Vibrazioni meccaniche

Vibrazioni meccaniche

Il moto vibratorio è un moto che avviene attorno ad una posizione di equilibrio. Si studia a causa dell'esistenza di corpi o della adeguatezza dei vincoli. Teoricamente ogni punto che ha superato gradi di libertà ha un moto vibrazionale. Tuttavia molti sistemi vibratori reali possono ricondursi ad un solo g.d.l. Vibratorio con un modello a parametro concentrato e lineare.

Obiettivo dello studio delle vibrazioni meccaniche

L'obiettivo dello studio delle vibrazioni meccaniche è quello di:

1. Individuare le condizioni di risonanza.
2. Isolamento delle vibrazioni.

Elementi fondamentali

• Massa: Nel caso di sistemi reali è opportuno tenere conto anche di una caratteristica dissipativa.
• Smorzatore: Solitamente si ha e che funge con uno smorzatore viscoso.

Comunque il sistema sia costruito si potrà dire che esso è soggetto a vibrazione quando almeno uno dei suoi punti presenta un moto nell'intorno di una data configurazione di equilibrio. Tale moto si ripete con le medesime caratteristiche dopo un intervallo di tempo ben definito, ovvero il periodo T della vibrazione.

Frequenza della vibrazione

La frequenza della vibrazione f = 1/T è il numero delle oscillazioni complete per unità di tempo. Il moto vibrotorio di un sistema si parla di due particolari valori della frequenza:

1. Frequenza naturale o frequenza propria (f_n): È la frequenza con cui vibra un sistema che ha solamente caratteristiche elastiche e non è soggette a forze attive.
2. Frequenza eccitatrice (f_f): È quella che agisce sul sistema con variabile periodica.

Quando si ha che f_n = f_f, si ha risonanza. Allora può poi corrispondere una sollecitazione dell'ampiezza del moto vibrotorio con possibile pericolo per l'integrità del sistema.

Tipi di vibrazioni

Sostanzialmente esistono due tipi di vibrazioni:

• Vibrazioni libere:
  • Senza smorzamento potenzialmente alla frequenza naturale
  • Con smorzamento -> Vibrazioni transitorie
• Vibrazioni forzate:
  • Senza smorzamento
  • Con smorzamento

Moto armonico

È espresso per un punto da una relazione del tipo: x = X cos(ωt). Tale relazione rappresenta uno spostamento x(t) il cui valore oscilla fra per esempio X e -X, dove X = ampiezza della vibrazione. Il periodo angolare è di 2π, quindi il periodo sarà T = 2π/ω, essendo ω la pulsazione angolare. La frequenza sarà: f = ω/2π.

Una relazione scritta in questo modo assume che il valore del tempo t sia misurato da un istante t₀ in cui lo spostamento assume il valore massimo: per t = t₀ → x = X. Nella sua forma più generale:

x(t) = X cos(ωt + φ)

Angolo di fase (φ) indica che l'origine dei tempi è spostata di un Δt= φ/ω rispetto dell'istante in cui x(t) = X. Per tale relazione si avrà velocità:

ẋ = -ωXsin(ωt+φ) = ωXcos(ωt+φ+π/2)

La velocità è spostata di π/2 e la velocità massima si avrà quando lo spostamento è pari all'ampiezza massima. Sarà massima per x = 0. L'accelerazione sarà:

ẍ = -ω²Xcos(ωt+φ) = ω²Xcos(ωt+φ+π)

L'accelerazione risulta spostata di π.

Moti periodici non armonici

Non tutti i moti periodici sono armonici. La teoria matematica dimostra che un qualsiasi moto periodico esprimibile con una funzione può essere descritto attraverso la serie di Fourier, quale somma di funzioni sinusoidali di pulsazione ω, 2ω, 3ω, ... mω. La serie di Fourier è rappresentata come:

f(t) = A₀ + A₁sin(ωt+φ₁) + A₂sin(ωt+φ₂) + ...

Essa rappresenta la somma di n armoniche, dove A₁, A₂, A₃, ... sono le ampiezze delle singole armoniche e φ₁, φ₂, φ₃, ... sono le rispettive fasi.

Riduzione delle rigidezze

Collegamento in parallelo

F_i = k_i x => F = Σ_i=1^m F_i = x Σ_i=1^m k_i => F = (k_eq) x => Molla (k) equivalente k_eq = Σ_i=1^m k_i

Collegamento in serie

F = F_i = k