Tutte le 650 domande e risposte esame di Statistica - 100 Pagine - Aggiornate a Novembre 2022

Introduzione alla statistica

La statistica ci offre gli strumenti per:

• Organizzare, riassumere, analizzare i dati relativi a un fenomeno, ottenuti attraverso le misurazioni.
• L'inferenza ha lo scopo di dedurre le caratteristiche dell'intera popolazione a partire da dati raccolti.

Concetti di base

Statistica descrittiva

La statistica descrittiva organizza e riassume i dati.

Popolazione e campione

La popolazione è l'insieme di elementi che forma l'oggetto di uno studio statistico.

Il campione è un sottoinsieme della popolazione.

Un campione rappresentativo è casuale.

Metodi di campionamento

• Il campionamento sistematico è caratterizzato dalla selezione di un elemento ogni k elementi successivi.
• Il campionamento stratificato è caratterizzato da una popolazione divisa in sottogruppi omogenei.
• Il campionamento a blocchi è caratterizzato da cluster.

Fasi di un'indagine statistica

1. Definizione degli obiettivi della ricerca.
2. Rilevazione dei dati.
3. Elaborazione metodologica.
4. Presentazione ed interpretazione dei risultati.
5. Utilizzazione dei risultati raggiunti.

Tipi di indagine

L'indagine statistica può essere campionaria o di tipo censuario.

Tipologie di variabili

• La mutabile è un carattere qualitativo.
• Il numero di lanci di una moneta è una variabile discreta.
• Il reddito pro-capite è una variabile continua.

Relazioni causa-effetto

Consideriamo la relazione y=f(x), dove x è rappresentato dall'inflazione ed y sono i tassi di interesse nell'Euro Area: X è la variabile indipendente.

Calcola la y sapendo che f(x) = -10 ed indica il tipo di relazione:

• y = 10; la relazione è lineare.
• y = 100; la relazione è non lineare.

Sommatoria delle frequenze

• La sommatoria di tutte le frequenze relative di una tabella di frequenza è pari a 1.

Unità statistica e popolazione

L'unità statistica è l'unità elementare oggetto di osservazione e di studio.

La popolazione è finita quando è determinabile il numero di unità che la compongono.

Il lancio di una moneta è un esempio di popolazione infinita.

Caratteristiche dei dati

• Il carattere sesso è un carattere qualitativo sconnesso.
• Il carattere età è un carattere continuo.
• Il carattere titolo di studio è un carattere qualitativo rettilineo.
• Il carattere stato civile è un carattere qualitativo sconnesso.
• Il carattere numero di figli è un carattere discreto.
• Il carattere professione è un carattere qualitativo sconnesso.

Scale di misura

• Non è una scala di misura delle manifestazioni di un carattere statistico: La scala semilogaritmica.

Frequenze

• La frequenza assoluta è il numero delle volte in cui la modalità Xi è stata osservata.
• La frequenza relativa è uguale a ni/n.
• In una distribuzione statistica, la somma delle frequenze relative è sempre uguale a 1.

Classi e ampiezze

• Una classe è aperta se entrambi gli estremi sono esclusi.
• Una classe è chiusa se entrambi gli estremi sono inclusi.
• L'ampiezza della classe è la differenza tra estremo superiore e estremo inferiore della classe.
• La classe è chiusa a sinistra se solo l'estremo sinistro è incluso.
• Il valore centrale è la semisomma dei due estremi.

In una tabella doppia, se entrambi le variabili sono qualitative, si parla di tabella di contingenza.

In una tabella doppia, se entrambi le variabili sono quantitative, si parla di tabella di correlazione.

Rappresentazioni grafiche

• La rappresentazione grafica di distribuzioni di frequenze che si sviluppa attraverso una serie di rettangoli contigui viene chiamata istogramma.
• Le densità di frequenza di un istogramma si ottengono dal rapporto tra la frequenza di una classe e l'ampiezza della classe medesima.
• Come viene classificato l'ortogramma: sia a nastro sia a colonne.
• Costituiscono rappresentazioni grafiche adatte per caratteri quantitativi: L'istogramma e box-plot.
• La rappresentazione grafica che si sviluppa attraverso una circonferenza suddivisa in tanti spicchi, viene chiamata diagramma circolare.
• Per la costruzione di un box plot si utilizzano i seguenti valori: Xmin, Q1, Med, Q3, Xmax.
• Il box plot, rappresentato tramite un rettangolo, è diviso al suo interno dalla mediana.
• Il box plot fornisce informazioni sulla variabilità, sulla presenza di valori anomali e sulla simmetria/asimmetria della distribuzione.
• All'interno del rettangolo (box plot) sono contenute il 50% delle osservazioni.
• Costituiscono rappresentazioni grafiche adatte per caratteri qualitativi: ortogramma e diagramma circolare.

