Superfici nello spazio

Superfici nello spazio

σ: D ⊂ R² → R³ D aperto σ dice parametrizzazione di una superficie regolare se σ è continua in C¹(D) σ è iniettiva su D Jσ (3x2) è di rango 2 in tutti gli x∈D

Allora σ(D) è detta una superficie regolare immeroa in ℝ³ Prendiamo un pt (u₀, v₀)∈D e consideriamo la curva di parametrizzazione - t → σ(u₀ + t; v₀) - t↦σ(u, v)

I vettori tg a queste curve in t=0: §σ(u₀,t;v₀) = ∂σ(u₀,v₀)/∂t calcolati t=0 ∂σ(u₀,t<>0) = ∂σ(u₀,v₀)/∂v calcolati Jσ(u₀,v₀)

Due vettori generano un piano tg ad σ in σ(&bt;⊂0, v₀) ≅∇ -Jσ(u₀,v₀) ha rg 2

Se ciò è verificato allora N(u₀,v₀) = ∂σ(u₀,v₀)/∂u x ∂σ(u₀,v₀)/∂v è una superficie S ad σ(u₀,v₀)

ES: f(x,y) ∈ C¹(R²) una parametro della superficie del grafico di f è (detta sup. cartesiana)

σ(x,y) = [x y f(x,y)]

Jσ(x,y) = [1 0 0 1 f_x f_y]