sistema smorzato con forzante armonica
• Rotore jephcott

Domande sulle vibrazioni e risposte

• Vibrazioni libere con smorzamento in particolare la soluzione nel caso sottosmorzato
• Fattore di amplificazione e studio nel sistema smorzato con forzante armonica
• Problema sulle vibrazioni che abbiamo fatto in classe con la massa attaccata al bastone che gira e la forza centrifuga
• Sistema massa molla senza smorzatore con massa eccentrica rotante
• Forzante a gradino, risposta all’impulso
• Formule della trasformata e voleva che gli facevo grafici individuando i termini dominanti nelle varie porzioni di grafico
• Problema agli autovalori di un sistema a 2 gdl
• Vibrazioni autoeccitate

Cosa sono le vibrazioni libere?

Cosa sono le vibrazioni libere? Trattare il caso di sistema vibrante con smorzamento in particolare la soluzione nel caso sottosmorzato?

Consideriamo un sistema costituito da molla più massa.

In primo luogo la massa raggiunge una posizione di equilibrio statico in cui la forza elastica è equilibrata alla forza peso . = Immaginiamo ora di imporre alla massa uno spostamento attorno a . Ciò che ottengo è che nel sistema si innescano delle vibrazioni libere attorno alla posizione di equilibrio statico.

Perciò per ottenere un moto vibrazionale è necessario che ci sia una forza di inerzia e una forza elastica che soddisfano l'equazione dei moti armonici.

Eq. del sistema considerato Ÿ + = 0

Inoltre la vibrazione in questo sistema è libera perché, nel sistema considerato, la forza costante (la forza peso mg) non è influente nel moto vibrazionale.

Perciò le vibrazioni libere hanno luogo quando nel sistema non agiscono delle forze esterne oppure, se esse sono presenti, non perturbano il sistema dalla posizione di equilibrio statico.

Ora nel sistema precedente andiamo ad aggiungere uno smorzatore e modellizziamo il suo effetto nel sistema come una forza viscosa. = '

Nel caso di sistema vibrante con smorzatore abbiamo che il moto vibrazionale è descritto dalla seguente equazione differenziale del secondo ordine ordine lineare omogenea a coefficienti costanti.

Ÿ + ' + = 0

Il nostro obiettivo è modellizzare il sistema in modo tale che i risultati ottenuti siano coerenti con la realtà meccanica osservata.

Risolviamo l’EDO attraverso il metodo di variazione della costante.

Come risultato nel caso di sottosmorzamento, cioè abbiamo ζ < 1 −ζω −ω ω () = [ + ]1 2

Ma il termine tra parentesi quadra è un numero complesso, mentre noi osserviamo uno spostamento reale; perciò trasformiamo i numeri complessi attraverso la formula di Eulero ottenendo: −ζω () = [(ω ) + (ω )] Dove A e B sono due costanti che si determinano note le condizioni iniziali.

Volendo possiamo utilizzare la formula di addizione del seno per poter riscrivere la risposta del sistema libero in termini di modulo e fase. Andiamo a graficare la risposta del sistema in funzione del tempo.

Osserviamo che la soluzione è compresa in una regione di spazio delimitata da due curve dette “curve di estinzione“.

Inoltre la risposta del sistema passa da un moto periodico (oscillazione libera senza smorzatore) a un moto oscillatorio. Ciò avviene a causa delle forze dissipative che agiscono all’interno del sistema che fanno sì che il moto vibrazionale si estingua in un tempo più o meno lungo.

Tale risposta rappresenta una fase transitoria del sistema.

Cos’è il fattore di amplificazione?

Cos’è il Fattore di amplificazione? Studio del F.A. nel sistema smorzato con forzante armonica? Consideriamo un sistema costituito da una massa+molla+smorzatore e una forzante armonica data da . = (ω)

Svolgiamo il diagramma di corpo libero sulla massa e studiamo le forze che agiscono su di essa. Ora scrivendo le equazioni di equilibrio dinamico secondo D'Alembert lungo la direzione verticale otteniamo il seguente risultato:

Ÿ + ' + = (ω)

La quale è un'equazione differenziale del secondo ordine, non omogenea, a coefficienti costanti.