Indipendenza e correlazione

Tra due variabili vi è indipendenza assoluta se le frequenze osservate sono uguali alle frequenze teoriche.

Si chiama contingenza la differenza tra frequenze osservate e frequenze teoriche.

La somma delle contingenze di ciascuna riga e di ciascuna colonna sono nulle.

Indice chi-quadrato

• L'indice chi-quadrato di Pearson (χ²) dipende dalla dimensione del collettivo.
• Se si raddoppia la numerosità campionaria, il valore del chi-quadrato raddoppia.
• Il max χ² è uguale a n × [min (r-1; c-1)].
• L'indice di contingenza quadratica medio φ² è uguale a χ²/n.
• L'indice di connessione di Cramer varia tra zero e uno.
• Indice chi-quadrato è un indice simmetrico.
• Quali di questi indici è relativo: l'indice di connessione di Cramer.

Calcoli statistici

Vengono prelevate 15 compresse da un lotto di produzione, i valori sono: 0,485; 0,442; 0,466; 0,448; 0,419; 0,415; 0,450; 0,435; 0,443; 0,410; 0,434; 0,450; 0,422; 0,440; 0,464. Calcolare il peso medio: 0.4415.

Consideriamo i seguenti dati: Calcolare la media aritmetica: 34.19.

La media geometrica è uguale alla radice n-esima del prodotto dei termini.

Trovare la media geometrica: 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12: 6.43.

Calcolare la media geometrica relativa all'andamento dei prezzi di un dato prodotto: 1,103 1,031 0,939 1,097: 1.04.

I voti riportati da uno studente in fisica, statistica e matematica sono: 71, 78, 89 (voti in centesimi). I pesi attribuiti alle discipline sono rispettivamente 2, 4, 5. Calcolare la media dei voti: 82.

La media armonica è il reciproco della media aritmetica dei reciproci dei termini.

Calcoli di velocità media

Due punti C e D, distano 80 km, un corpo si muove da C a D alla velocità di 80 km/h e da D a C alla velocità di 20 km/h. Determinare la velocità media dell'intero tragitto: 32 km/h.

Uso della media geometrica

• La media armonica è particolarmente usata quando si mediano rapporti di tempo.
• La media geometrica è particolarmente usata quando i diversi valori vengono per loro natura moltiplicati.

Calcolo della mediana

• Calcolare la mediana della seguente serie di voti: 19, 20, 22, 18, 26, 30, 28: 22.
• Calcolare la mediana della seguente serie: -2, -3, -5, 0, 1, 4, 7: 0.
• Il secondo quartile coincide con la mediana.

Si consideri la seguente distribuzione in classi: pesi frequenze. La classe mediana: 58-62.

Con riferimento alla domanda 4 la mediana: 61.5.

Quartili

• Il primo quartile è quel valore che lascia alla sua destra il 75% delle osservazioni e alla sua sinistra il 25% delle osservazioni.
• Calcolare il primo quartile: 55.97.
• Calcolare il terzo quartile: 69.

Data una serie di valori numerici, il valore a cui corrisponde la massima frequenza si chiama moda.

Variabilità dei dati

Cosa si intende per variabilità: È l'attitudine di un fenomeno quantitativo ad assumere differenti modalità.

Indici di variabilità

• Quale dei seguenti indici indica la variabilità di una serie di dati: scarto quadratico medio.
• La devianza è la somma degli scarti dalla media aritmetica al quadrato.
• Conoscendo la devianza, lo scarto quadratico medio si ricava calcolando la radice quadrata del rapporto tra devianza e numerosità del collettivo.
• Calcolare la varianza dei seguenti numeri: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5: 23.75.
• Calcolare lo scarto quadratico medio dei seguenti numeri: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5: 4.87.
• Il coefficiente di variazione è dato dal rapporto, espresso in termini percentuali, tra lo scarto quadratico medio e media aritmetica.
• La differenza interquartile è data dalla differenza tra terzo e primo quartile.
• Il campo di variazione è dato dalla differenza tra valore massimo e minimo della distribuzione.
• La mutabilità è l'attitudine di un fenomeno qualitativo ad assumere differenti modalità.

