Domande aperte svolte per l'esame di Fisica 2

(B)

dΦ + Φ (B) − Φ () = 0

t 2 1

⁡Φ⁡(B) (B) () (B)

= ⁡ Φ − Φ = ⁡ −dΦ

Quindi: 2 1 t

(B)

dΦ Φ(B)

t

= ⁡⁡ ∗ = =−

 ∮ (la forza di L. è responsabile in questo caso della fem indotta)

Se il circuito é fermo v = 0 , ma il campo magnetico B varia nel tempo. La forza che agisce sugli elettroni del

circuito è: F = −e(E + v × B) la seconda componente é sicuramente nulla dato che v=0. Quindi la presenza

della f.e.m. indotta si deve associare alla presenza di un campo elettrico.

= ∗ = ∗ Σ = − ∗ Σ

∮ ∫ ∫

( )

∗ = ∗ Σ = − ∗ Σ

Applicando stokes sappiamo che: ∮ ∫ ∫

Il campo elettrico e la fem indotta sono quindi dovuti alla variazione nel tempo del campo magnetico. Si

tratta di un fenomeno fondamentale e la relazione ottenuta è una delle equazioni di Maxwell del campo

elettromagnetico. ∇

Esprimiamo allora B in termini del potenziale vettore: B = × A quindi:

d dA

∇ ⁡ × ⁡E = ∇ ⁡ × ⁡A = −∇⁡x⁡

dt dt

confrontando la prima e l'ultima uguaglianza:

=−

In generale se il campo elettrico in una regione fosse dovuto sia ad una variazione di campo magnetico che

a cariche fisse, si avrebbe anche il termine dovuto al potenziale scalare elettrostatico V:

∇V

=− −

Parlando invece di circuitazione possiamo notare delle similitudini tra la legge di Ampere-Maxwell e la legge

di Faraday. Infatti quest’ultima affermava che la circuitazione di E è uguale a meno la variazione del flusso

di B, invece la legge di Ampere-Maxwell afferma che la circuitazione di B è uguale alla variazione del flusso

di E moltiplicato per un determinato coefficiente.

Descrivere i fenomeni di autoinduzione e di mutua induzione

1.

Autoinduzione

Consideriamo un circuito di forma qualunque percorso da corrente, il movimento di corrente creerà un

campo magnetico, quindi varierà di conseguenza il flusso del campo magnetico del circuito stesso , si

dimostra che questo auto flusso è proporzionale a un coefficiente chiamato L e alla corrente che scorre nel

Φ = Li

circuito.

L é il coefficiente di autoinduzione o induttanza del circuito. Dipende dalla forma dei circuito e dalle

proprietá magnetiche del mezzo; sempre positivo.

Questa variazione di flusso provoca la formazione di una fem indotta, infatti:

Φ ()

= − =− = −

Mutua induzione

Consideriamo due circuiti se uno dei due è percorso da corrente genererà un campo magnetico e

otterremo una variazione di flusso nell’altro circuito, si dimostra che questo flusso è proporzionale alla

corrente i e ad un parametro detto coefficiente di mutua induzione M che dipende dalla forma dei circuiti,

dallo loro posizione relativa e dalle proprietá magnetiche del mezzo; positivo o negativo (+ se il flusso

induttore e quello indotto sono concordi). Lo stesso ragionamento vale al contrario con il secondo circuito

percorso da corrente e il primo che risente della variazione del flusso di B.

= ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡;⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡Φ =

Φ

1,2 1,2 1 2,1 2,1 2

Si dimostra che M12 e M21 sono uguali.

Le variazioni di flusso descritte precedentemente generano una fem indotta nel circuito che risente della

variazione di B, infatti:

Φ ( ) Φ ( )

2,1 2 2 1,2 1 1

= − =− = − ⁡⁡⁡⁡⁡⁡;⁡⁡⁡⁡⁡ = − =− = −

1 2

Equazioni di Maxwell in forma differenziale

1.

Le equazioni di Maxwell sono un sistema di quattro equazioni differenziali che, insieme alla forza di

Lorentz, costituiscono le leggi fondamentali che governano l'interazione elettromagnetica. Notiamo che le

prime due equazioni di Maxwell contengono solo il campo elettrico e le altre due il campo magnetico.

Partiamo dalle leggi dell’elettrostatica: q ρ

∗ Σ = ⁡⁡⁡⁡ → ⁡⁡ → ⁡ ∇ ∗ E =

Teorema di Gauss: ∮ ε ε

0 0

∗ = 0 → ⁡⁡ → ⁡ ∇⁡x⁡E = 0⁡

Legge della circuitazione di E : ∮

Passiamo alle leggi della magnetostatica:

∗ Σ = 0 ⁡⁡⁡⁡ → ⁡⁡ → ⁡ ∇ ∗ B = 0

Flusso di B: ∮

∗ = → ⁡⁡ → ⁡ ∇⁡x⁡B =

Legge della circuitazione di B: ∮ 0 0

Queste equazioni che non dipendono dal tempo verranno superate dallo studio dei fenomeni

elettromagnetici al variare del tempo e si troveranno delle relazioni tra E e B, come vediamo di seguito.

Infatti la presenza di un campo magnetico dipendente dal tempo porta alla formazione di un campo

elettrico non conservativo quindi le equazioni precedenti vengono modificate, infatti:

dB dE

∇⁡x⁡E = − ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡e⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡∇⁡x⁡B = + ε

0 0 0

dt dt

Come possiamo notare, in condizioni statiche e non dipendenti dal tempo si ritorna alle equazioni

precedenti

Descrivere i vari modi di propagazione delle onde

1.

