tema d'anno Van Leer

DIPARTIMENTO DI MECCANICA,

MATEMATICA E MANAGEMENT

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica

Implementazione del metodo di Van Leer per

equazioni di Eulero in un condotto

unidimensionale e confronto con metodo di Roe

Corso di Fluidodinamica Computazionale del prof. G. Pascazio

Sommario

Introduzione ......................................................................................................................................... 1

1 Sistemi non lineari ............................................................................................................................ 2

2 Equazioni di Eulero ........................................................................................................................... 3

3 Metodo di Roe per equazioni di Eulero ............................................................................................ 6

4 Metodo di Van Leer .......................................................................................................................... 9

5 Codice Fortran................................................................................................................................. 11

5.1 Definizione parametri e dimensionamento .............................................................................. 11

5.2 Parametri di Runge-Kutta e variabili in input .......................................................................... 12

5.3 Definizione del dominio........................................................................................................... 13

5.4 Condizioni iniziali, calcolo delle variabili primitive ............................................................... 13

5.5 Calcolo stato destro e sinistro .................................................................................................. 15

5.6 Calcolo flusso all’interfaccia ................................................................................................... 16

5.7 Calcolo dei residui e update della soluzione ............................................................................ 18

5.8 Calcolo norme e output ............................................................................................................ 19

5.9 Subroutine condizioni iniziali .................................................................................................. 20

5.10 Subroutine output ................................................................................................................... 22

5.11 Subroutine condizioni al contorno ......................................................................................... 23

6 Test .................................................................................................................................................. 25

6.1 Test 1 ........................................................................................................................................ 25

6.2 Test 2 ........................................................................................................................................ 26

6.3 Test3 e Test4 ............................................................................................................................ 27

EDIT: SOLUZIONE PROBLEMA ................................................................................................... 29

Introduzione

L’argomento affrontato in questo tema d’anno sarà la risoluzione delle equazioni di Eulero in

presenza di una discontinuità iniziale con il metodo FVS di Van Leer, risoluzione di quattro test

numerici e confronto dei risultati così ottenuti con il metodo di Roe.

Verrà data una breve descrizione dei sistemi non lineari e delle equazioni di Eulero, nonché della

teoria per i due metodi. Verrà discusso il codice, compilato con FORTRAN per la risoluzione dei test

e infine si confronteranno i risultati ottenuti. 1

1 Sistemi non lineari

Ipotizziamo di avere il seguente sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, espresso in

forma conservativa: 1.1

+ () = 0, > 0

Dove

(), ())

= ( , … , ) , = ( … ,

1 1

Supponendo che il sistema sia iperbolico, possiamo trovare p autovalori distinti della matrice

× :

Jacobiana A(u) che ha dimensione ()

1.2

() =

() () ()

< < ⋯ <

1 2

() () ():

Ad ogni autovalore sarà associato un autovettore destro e un autovettore sinistro

() () ()

() = 1.3

T

() () ()

() = 1.4

Gli autovalori hanno le seguenti proprietà:

() ()

= 0, ≠

() ()

= 1, =

2

2 Equazioni di Eulero

Consideriamo il sistema non lineare di Eulero, che governa il comportamento dei flussi non viscosi e

senza conduzione termica, scritto in forma conservativa:

3

+∑ ( ) = 0

=1

3

2.1

( ) + ∑ ( + ) = 0 , 1<<3

=1 3

() + ∑ (( + ) ) = 0

{ =1

= densità del fluido

( )

= , , = vettore velocità

1 2 3

= pressione

= ( + ) = energia totale specifica

2

= energia interna specifica

Queste equazioni rappresentano rispettivamente la conservazione della massa, della quantità di moto

e dell’energia.

Per chiudere il sistema abbiamo bisogno di altre de equazioni che possono essere l’equazione di stato

del tipo = (, )

e l’equazione dei gas perfetti: = ( − 1) 2.2

dove è il rapporto dei calori specifici.

Nel caso preso in esame, considereremo un condotto strettamente unidimensionale, quindi le

equazioni diventano:

+ =0

2

( 2.3

+ + ) = 0

+ (( + )) = 0

{

In generale il sistema è iperbolico; diventa strettamente iperbolico (e simmetrizzabile) nel caso

unidimensionale. 3

Per un flusso privo di discontinuità il sistema può essere scritto equivalentemente in forma non

conservativa:

+ + =0

1

+ + =0 2.4

+ + =0

{

Introducendo l’entropia specifica : 2.5

= −

2

Posso riscrivere l’energia interna specifica come:

2.6

= + , = +

2 2

Dall’ultima equazione del sistema si ottiene:

2.7

+ =0

È possibile riscrivere il sistema delle equazioni di Eulero in forma non conservativa sostituendo

l’equazione appena trovata all’ultima equazione del sistema:

+ + =0

1 2.8

+ + =0

+ =0

{

(,

= , )

Il sistema così ottenuto può essere anche riscritto in forma compatta rispetto al vettore :

2.9

+ =0

Dove A è la matrice Jacobiana associata, che assume la seguente forma:

0

1 1 2.10

=( )

0 0

L’equazione caratteristica è la seguente: 4 2.11

2

( (( )=0

− ) − ) −

dalla quale si ricavano i seguenti autovalori distinti:

= − , = , = +

1 2 3

< <

1 2 3

= velocità del suono nel fluido

Possiamo anche ricavare gli autovettori destri:

2.12

−

( )

= ( ) , = , = ( )

1 2 3

0

0 0

2

−

e sinistri: 1 1

2 2

0

1 1

0

( )

= , = , =

− 2.13

1

1 2 3

2 2

−

1 1

2

2 2

( 2 ) ( 2 )

5

3 Metodo di Roe per equazioni di Eulero

Cerchiamo una soluzione generale del seguente problema:

+ () = 0

{ 3.1

, <0

(, 0) = { , > 0

Dove lo stato sinistro e destro sono abbastanza vicini.

Si deve valutare la matrice di Roe nella forma:

(, ) = ((, ))

(), = ′ (, )

Dove A è la matrice Jacobiana del vettore dei flussi e è una opportuna media

.

dei due stati e

L’operatore M viene determinato attraverso una cambio di variabile → (),

dove è noto come

parametro vettore, per il quale esiste la seguente proprietà notevole:

() = (())

Se esiste questo parametro allora la seguente espressione è una linearizzazione di Roe:

1

∗ ∗

) (̅), ), ( )

( , = ̅ = ( = +

2

Possiamo quindi scrivere: ′

) ) ( )

− = ( − ( = − 3.2

′ ∗

) ) ) ) ( )( )

( − ( = ( − ( = − 3.3

Combinando le equazioni si ottiene:

′ ∗ ′ ∗ ∗

) ) )) ( )( ) ))( ) 3.4

( − ( = (( − = (( −

Nel caso di equazioni di Eulero il parametro vettore ha la seguente forma:

1

2

1 1 3.5

( )

= =

2

2

3 1

2

( )