Simmetria e asimmetria

• Dire se la seguente distribuzione è simmetrica: 8, 14, 16, 16, 16, 21, 21: Non è simmetrica.
• L'asimmetria di una distribuzione denota che i valori del caratteri sono distribuiti con frequenze differenti attorno al suo valore centrale.
• L'asimmetria di una distribuzione può essere nulla, positiva o negativa.
• Se la distribuzione è asimmetria positiva si ha: Med-Q1 < Q3-Med.
• Se la distribuzione è asimmetria negativa si ha: Med-Q1 > Q3-Med.
• L'indice di asimmetria Skewness di Pearson è calcolato come differenza tra la media aritmetica e la moda divisa la deviazione standard.

Curtosi

• La curtosi rappresenta il grado di schiacciamento di una distribuzione intorno al suo centro di gravità e rispetto alla curva normale.
• La distribuzione si dice platicurtica se è più schiacciata rispetto alla normale.
• La distribuzione si dice leptocurtica se è più appuntita rispetto alla normale.
• Il coefficiente di curtosi di Pearson è uguale al rapporto tra il momento quarto e quadrato della varianza.

Indipendenza e correlazione statistica

Si ha indipendenza in media tra due variabili statistiche se le media parziali sono uguali tra di loro ed uguali alla media generale.

• L'indipendenza in media non è un concetto simmetrico.
• Il rapporto di correlazione di Pearson varia tra 0 e 1.
• Si ha concordanza tra due variabili se Cod(X,Y)>0.
• Si ha discordanza tra due variabili se Cod(X,Y)<0.
• Si ha indipendenza correlativa tra due variabili se Cod(X,Y)=0.
• Due variabili si dicono perfettamente correlate se il coefficiente di correlazione è pari a 1 in valore assoluto.

Covarianza e correlazione

Date le variabili: X(Velocità km/h): 60, 80, 100, 120, 130 Y(Consumo in quinta km/litro): 28.8, 24.2, 20, 18.2, 16. La codevianza (X,Y) è: -57.69.

La covarianza (X,Y) è una misura simmetrica.

Il coefficiente di correlazione è un numero puro.

Coefficiente angolare e retta di regressione

Il coefficiente angolare b rappresenta la pendenza della retta.

• Con il metodo dei minimi quadrati si minimizza la somma dei quadrati degli scarti tra valori osservati e valori teorici.
• Date le variabili: X(Velocità km/h): 60, 80, 100, 120, 130 Y(Consumo in quinta km/litro): 29.8, 24.2, 20, 18.2, 16.2. Determinare l'equazione della retta: y^= 39.882-0.1857xi.
• Date le variabili: X(Velocità km/h): 60, 80, 100, 120, 130 Y(Consumo in quinta km/litro): 29.8, 24.2, 20, 18.2, 16.2, il coefficiente di determinazione lineare è: 0.9650.
• Il coefficiente di determinazione lineare è uguale a 1 se è nulla la devianza residua.

La devianza di regressione misura quanta parte della variabilità della Y è spiegata dalla relazione lineare.

Se Cod (X,Y)>0, la retta di regressione è crescente.

Coefficiente di determinazione lineare

• Il coefficiente di determinazione lineare è il quadrato del coefficiente di correlazione lineare.
• Il coefficiente di determinazione lineare è nullo se è nulla la devianza di regressione.
• Se il coefficiente di correlazione r=0, non c'è correlazione lineare.

Esperimenti casuali

Un esperimento casuale è un'operazione il cui risultato non può essere previsto con certezza.

• Dati i seguenti eventi: A=(1,2,3), B=(2,3,4). Determinare A∪B={1,2,3,4}.
• Dati i seguenti eventi: A=(1,3,5,7), B=(3,5,9,10), C(1,5,9,10). Determinare A∪B∪C={1,3,5,7,9,10}.
• Dati i seguenti eventi: A=(1,3,5,7), B=(3,5,9,10), C(1,5,9,10). Determinare A∩B={3,5}.
• Dati i seguenti eventi: A=(1,3,5,7), B=(3,5,9,10), C(1,5,9,10). Determinare A∩C={1,5}.
• Dati i seguenti eventi: A=(1,3,5,7), B=(3,5,9,10), C(1,5,9,10). Determinare B∩C={5,9,10}.
• Dati i seguenti eventi: A=(1,3,5,7), B=(3,5,9,10), C(1,5,9,10). Determinare A∩B∩C={5}.

