Turbine Pelton - 2

Fig. 4.1: Traiettorie relative e assolute del getto

Supponiamo di considerare un osservatore che si muove in maniera solidale con la girante.

Il punto O della figura 4.1 è centro sia del riferimento assoluto che di quello relativo, e la relazione fra le velocità nei due sistemi è la seguente:

\[\mathbf{c} = \mathbf{w} + \omega \wedge \mathbf{r}\]

(4.1)

In un tempo \(\Delta t\) la particella si muove nel riferimento assoluto di una quantità che nel sistema relativo sarà uguale allo spostamento relativo a cui viene aggiunto il contributo legato alla velocità di trascinamento:

\[\mathbf{c} \cdot \Delta t = \mathbf{w} \cdot \Delta t + (\omega \wedge \mathbf{r}) \cdot \Delta t\]

(4.2)

Quando il punto O raggiunge il punto 1 dopo un intervallo di tempo \(\Delta t\), rispetto al riferimento assoluto, ha percorso un arco di circonferenza di centro O e di raggio O1 e di lunghezza pari a:

\[l = (\omega \wedge \mathbf{r} \cdot O1) \cdot \Delta t\]

(4.3)

La posizione nel sistema di riferimento assoluto della particella P si ottiene aggiungendo allo spostamento nel sistema relativo una rotazione come corpo rigido della terna mobile con riferimento alla posizione ultima assunta dalla particella nel sistema di riferimento relativo.

In maniera del tutto analoga si può procedere quando è nota la traiettoria assoluta del getto e si vuole determinare la traiettoria relativa, ovvero la linea del getto che un osservatore solidale alla ruota vedrebbe qualora non esistano pale che intercettino il getto.

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Fig. 4.1: traiettoria relativa e assoluta del getto

Supponiamo di considerare un osservatore che si muove in maniera solidale con la giostra.

Il punto O della figura 4.1 è centro sia del riferimento assoluto che di quello relativo, e la relazione fra le velocità nei due sistemi è la seguente:

C = w × r˘ _wA ^Δt (4.1)

In un tempo Δt la particella si muove nel riferimento assoluto di una quantità che nel sistema relativo sarà uguale allo spostamento relativo a cui viene aggiunto il contributo legato alla velocità di trascinamento:

C × Δt = w × Δt + (w × r) × Δt (4.2)

Quando il punto O raggiunge il punto 1 dopo un intervallo di tempo Δt, rispetto al riferimento assoluto, ha percorso un arco di circonferenza di centro O di raggio O1 e di lunghezza pari a:

l˘ = (w × O1) × Δt (4.3)

La posizione nel sistema di riferimento assoluto della particella P si ottiene aggiungendo allo spostamento nel sistema relativo una rotazione come corpo rigido del frame mobile col riferimento alla posizione ultima assunta dalla particella nel sistema di riferimento relativo.

In maniera del tutto analoga si può procedere quando è nota la traiettoria assoluta ed il getto e si vuole determinare la traiettoria relativa, ovvero la linea di getto che un osservatore solidale alla ruota vedrebbe qualora non esista polo che intercetti il getto.

Fig. 4.2: passaggio da traiettoria assoluta a relativa

Prendiamo ora in esame il punto _T, corrispondente all'intersezione tra il riletto medio e un asse orizzontale. In questo caso, essendo velocità assoluta nella direzione dell'asse come quello di trascinamento, anche la velocità relativa sarà nella direzione dell'asse.

Dopo un certo tempo _Δt, il punto _T si è spostato fino al punto _M:

_{T M} = _{Co Δt} (4.4)

Lo spostamento relativo si considera andando a sottrarre dal punto _M un arco di circonferenza di centro _O e di lunghezza pari a:

_{M Tα} = _{O M ω Δt} (4.5)

Nel sistema relativo allora dopo un tempo _Δt2 mi trovo nel punto _Tα, che è costituito da un angolo 8 rispetto a _M pari a _{ω Δt2}.