Con onda, in fisica, si indica una perturbazione che nasce da una sorgente e si propaga nel tempo e

nello spazio trasportando energia o quantità di moto, senza comportare un associato spostamento

della materia.

Definiamo con:

 Onda una perturbazione che si propaga con una velocità ben definita.

 Sorgente: oggetto e luogo dei punti in cui si produce la perturbazione.

 Funzione d'onda: la funzione ξ(x, y, z,t) detta funzione d'onda che descrive la propagazione della

perturbazione in funzione dello spazio e del tempo.

La sorgente può consistere in una vibrazione di un corpo materiale che mette in movimento le

molecole di un mezzo (onde elastiche/meccaniche) o in un movimento di cariche elettriche (onde

elettromagnetiche).

Il campo elettrico e il campo magnetico E(x, y, z,t), B(x, y, z,t), nel vuoto o in mezzi materiali, sono

esempi di campi vettoriali; per definirli in un dato sistema cartesiano occorrono tre funzioni,

Ex (x, y, z,t), Ey (x, y, z,t), Ez (x, y, z,t) Bx (x, y, z,t), By (x, y, z,t), Bz (x, y, z,t)

Una situazione particolare è costituita dalle cosiddette onde piane, descritte dalla funzione ξ(x,t),

spazialmente unidimensionale, cioè dipendente dalla sola coordinata spaziale x oltre che dal tempo. La

funzione ξ(x,t) soddisfa l'equazione differenziale:

2 2

∂ 1 ∂

ξ ξ

=

2 2 2

∂x ∂t

Le soluzioni possono essere di qualsiasi tipo, però la dipendenza dalle variabili x e t deve assumere una

delle due forme ξ(x − vt), ξ(x + vt)

Un tipo particolare di onda piana é l'onda armonica, la cui funzione d'onda si scrive: ξ(x,t) = ξ sin k(x − vt)

0

ξ(x,t) = ξ cos k(x − vt) dove ξ é l'ampiezza dell'onda e la costante k é il numero d'onda. Le equazioni si

0 0

scrivono anche: ξ(x,t) = ξ sin(kx − ωt) ξ(x,t) = ξ cos(kx − ωt) dove ω = kv indica la pulsazione dell'onda.

0 0

Se fissiamo il tempo t = t0, ξ(x,t) è una sinusoide nella variabile x che si ripete per ogni coppia di punti

consecutivi aventi coordinate x1 e x2 tali che k(x1 − x2) = 2π La distanza λ = (x1 − x2) = 2π/k é detta

lunghezza d'onda dell'onda armonica. Se fissiamo la posizione x = x0, ξ(x,t) é una sinusoide nella variabile t

che si ripete identica agli istanti di tempo t1 e t2 tali che ω(t2 − t1) = 2π L'intervallo di tempo T = (t2 − t1) =

2π/ω é detto periodo dell'onda armonica.

La funzione d'onda: ξ(x,t) = ξ0 sin(kx − ωt) si scrive in forma piú generale: ξ(x,t) = ξ0 sin(kx − ωt + δ)

l'argomento completo della funzione d'onda si chiama fase dell'onda, φ(0, 0) = δ è detto fase iniziale.

Se tutte le grandezze significative relative alla perturbazione che si propaga hanno direzione di variazione

che coincide con l'asse x, l'onda si dice longitudinale. Se le grandezze significative relative alla

perturbazione hanno direzione di variazione diversa dalla direzione di propagazione, l'onda si dice

trasversale. Questo é il caso delle onde elettromagnetiche piane.

Derivare l’equazione differenziale delle onde dalle equazioni di Maxwell

1.

Riscriviamo le equazioni di Maxwell in assenza di sorgenti ( p=0 . j=0)

∇ ∇ ∇ ∇

· E = 0 , · B = 0 , × E = − ∂B/∂t , × B = εµ ∂E/∂t

Adesso ci limitiamo a studiare il caso più semplice in cui E e B dipendono solo da x e t; quindi:

∂E ∂B

∂E ∂E ∂E ∂B ∂B ∂B

y y

x z x x z x

∇⁡ · ⁡E = + + = 0 → ⁡⁡⁡ =0 ∇ ⁡ · ⁡B = + + = 0 → ⁡⁡⁡ =0

;

∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x

∂E ∂B

∂E ∂B ∂B ∂B ∂E ∂E

y y

z x x z x x

(∇⁡ × ⁡E) = − =− ⁡⁡ → ⁡⁡ = 0⁡ (∇ ⁡ × ⁡B) = − = εµ ⁡⁡ → ⁡⁡ =0

;

∂y ∂z ∂t ∂t ∂y ∂z ∂t ∂t

Quindi: Bx = costante Ex = costante l'unica soluzione costante che soddisfa le ipotesi di assenza di sorgenti

(cariche o correnti stazionarie) è Bx = 0; Ex = 0.

∂B ∂B ∂E ∂E

∂E ∂E ∂E ∂E ∂B ∂B

y y y y

x z z x z z

(∇⁡ × ⁡E) = − =− ⁡⁡ → ⁡⁡ = ⁡ (∇⁡ × ⁡E) = − =− ⁡⁡ → ⁡⁡ =−

;

∂z ∂x ∂t ∂t ∂x ∂x ∂y ∂t ∂t ∂x

∂E ∂E ∂B ∂B

∂B ∂B