Per il postulato 2 dell'assiomatizzazione del calcolo delle probabilità, l'evento certo Ω ha probabilità P(Ω)=1.

La probabilità dell'unione di due eventi A e B non incompatibili: P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(A∩B).

Se due eventi A e B sono indipendenti allora P(A∩B)= P(A)P(B).

Variabili casuali

Una variabile casuale è una funzione definita sullo spazio dei campioni.

• La funzione di ripartizione di una variabile casuale esprime la probabilità che la variabile casuale assuma valori inferiori o uguali a un valore fissato.
• Una distribuzione di probabilità di una variabile casuale è l'insieme delle coppie probabilità dei diversi valori possibili della variabile casuale.
• La funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta è una funzione a gradini non decrescente.

Sia data una variabile casuale X, se essa assume valori in corrispondenza di un insieme numerabile, allora X è discreta.

• Una variabile casuale continua X assume tutti i valori appartenenti a un intervallo.

Affinché una variabile casuale X continua sia ben definita, occorre che ...

Il valore atteso E(b+X) è (b è una costante reale): E(b+X)=b+E(X).

Il valore atteso E(X+Y) è (X e Y sono due variabili casuali): E(X+Y)= E(X)+E(Y).

La Var (aX+b) è: a e b sono due costanti reali: Var (aX+b)=a²Var (X).

Distribuzioni di probabilità

• La variabile casuale uniforme discreta è tale che ogni sua realizzazione è equiprobabile.
• La distribuzione della normale standardizzata ha media uguale a 0 e varianza uguale a 1.
• La distribuzione binomiale può essere utilizzata per descrivere casi in cui gli esiti possibili di una prova sono solo due.
• La distribuzione normale è simmetrica rispetto al valore medio.

Area sotto la curva normale

A quanto corrisponde l'area sotto la curva normale tra z=0 e z=1,2: 0,3849.

A quanto corrisponde l'area sotto la curva normale tra z=0 e z=1,4: 0,4192.

A quanto corrisponde l'area sotto la curva normale tra z=0,81 e z=1,94: 0,1828.

Variabili casuali particolari

• La variabile casuale chi-quadrato non può assumere valori negativi.
• La variabile casuale t di Student, al tendere di n all'infinito, tende alla normale standardizzata.
• La variabile casuale F di Fisher-Snedecor ha valore atteso E(F)= m/(m-2).

Campionamento

• Nel campionamento bernoulliano, ogni unità statistica può entrare a far parte più volte del campione.
• Nel campionamento bernoulliano, i risultati delle estrazioni sono indipendenti.
• Da una popolazione composta da 5 unità statistiche (A, B, C, D, E) si voglia estrarre, con ripetizione, un campione casuale di numerosità 2. Lo spazio campionario è composto da 25 possibili campioni.
• Da una popolazione composta da 4 unità statistiche (A, B, C, D) si voglia estrarre, con ripetizione, un campione casuale di numerosità 2. Lo spazio campionario è composto da 16 possibili campioni.
• Da una popolazione composta da 4 unità statistiche (A, B, C, D) si voglia estrarre, con ripetizione, un campione casuale di numerosità 3. Lo spazio campionario è composto da 64 possibili campioni.

Una statistica è una variabile casuale definita sui campioni.

Una distribuzione campionaria è la distribuzione di probabilità di una statistica.

La media della distribuzione della media campionaria coincide con la media della popolazione.

Quando la popolazione è infinita, lo schema di campionamento con ripetizione coincide con lo schema di campionamento senza ripetizione.

Il teorema del limite centrale afferma che al crescere di n, la forma della distribuzione della media campionaria si approssima alla forma normale.

Stima statistica

Cosa si intende per stima puntuale: La stima attraverso la quale si giunge alla determinazione di un solo valore numerico per uno o più parametri della popolazione.

Cosa si intende per stima intervallare: La stima attraverso la quale si giunge alla determinazione di un intervallo, che include il parametro stimato, con livello di confidenza 1-α.

Lo stimatore di un parametro è una variabile casuale.