La soluzione è data dalla combinazione lineare dell'omogenea più la soluzione particolare.

−ζω (ω+φ)() = [(ω ) + (ω )] + 2( )2 22ω ω1− +4ζ2 2ω ω

La risposta del sistema è formata da una fase transitoria più una soluzione a regime. Quindi poiché la fase transitoria tende a zero per un tempo più o meno lungo considero solo la soluzione a regime.

Per definire il fattore di amplificazione è tuttavia necessario definire la deformata statica, come quella deformazione che subirebbe il sistema se esso fosse sottoposto a una forza costante di modulo f. = A questo punto possiamo dare la definizione del fattore di amplificazione come il rapporto tra il modulo della soluzione a regime diviso la deformata statica.

Fisicamente rappresenta l’incremento subito dalla deformazione statica per effetto di una forzante armonica.

|()| 1. . = = 2 ( )2 22ω ω1− +4ζ2 2ω ω

Possiamo osservare che F.A.. è una curva funzione del rapporto tra la pulsazione della forzante e la pulsazione naturale e dal fattore di smorzamento. Andando a graficare F.A. in funzione delle due variabili indipendenti osserviamo le seguenti curve nel quale evidenziamo diversi comportamenti:

• Andando a svolgere lo studio di funzione di F.A. in funzione del rapporto delle pulsazione emergono due punti critici. Il punto 0 in cui è presente una tangenza orizzontale e un punto di massimo prossimo a uno nella quale si verifica il fenomeno della risonanza.
• Per rapporti molto alti della pulsazione le curve tendono ad andare a zero. Poiché il contributo fornito dalla forzante armonica è più rilevante;
• Al crescere del fattore di smorzamento il fattore di amplificazione tende a diminuire. Per ζ = 1 il massimo scompare perché il sistema passa da un moto vibrazionale a un moto aperiodico critico in cui non si innescano le oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio statico.
• Per il F.A. tende ad andare all’infinito. Cioè l’incremento che la deformata statica ζ = 0 subirebbe, in condizioni di risonanza senza smorzamento, è infinito. Ciò in realtà non è quello che accade realmente. Perché quando il fattore di smorzamento è nullo non è vero che il transitorio diviene irrilevante. Infatti in questo caso la soluzione dell’omogenea non tende a zero.

Lo studio del fattore di amplificazione è importante perché mette in evidenza una delle caratteristiche. più importanti nella vibrazione forzata In un sistema leggermente smorzato quando la pulsazione della forzante si avvicina alla pulsazione naturale del sistema l’ampiezza della vibrazione risulta avere un massimo oppure tende a infinito. Inoltre il diagramma mostra che aggiungendo smorzamento si. può ridurre l’ampiezza della vibrazione

Problema sulle vibrazioni con la massa attaccata al bastone

Problema sulle vibrazioni che abbiamo fatto in classe con la massa attaccata al bastone che gira e la forza centrifuga

(foto del sistema)

Ho un sistema a 1 g.d.l. (il grado di libertà è la massa M che può muoversi solo lungo la direzione verticale) che fa ruotare una massa con una velocità angolare . L’obiettivo è studiare le ω = oscillazioni che si innescano nel sistema e capire quanto la massa dell’eccentrico è influente in tale.

Perché il Fattore di amplificazione non solo è dipendente dalle frequenze e dal coefficiente ma è ζ influenzato anche dalla massa dell’eccentrico.

