Vettori, sistemi e applicazioni lineari

Spazi vettoriali

Siano K un campo e V un insieme. Diremo che V è uno spazio vettoriale sul campo K se sono definite due operazioni: un'operazione interna su V (+) detta somma, ed un'operazione esterna (x) detta prodotto, tali che:

• (V, +) sia un gruppo abeliano, cioè goda delle proprietà associativa e commutativa, abbia l'elemento neutro e abbia l'inverso.
• Il prodotto esterno soddisfi le seguenti proprietà:
  • \((h \times k) \times v = h \times (k \times v)\)
  • \((h + k) \times v = hv + kv\)
  • \(h \times (v + w) = hv + hw\)
  • \(1 \times v = v\)

Sottospazio vettoriale

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K, e sia U sottoinsieme di V con U diverso dal vettor nullo. Diciamo che U è un sottospazio vettoriale se anche lui è spazio vettoriale su K, cioè se gode delle stesse proprietà di V, restringendo la somma a U x U ed il prodotto a K x U.

Indipendenza e dipendenza lineare

Sia uno spazio vettoriale V e A [v₁, v₂, …, v_n] un sistema di vettori di V. Il sistema A si dice libero, ovvero i vettori di A si dicono linearmente indipendenti, se l'unica combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, …, v_n che dà il vettor nullo è quella a coefficienti tutti nulli. Se il sistema non è libero, diremo che è legato, ovvero i suoi vettori sono linearmente dipendenti.

Sistema di generatori di uno spazio vettoriale

Sia V uno spazio vettoriale e sia A un sistema non vuoto di vettori di V, si dice copertura lineare di A, e si indica L(a), l'insieme di vettori di V che si possono esprimere come combinazione lineare di un numero finito di vettori di A.

Sia V uno spazio vettoriale e sia A ⊆ V. Il sottospazio vettoriale L(A) si dice spazio generato da A. Se poi L(A) = V, si dice che A è un sistema di generatori di V. Diremo che V è finitamente generato (f.g.) se esiste in esso almeno un sistema di generatori.

Basi e dimensioni

Teorema: ogni spazio vettoriale V f.g. non banale ammette almeno un sistema libero di generatori.

Dimostrazione: sia S = [v₁, v₂, …, v_n] un sistema di generatori di V, se S è un sistema libero di generatori allora il teorema è dimostrato, se S non è libero allora un suo vettore v_i è combinazione lineare degli altri e quindi si può eliminare perché S \ {v_i} è ancora un sistema di generatori di V. Ora, se S è libero, il teorema è dimostrato, sennò si continua come prima.

Lemma di Steinitz: sia V uno spazio vettoriale f.g., sia B = [v₁, v₂, …, v_n] un suo sistema di generatori e sia A = [u₁, u₂, …, u_m] un sistema libero di vettori di V. Allora m ≤ n.

Si dice base di uno spazio vettoriale V f.g. una sequenza libera di generatori di V.

Teorema: tutte le basi di uno spazio vettoriale V hanno lo stesso numero di vettori.

Dimostrazione: siano B = [v₁, v₂, …, v_n] e A = [u₁, u₂, …, u_m] due basi di V. Poiché B è un sistema di generatori di V e A è un sistema libero si ha che m ≤ n ma invertendo i ruoli si ottiene che n ≤ m e quindi m = n.

Teorema: una sequenza B = [v₁, v₂, …, v_n] è base se, e soltanto se, ogni vettore di V si può esprimere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B.

Lemma: se A' = [v₁, v₂, …, v_n] e A'' = [u₁, u₂, …, u_m] sono sequenze di vettori di V tali che A = A' ∪ A'' è una sequenza libera e A' ∩ A'' = ∅, allora L(A') ∩ L(A'') = ∅.

Dimostrazione: se per assurdo in L(A') un vettore w ≠ ∅ si avrebbe w = a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv_n ma anche w = b₁u₁ + b₂u₂ + … + b_mu_m; sottraendo membro a membro si otterrebbe una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli che dà il vettor nullo dai vettori della sequenza A che per ipotesi è libera, cioè un assurdo.

Teorema del complemento di una base: sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e sia A = [v₁, v₂, …, v_p], ove p ≤ n, una sequenza libera di vettori di V. Allora in qualunque base di V esiste una sequenza B' di vettori tale che A ∪ B' è base di V, inoltre L(A) e L(B') hanno in comune solo il vettor nullo.

Dimostrazione: applicando il lemma di Steinitz ad una base B di V si possono sostituire p vettori di B con i vettori di A ottenendo così un nuovo sistema B'' di generatori di V che, essendo un sistema di n generatori in uno spazio di dimensione n, è base. Il sistema B' creato è appunto formato dagli n-p vettori di B''\A. Il resto è diretta applicazione del lemma precedente.

