Vettori (somma, prodotto e derivata)

VETTORI

grandezzescalarivettoriali

vettore e caratteri ztandard:- modulo- direzione- verso

I vettori sono applicati in un punto; il punto di applicazione è rilevante.

CAMPI VETTORIALI

Regione di uno spazio, ad ogni punto della quale può essere associato un vettore;campo vettoriale è dunque l'insieme di tali vettori.

I campi in cui per ogni punto dello spazio i vettori sono equipollenti.

CAMPI UNIFORMI

I campi in cui i vettori (pur diversi) si mantengono invariati nel tempo.

CAMPI STAZIONARI

SOMMA DI VETTORI

grafico dei vettori

d = a + b

PROPRIETÀ DEI VETTORI

- prodotto vettore per scalare_ma = m_amB = b^'._b = m^A_B

- proprietà commutativa_a + b = b + _a

- proprietà associativa(_a + b) + c = _a + (b + c)

Scomposizione di un vettore

scomposizione vettoriale

vettori componenti

_a = _ax + _ayax = _a._îay = _a._ĵ => _a = _axî + _ayĵ

modulodirezione e verso

Vettori

grandezze scalari vettoriali

Vettore e caratteristiche:

• modulo
• direzione
• verso

I vettori sono applicati in un punto; il punto di applicazione è rilevante.

Campi Vettoriali

Regione di spazio ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; campo vettoriale è detto l'insieme di tali vettori.

I campi in cui per ogni punto dello spazio i vettori sono equipollenti.

Campi Uniformi

I campi in cui i vettori (punti diversi) si mantengono inalterati nel tempo.

Somma di Vettori

c = ā + b̅

Proprietà dei Vettori

1. prodotto vettore per numero

   (m*a̅) = ā*bm = m*b̅

   m=-1 (ā ) → b̅ = -ā

2. proprietà commutativa

   ā + b̅ = b̅ + ā

3. proprietà associativa

   (ā + b̅) + c = ā + (b̅ + c)

Scomposizione di un Vettore

Δr = Δx + Δy

vetori componenti

Δr̅

• Δx̅ = Δx * i̅
• Δy̅ = Δy * ĵ

Δr̅ = Δx*ī + Δyīj

1. componenti
2. versori unitari

Δr = √(Δx² + Δy²)

modulo

direzione e verso

Versori

Modulo unitario

notazioni:

• i
• j
• k

Somma in coordinate cartesiane

a = a_xî + a_yĵ

b = b_xî + b_yĵ

(a + b) = (a_x + b_x)î + (a_y + b_y)ĵ

Prodotto tra vettori

Prodotto scalare:

a · b = a b cosθ

è uno scalare

a_xb_x + a_yb_y = a b cosθ

a · b = 0

a ⊥ b

Proprietà:

• commutativa: a · b = b · a = ab cosθ
• distributiva: ĸ · (b + c) = ĸ · b
• teorema di Carnot (del coseno):

c = a + b

c² = (a̅

a_x ² + b² = a b cosθ

Prodotto vettoriale

a x b = ab sinθ

area del parallelogramma

Proprietà:

• non commutativo: a x b = - b x a
• null vector if one is zero or vectors are parallel
• distributiva: a x (b + c) = a x b + a x c
• non associativa

a x (b x c)

(a x b) · c

(c x ) · b

{ μₓ × μₓ = 0 μₓ × μᵧ = μ_z }

Il prodotto vettoriale è definito dal determinante

į · b = a bₜ

į × b = į × (bₜ + bₙ) = į × bₜ + į × bₙ = b × bₙ

momento di un vettore rispetto ad un polo

M_o = OP x F _o ∥ M_o ∥= ∥OP _∥ë F | sinθ P _{è ortogonale al piano individuato da OP x F P = O P = xF = ∥OP}