Vettori, sistemi e applicazioni lineari

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L′espressione (p) indica il numero di coppie di inversione per la permutazione p.

Il segno di p è dato da sign(p) = (-1)^(p).

Una permutazione p è di classe pari se sign(p) = 1 (cioè (p) è pari), di classe dispari se sign(p) = -1 (cioè (p) è dispari).

Definizione di determinante:

Sia A una matrice n x n. Il determinante della matrice A è dato da:

det(A) = ∑ sign(p) * a1,p(1) * a2,p(2) * ... * an,p(n)

dove la somma è estesa a tutte le possibili permutazioni p di n elementi e ai,j indica l′elemento della matrice A nella riga i e colonna j.

Proprietà dei determinanti:

Se B è ottenuta scambiando due righe (o colonne) di A, allora det(B) = -det(A).

allora = - ;2d ) Se B è ottenuta da A sommando ad una riga (o colonna) una combinazione lineare delle restanti righe3 B A(colonne), allora = ;d ) Il determinante di A si annulla se e solo se le righe o le colonne di A sono linearmente dipendenti.4Calcolo del determinante con la regola di Laplace∈ M (R )Sia A , si dice complemento algebrico dell’elemento a , e si indica con A , il determinantehk hkndella matrice quadrata di ordine n-1 ottenuta da A sopprimendo la h-esima riga e la k-esima colonna presoh+kcon il segno (-1) .Teorema di Laplace. Il determinante di una matrice quadrata A di ordine n è dato dalla somma dei prodottidegli elementi di una sua riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici. Cioè:n =+ + + = ∑A a Aa A a A a A i 1, 2, , n= LLi i i i in in ij ij1 1 2 2 =j 1oppure n+ + + = =∑A 1, 2, ,a A a A a A j na A= L Lij ij1 j 1 j 2 j 2 j nj nj =i 1Calcolo del determinante con il metodo di eliminazione di GaussIl metodo di

La eliminazione di Gauss è una procedura che permette di trasformare una qualunque matrice quadrata A in una matrice triangolare, mediante una successione finita di trasformazioni elementari del tipo:

1. Scambio di due differenti righe (o colonne): i ↔ j
2. Somma di una riga (o colonna) con un'altra moltiplicata per uno scalare: i ↔ i + jα

Poiché le trasformazioni del tipo 1 cambiano il segno del determinante, mentre le trasformazioni del tipo 2 non alterano il determinante, le matrici A ed A' avranno lo stesso determinante se si è operato un numero pari di scambi di righe o colonne, se invece si è operato un numero dispari di scambi allora A' = -A.

Descriviamo ora il metodo di eliminazione di Gauss. Sia

A =

a11	a12	...	a1n
a21	a22	...	a2n
...	...	...	...
an1	an2	...	ann

dove a_ij ≠ 0 (se A è una matrice quadrata di ordine n).

Mediante scambi di righe o colonne facciamo in modo che 11diversa dalla matrice nulla ciò è sempre possibile). Dobbiamo ora operare in modo che tutti gli elementi della=j n2,3, , ,prima colonna, eccetto il primo, siano nulli. Pertanto, per ogni basta sottrarre alla j-esimaLa / a .riga della matrice A la prima riga moltiplicata per j 1 11Si ottiene così una matrice del tipo:

La a a
11 12 1n
L
0 a a
22 2 n

A' = M M O M

L
0 a a
n 2 nn

che ha lo stesso determinante della matrice A o, al più, il suo opposto. Operando in modo analogo sulle colonne successive, si perviene ad una matrice triangolare il cui determinante differisce da quello di A al più per il segno.

Rango di una matrice

La proprietà d consente di stabilire rapidamente se un sistema di n vettori numerici di ordine n,4v , v , , v , è linearmente dipendente o indipendente. Basta infatti considerare la matrice A che ammette:

L1 2 nv , v , , v

Vettori come righe o come colonne e calcolare il determinante di A. Se Δ = 0 allora i vettori saranno linearmente dipendenti, diversamente essi saranno linearmente indipendenti.

Sia A una matrice. Si dice minore di ordine k di A (k ≤ m e k ≤ n) una matrice quadrata di ordine k ottenuta da A sopprimendo m-k righe e n-k colonne. ρ ∈ M(R), e si indica con (A) l'ordine massimo di un minore.

Si definisce rango di una matrice A m x n il massimo ordine di un minore estratto da A con determinante diverso da zero. ρ.

Ovviamente, se la matrice A è quadrata di ordine n, allora (A) = n se e solo se il determinante di A è diverso da zero.

Teorema. Sia A una matrice m x n. La dimensione dello spazio generato dalle righe della matrice A coincide con la dimensione dello spazio generato dalle colonne di A. Inoltre si ha: (A) = dim L(Rⁿ) = dim L(R^m).