Se considero un tempo _Δt2 pari al doppio di _Δt2, nel sistema assoluto mi trovo non più nel punto _M bensì nel punto _R.

Analogamente a prima posso sottrarre dal punto _R un arco di circonferenza di ampiezza pari a:

_RT2 = _{O R - ω Δt2} (4.6)

| _{O R - ω (2 Δt2)}

Considerando gli intervalli di tempo, nicon altre punte, che se uniti mi permettono di trovare la traiettoria relativa, sia in relazione al riletto medio, sia in relazione al riletto inferno ed esterna.

Fig. 4.3: disposizione del tagliente

Si può disporre il cucchiaio in modo che il ravo dosra sioni il getto nel suo sistema di riferimento relativa e disporre la pala precedente in modo che il suo tagliente sia ortognale al getto in corrispondenza del riletto medio e lo colpisca in un opportuno punto M.

Questa condizione di ortogonalità permette di ottenere la massima interazione tra getto e pala, una volt fissato la pala avrà tagliente non più disposti secondo direzione radiale, ma sarà inclinato di un determinato angolo δ.

U punto M non è scelto a caso, ma deve soddisfare delle condizioni:

• l_a = 4/7 n
• l₂ = 3/7 n
• l_a = 3/5 n
• l₂ = 2/5 n

Fig. 4.4: correlazioni per trovare M

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Dalla figura 4.3 si può notare che progettando opportunamente le

console si può avere un montaggio molto più facilitato e veloce.

È utile andare a vedere come sono le traiettorie relative delle particelle

non intercettate dal fogliente durante l'inserimento della pala nel getto:

Fig. 4.5 Traiettore relative delle particelle non intercettate dal fogliente

Nel sistema di riferimenti assoluto la particella si sposta da A a m

e da m si percorrre un arco di circonferenza di ampiezza mM

trova con il punto M.

_mM = _Am/_Co Om · ω = _Am/_Co · _D/₂ · ω   (4.7)

Dopo un tempo pari a 2Δt ottengo la posizione P:

_pP = _AP/_Co Op · ω = _AP/_Co - _(D-d)/₂ · ω   (4.8)

dove d nell'equazione 4.8 rappresenta il diametro del getto

Dopo un tempo pari a 3Δt ottengo la posizione N:

_nN = _An/_Co On · ω = _An/_Co - _D/₂ · ω

Uniti questi punti posso ottenere la traiettoria relativa seguita da una

particella per un osservatore che ruota in solido con la girante.

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In maniera analoga si può determinare la traiettoria relativa percorsa dalla particella staccata in B dalla punta del tagliente.

Ovviamente si vuole che la traiettoria relativa BB₀ intersechi il tagliente al fine di sfruttare tutta l’energia cinetica del getto.

Fig. 4.C: disposizione del tagliente

Ri. diventati noti la velocità angolare ω, il diametro della ruota, il diametro delle pale, il numero di pale Z e la velocità del fluido C₀, si ricerca la disposizione ottimale del tagliente.

Si consideri la pala con il tagliente nella posizione I e si disegna la traiettoria relativa della particella non intercettata dal tagliente.

Disegno la pala L_p, uguale a quella L_a, ad una distanza pari al passo polare e pari cioè all’arco I^K.

La particella colpisce la pala L_p nel punto a nel sistema di riferimenti relativo e nel punto a'₀ ottenuto tramite la costruzione precedente nel sistema di riferimenti assoluto.

Quindi nell’arco I⁰d la pala L_p riceve il getto pieno, successivamente riceve un getto che non va a riunire.

Quando la pala riceve il getto pieno vi è un massimo intervallo, quindi il tagliente in questa zona dovrà essere ortogonale al getto. Conviene che sia ortogonale nel punto medio dell’arco di getto pieno, con di massimizzare le prestazioni.