Intersezione e somma di sottospazi

Dati due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V(K), la loro intersezione è l'insieme:

U ∩ W = {v ∈ V : v ∈ U e v ∈ W}

Proposizione: se U e W sono sottospazi di uno spazio vettoriale V(K), allora U ∩ W è un sottospazio vettoriale di V(K).

Proposizione: siano U e W due sottospazi di uno spazio vettoriale V(K), allora:

U ∪ W ⊆ V se, e soltanto se, U ⊆ W oppure W ⊆ U.

Definizione: siano U₁, U₂, …, U_r sottospazi dello spazio vettoriale V(K). Si dice somma dei sottospazi U_i:

S = U₁ + U₂ + … + U_r = {u₁ + u₂ + … + u_r : u_i ∈ U_i}

S è un sottospazio di V(K).

Definizione (somma diretta): dati U₁, U₂, …, U_r sottospazi dello spazio vettoriale V(K). La loro somma si dice diretta e si scrive S = U₁ ⊕ U₂ ⊕ … ⊕ U_r, se ogni vettore z ∈ S è esprimibile in modo unico come somma di r vettori, uno per ogni U_i.

Proposizione: siano U₁, U₂, …, U_r sottospazi dello spazio vettoriale V(K). La loro somma è diretta se e soltanto se, scegliendo m ≤ r vettori u_i non nulli e al più uno in ogni sottospazio U_i, i vettori u₁, u₂, …, u_m sono linearmente indipendenti.

Definizione: siano U e W due sottospazi di uno spazio vettoriale V(K). Si dice somma di U e W:

U + W = {u + w : u ∈ U, w ∈ W}

Proposizione: il sottospazio minimo contenente U e W è U + W.

Dimostrazione: dobbiamo dimostrare che L(U ∪ W) = U + W. Osserviamo che U ∪ W ⊆ L(U + W), quindi L(U ∪ W) = U + W, inoltre U ⊆ U ∪ W e W ⊆ U ∪ W quindi, U ⊆ L(U ∪ W) e W ⊆ L(U ∪ W), da cui U + W ⊆ L(U ∪ W).

Proposizione: la somma di due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V(K) è diretta se e soltanto se U ∩ W = {∅}.

Corollario: uno spazio vettoriale V(K) è somma diretta dei suoi sottospazi U e W se e soltanto se U ∩ W = {∅} e U + W = V.

Proposizione (formula di Grassmann): siano U e W due sottospazi di uno spazio vettoriale V(K) finitamente generato. Allora:

dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W).

Definizione: se U è un sottospazio vettoriale di V(K), si dice complemento diretto di U in V, un sottospazio vettoriale W di V tale che U ⊕ W = V.

Sistemi lineari

Richiami di calcolo combinatorio:

Dato un numero naturale n, si chiama n fattoriale il numero denotato con n! ed ottenuto dal prodotto dei primi n numeri interi:

n! = 1 · 2 · … · n.

Si assume, per convenzione, 0! = 1.

Si chiama permutazione di un insieme N_n una funzione biettiva p: N_n → N_n. L'insieme delle permutazioni di N_n si denota con S_n ed è formato da n! elementi.

Ogni permutazione si può rappresentare con:

• \(\begin{array}{c}1 & 2 & \ldots & n \\ p_1 & p_2 & \ldots & p_n \end{array}\)

oppure, più semplicemente, con: (p₁, p₂, …, p_n) dove p_i = p(i).

Sia p ∈ S_n, si dice che p presenta una inversione nella coppia (h, k) se h < k e p(h) > p(k). Il numero di coppie di inversione per p si indica con μ(p). Si chiama segno di p il numero:

sign(p) = (-1)^μ(p)

La permutazione p è detta di classe pari se sign(p) = 1 (μ(p) pari), di classe dispari se sign(p) = -1 (μ(p) dispari).

Definizione di determinante

Sia A ∈ M_n(R), si chiama determinante della matrice A il numero:

det(A) = \(\sum_{p \in S_n} \text{sign}(p) a_{1p_1} a_{2p_2} \ldots a_{np_n}\)

cioè la somma di tutti i possibili prodotti di n elementi appartenenti a righe e colonne diverse tra loro.

Proprietà dei determinanti

Il determinante di una matrice A gode delle seguenti proprietà:

• Se B è ottenuta scambiando due righe (o colonne) di A, allora det(B) = -det(A).
• Se B è ottenuta da A sommando ad una riga un multiplo di un'altra, allora det(B) = det(A).