I minori della matrice aventi determinante non nullo e di ordine massimo (cioè pari al rango)

di A) sono determinanti fondamentali. Le righe e le colonne che formano un determinante fondamentale costituiscono una base, rispettivamente, di ( )( ) 1 2 na , a , , a a , a , , aL e di L. Cioè costituiscono un sistema massimo di righe e di colonneL L1 2 mlinearmente indipendenti. ∈ M ( R )Teorema (degli orlati). Una matrice A ha rango h se e solo se esiste un determinante di ordine h conm , ndeterminante non nullo tale che tutti i suoi orlati abbiano determinante nullo.Inversa di una matrice −∈ 1M (R ) Asi dice invertibile se esiste una matrice, detta matrice inversa, taleUna matrice quadrata A n− −⋅ = ⋅ =1 1A A A A Iche .nPer un calcolo più rapido della matrice inversa conviene applicare le seguenti proprietà:−≠ =• 1-1A AA 0A invertibile e .⇒ − *≠ 1=• -1 tA 0 A ( A )( A )A invertibile e .⇒*Dove A = (A ) è la matrice i cui elementi sono i complementi algebrici degli elementi di uguale

posizione diijASistemi lineariUn sistema lineare è un insieme di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K.Un sistema lineare si può quindi indicare nel modo seguente:

∑_i=1ⁿa_ijx_i = b_j

S : L₁1x₁ + L₁2x₂ + ... + L₁nx_n = b₁

L₂1x₁ + L₂2x₂ + ... + L₂nx_n = b₂

..........

L_m1x₁ + L_m2x₂ + ... + L_mnx_n = b_m

a_ij, b_j ∈ K

Con i ∈ {1, 2, ..., m} e j ∈ {1, 2, ..., n}

Gli scalari a_ij si chiamano coefficienti delle incognite, mentre gli scalari b_j si diconoij itermini noti. b_j ∈ K

Ad ogni sistema lineare S si può associare la matrice dei coefficienti A = (a_ij), detta ancheij m×n matrice incompleta, e la cosiddetta matrice completa C ottenuta aggiungendo ad A la colonna dei termini noti.

    a11  a12  ...  a1n  b1
    a21  a22  ...  a2n  b2
    ...
    am1  am2  ...  amn  bm

Si chiama soluzione del sistema S una n-upla di K che verifica tutte le equazioni.

delL1 2 nsistema S, ossia: α α α+ + + = a a a bL11 1 12 2 1n n 1 α α α+ + + = a a a bL21 1 22 2 2 n n 2 .......... .......... .................... . α α α+ + + =a a a b Lm1 1 m 2 2 mn n mo equivalentemente, utilizzando la forma vettoriale,α α α+ + + =1 2 na a a b(*) .L1 2 n ≠ ∅,L’insieme delle soluzioni di S sarà indicato con Sol(S). Il sistema S si dice compatibile se Sol(S) ossiaesiste qualche soluzione, si dice, invece, incompatibile (o impossibile) se è privo di soluzioni, cioè Sol(S) =∅. bDalla relazione (*) si deduce che se il sistema S è compatibile allora la colonna dei termini noti èb dipende linearmente dalle colonne dellacombinazione lineare delle colonne della matrice A. Viceversa se( )β β β β β β+ + + =1 2 n, , , a a a bmatrice A, allora esiste una n-upla di K tale che , maLL1 2 n 1 2 n( )β

β β, , ,questo vuol dire che è una soluzione, cioè che il sistema è compatibile. Possiamo allora concludere dicendo che il sistema S è compatibile se e solo se . Inoltre, se il sistemaLb come combinazione lineare deiS è compatibile, le sue soluzioni sono tante quanti i modi di esprimere1 2 na , a , , avettori . Questi risultati ci consentono di provare i seguenti:L ρ ρ=( A ) ( C )Teorema di Rouché – Capelli. Un sistema lineare AX = B è compatibile se e solo se .ρ ρ =1 2 n 1 2 n( A ) L ( a , a , , a ) ( C ) L ( a , a , , a , b )Dimostrazione. Sappiamo che = dim e .L L∈ 1 2 nb L ( a , a , , a )Se il sistema è compatibile, e, dunque,Lρ ρ=1 2 n 1 2 nL ( a , a , , a , b ) L ( a , a , , a ) ( A ) ( C )= e .L Lρ ρ= 1 2 n 1 2 n( A ) ( C ) L ( a , a , , a ) L ( a , a , , a , b )Viceversa, se allora i sottospazi e hanno laL L⊆1 2 n 1 2 nL ( a , a ,^a) L_a, a_a, ..., a_b)stessa dimensione, ed essendo , essi necessariamente devonoL Lcoincidere. Pertanto: ∈ 1 2 n 1 2 nb L_a, a_a, ..., a_b) L_a, a_a, ..., a_a)= .L LDunque il sistema è compatibile. ρ ρ( A ) ( C )= = n, allora il