Domande aperte per esame di Meccanica superiore

1. Vincoli olonomi e anolonomi (1)

Per vincoli si intende imporre delle condizioni a un sistema affinché questo non sia libero di muoversi nello spazio, ma è condizionato da essi.

Esistono due tipologie di vincoli:

• olonomi (di posizione)
• anolonomi (di mobilità)

Per definire i vincoli olonomi è importante introdurre il concetto di gradi di libertà che è valido per i seguenti schemi:

• Punto materiale (pt)
• Corpo rigido (corpo che mantiene invariate le distanze tra i loro punti) nel tempo

Gradi di libertà sono: 1, 2 o 3 punti (che servono per definirli) 3 gdl per pt materiale, ad esempio (x, y, z) e 6 gdl per il corpo rigido nel quale vengono introdotte anche rotazioni caratterizzate da terna fissa (c₁, c₂, c₃). Una solida al corpo i = 1, j = 3 dove l'intersezione dei piani c_i, c_j definisce la retta nei nodi. Oltre 3 coordinate pt si hanno 3 parametri di rotazione:

• angolo di Eulero φ = 0 ÷ π
• rotaz. propria = 0 ÷ 2π
• precessioni = 0 ÷ 2π

Quindi vincoli olonomi sono vincoli che limitano le posizioni di un sistema, in cui gli spostamenti non hanno la completa libertà di movimento nello spazio, ambiente in cui si muove il sistema.

Fanno parte dei vincoli olonomi i vincoli bilaterali, ovvero vincoli esprimibili con delle equazioni (➕).

Per vincoli anolonomi o vincoli di mobilità si intendono vincoli che con opportune formule meccaniche coinvolgono sia le posizioni che le velocità dei pt del sistema.

È importante sottolineare che un vincolo di posizione comporta di conseguenza un vincolo di velocità esprimibile dalla sua derivata, ma non è scontato che un vincolo di velocità comporta un vincolo di posizione.

Per definire il modello matematico di sistemi con vincoli anolonomi vediamo un esempio dove le equazioni si agghi.

Abbiamo un sistema con vincoli s ₁ usati con g ₁ gdl in coord. agr. q₁(t) ... q_m(t) con h vincoli holonomi (h < k) indipendenti nel tempo esprimiamo i vincoli nel seguente modo:

∑_j=1 f_j q _j q _j = φ_i con i = 1, h (h n° di vincoli)

in formula parametri discivolando colle:

φ_i = ∑_ρ=1 f_j q _j xp con j = 1, n (n° doci di lagrange)

Definito S:i':h-nh

L'eq. subloga della dinamica si può riscrivere introducendo le

• velocità lagrangiane

Σ (z_j-q_j) φ - Σ q φ

in questo modo andiamo ad introdurre vincoli anolonomi calcolate dalle ec. di lag. solo componenti lagrangiane

Sostituendo le velocità lagrangiane come prima definite possiamo scrivere:

Σ (z_j-q_j φ_s (q)) → Σ (z_j-q_j) φ φ(q) → Σ

Siamo dunque partiti da elementi arbitrari ad α_p elem. arbit. individuando quindi le equazioni:

• Σ (z-q) φ_sp )= 0 p=1, ..., s che è possibile risolvere: α_p = A_p (x, q)

La definizione di α, β definiscono un sistema diff. del I ordine che con opportune condizioni iniziali è possibile risolvere

c_i q^._i (t₀) = α^._p (t₀) = α^.

Eq. di moto per sistemi olonomi e anolonomi

Per sistemi olonomi con il coord. lagrangiane q(t) sogg. a vincoli lisug e fissa a sollecit. possiamo riscrivere le eq lagrangiane:

L(q,q^.) = T(q,q^.) - U(q) con Ec → T(q,q^.) = 1/2 a_hk (q) q h q^●_k = U(q) e il pot della sollecitazione

Queste re riscrivono il sistema con m eq differenziali di II ordine che come incognite hanno le coord. lagrangiane e possono riscrivere:

E (_φ - o )

→ Σ^k_h=1 a_hk (q^j) q^.f b_k (q,q^.

solo le coord Goldi lagrangiane

solo non lineari ma con opportune HP è possibile linearizzarlo

• si allunette il posizione di equilibrio per valori nulli delle coord. lagran il sistema conservativo q₈k q^.₀ = (0,0,1,0) t
• il moto si svolge nel intorno della quiete q(t) = q(t) piccole
• aggi concupsu la stabilit a Tmam di Brichtht

Assunte queste ipotesi è possibile linearizzare le equazioni di lagrange prendendo una approssimata

L(q,q_j)= T(q