Un corpo che scivola nella zona ruvida

Un corpo che scivola nella zona ruvida

La superficie di un piano inclinato è divisa in due parti, la prima perfettamente liscia e la seconda ruvida. Un corpo scivola su di esso, partendo da fermo, per un tratto di 30 cm, prima di entrare nella zona ruvida dove il coefficiente di attrito dinamico vale μ_D = 0.61. Sapendo che l’angolo di inclinazione del piano è di 30°, calcolare quanto distanza in totale ha percorso il corpo prima di fermarsi.

Moto del corpo sulla parte liscia

Dividiamo lo svolgimento in due parti. Consideriamo prima il moto del corpo sulla parte liscia, senza attrito. Le forze a cui è soggetto il corpo sono quella gravitazionale, di modulo P = mg, diretta verticalmente verso il basso e la reazione vincolare del piano diretta perpendicolarmente al piano stesso. Per il piano inclinato si preferisce scegliere come sistema di riferimento cartesiano quello avente gli assi mutuamente ortogonali di cui uno, l’asse x, parallelo al piano inclinato. Fissiamo il verso dell’asse x concorde con il moto del corpo durante la sua discesa. Lungo l’asse y non c’è moto e dunque la reazione vincolare del piano è in modulo uguale alla componente y della forza peso P. Lungo l’asse x la forza peso vale:

P_x = P sin α

dove α = 30° rappresenta l’inclinazione del piano rispetto all’orizzontale. In assenza di attrito P_x è l’unica forza responsabile del moto, pertanto grazie alla legge sulla dinamica possiamo scrivere:

P_x = mg sin α = ma

dove a è l’accelerazione totale del corpo lungo l’asse x. Semplificando otteniamo:

a = g sin α

e si tratta di un moto uniformemente accelerato. Per questo tipo di moto valgono le formule, con ovvie notazioni:

• v = v₀ + at
• x = x₀ + v₀t + 1/2 at²

Nel nostro caso vogliamo calcolare con che velocità esce il corpo dalla zona liscia, cioè v. Sappiamo che lo spazio percorso, cioè x - x₀, vale 30 cm, ovvero x = 0.3 m, avendo posto, per semplicità, x₀ = 0. Svolgendo i calcoli, sapendo che il corpo parte da fermo e quindi v₀ = 0:

• v = g sin α t
• x = 1/2 g sin α t²

Ricaviamo il tempo t dalla prima equazione:

t = v/(g \sin \alpha)

e sostituiamo nella seconda equazione ottenendo:

x = (v²)/(2g \sin \alpha)

da cui

v = \sqrt{2gx \sin \alpha}

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

v = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 0.3 \cdot \sin 30^\circ} = 1.716 m/s

dove abbiamo tenuto una cifra significativa in più per i calcoli successivi.

Moto nella zona ruvida

Passiamo alla seconda parte dello svolgimento. Il corpo entra con velocità iniziale v₀ = 1.716 m/s nella zona ruvida. Le forze che agiscono sul corpo in questo caso, lungo x, sono la componente della forza peso, calcolata in precedenza, cioè P_x = mg sin α e la forza d’attrito, che si oppone al moto, di modulo pari a F_A = μ_DN dove μ_D è il coefficiente di attrito dinamico, fornito dal testo dell’esercizio, e N è il modulo della forza ortogonale alla superficie, cioè P_y che è la componente y della forza peso. Analogamente a quanto fatto per il calcolo di P_x possiamo scrivere:

P_y = mg cos α

e la forza totale lungo x diventa:

F_x = P_x - μ_DP_y

ovvero

F_x = mg(sin α - μ_Dcos α)

Per la legge della dinamica possiamo scrivere:

F_x = ma

da cui otteniamo l'accelerazione totale lungo x nel caso della parte di piano ruvido:

a = g(sin α - μ_D cos α)

Sostituiamo intanto i valori numerici, ricordando che dal testo μ_D = 0.61,

a = 9.81(sin 30° - 0.61 cos 30°) = -0.277 m/s²

dove abbiamo tenuto una cifra significativa in più per i calcoli successivi. Si tratta quindi di un moto uniformemente decelerato, per cui valgono le stesse formule di prima:

• v = v₀ + at
• x = x₀ + v₀t + 1/2 at²

dove stavolta v = 0 perché il corpo si ferma, v₀ = 1.72 m/s perché è la velocità con cui entra nella zona ruvida, calcolata in precedenza e, come prima, x₀ = 0 per semplicità. Sostituendo i dati...