Siccome ho soltanto la forza centrifuga. Inoltre per come è realizzato il sistema ω = considero sola la componente verticale della forza.2

La sola componente verticale è data da = ω ε (ω)

Scrivo l’equazione dei moti armonici per la massa M la quale risulta essere un sistema forzato con smorzamento: 2Ÿ + ' + = ω ε (ω)

2' Ÿ+ + = ω ε (ω) 2 2Ÿ + 2ζω ' + ω = ω ε (ω) Siamo interessati solo alla soluzione a regime

In questo caso dividendo la soluzione diviso il rapporto tra le masse otteniamo la seguente espressione:

2ω2|()| ω. . = = ε 2( ) 2 22ω ω1− +4ζ2 2ω ω

Da cui si osservano i seguenti comportamenti caratteristici:

• Se 2ω → 0 tutte le curve tendono a zero 2ω
• Se 2ω → 1 ho la risonanza 2ω
• Se 2ω → + ∞ Le curve tendono a un asintoto orizzontale 2ω

Forzante a gradino, risposta all’impulso

Forzante a gradino, risposta all’impulso

Le forzanti a gradino rientrano tra le forzanti non periodiche, esse appunto non hanno un andamento ripetitivo nel tempo, ma assumono una forma di questo tipo:

in cui vi è un istante di tempo t che definisce quando la forza comincia ad agire sul sistema, prendendo un tempo t* antecedente all’istante in cui comincia ad agire la forza, ovviamente il sistema risulta non eccitato.

Difatti l’equazione che caratterizza la forzante a gradino è la seguente:

Il valore F è il valore della forzante a gradino e risulta 0 costante.

Anche in questo caso ci sono due tipi di sistema, non smorzato e smorzato.

• Sistema non smorzato

Sistema a 1 grado di libertà non smorzato a cui viene applicata una forzante a gradino e caratterizzato dal un diagramma di corpo libero da cui si ottiene l’equazione del moto e da cui la soluzione: 0() = (ω ) + (ω ) +

Questa soluzione è sempre data dalla somma della soluzione dell’omogenea associata e dalla soluzione particolare dell’equazione di moto per t>0

Ÿ + = 0

Da qui possiamo ricavare le costanti A e B usando le condizioni iniziali. Nel caso in cui sia y(0)=0 e 0 =− = 0 y’(0)=0 abbiamo che: e

Da cui si ha la soluzione che chiameremo risposta al gradino

0() = [1 − (ω )] si ottiene la risposta al gradino unitario detta ammettenza indiciale A(t)

Ponendo = 10 Il sistema è caratterizzato da un moto vibrazionale periodico attorno la posizione di equilibrio statico che 1 in tal caso è proprio

• Sistema smorzato

In questo caso subentra l’azione dello smorzatore viscoso per cui l’equazione di moto è:

per t>0

Ÿ + ' + = 0

La soluzione detta risposta al gradino sarà sempre data dalla somma della soluzione dell’omogenea associata più la soluzione particolare data dalla forzante.

La soluzione dell’omogenea sarà proprio quella delle vibrazioni libere smorzate e quella particolare 2,0 = ω = ω 1 − ζ sarà sempre data da mentre è l’oscillazione naturale smorzata da cui si ottiene: −ζω 0() = [(ω ) + (ω )] +

Sempre tramite l’imposizione delle condizioni iniziali, che abbiamo supposto nulle come nel caso precedente, nulle ricavo le costanti A e B: ω 0 0 =− =− ζ ω

Da cui la risposta alla forzante a gradino è:

ω−ζω 0 () = {1 − [ (ω ) + ζ (ω )]} ω =1

Imponendo sempre otteniamo la risposta al gradino unitario anche chiamata ammettenza 0 indiciale A(t). Si può notare che il sistema compie oscillazioni smorzate attorno alla posizione di equilibrio che in questo caso è 1 . proprio

Domande risposte sui transitori

• Studio della velocità di regime nel diagramma Coppia-velocità angolare (culla) Ha continuato il discorso inserendo prima una trasmissione e poi un volano per vedere come variava omega resistente (fregolent)
• Riduzione all'albero motore e stabilità. Regime di funzionamento stabile e instabile. Studio della velocità di regime nel diagramma