Superfici nello spazio

Superfici nello spazio

Consideriamo le superfici nello spazio D ⊂ ℝ² e Σ ⊂ ℝ³. Una parametrizzazione di una superficie regolare si definisce tale se:

• Σ è continua in C¹(D)
• Σ è iniettiva su D
• Jσ (3x2) è di rango 2 in tutti i punti p di dominio D

Allora Σ (D) è detta una superficie regolare immersa in ℝ³.

Curva di parametrizzazione

Prendiamo un p₀ (u₀, v₀) ∈ D e consideriamo la curva di parametrizzazione t → σ (u₀ + t, v₀).

I vettori tangenti a queste curve in t=0 sono:

• ∂/∂t (u₀+t,v₀) = ∂σ/∂u (u₀,v₀), I colonna Jσ (u₀,v₀)
• ∂/∂v (u₀,v₀), I colonna Jσ (u₀,v₀)

Se ciò è verificato, allora N (u₀, v₀) = ∂σ/∂u (u₀,v₀) × ∂σ/∂v (u₀,v₀).

Esempio

Supponiamo che f(x,y) ∈ C¹(ℝ²) sia una parametrizzazione della superficie di grafico di f, allora:

σ (x,y) = [x, y, f(x,y)]

Jσ (x,y) =

1. ∂σ/∂u = (1, 0, 0)
2. ∂σ/∂v = (0, 1, f_x, f_y)

Considerazioni aggiuntive

Superficie nello spazio: σ: D ⊂ R² → R³, dove D è aperto. Si dice parametrizzazione di uσ se:

• σ è continua in C¹(D)
• σ è iniettiva su D
• Jσ (3x2) è di rango 2 in tutti i punti di D

Allora σ(D) è detta superficie regolare immersa in R³.

Prendiamo un p₀ (u₀, v₀) ∈ D e consideriamo la curva di parametrizzazione t → σ(u₀ + t, v₀).

I vettori tangenti a queste curve in t=0 sono:

• ∂σ(u₀ +t, v₀)/∂t |_t=0
• ∂σ(u₀, v₀)/∂u, I colonna Jσ(u₀, v₀)

Se ciò è verificato, allora è possibile definire una superficie S=σ(u₀, v₀).

Il punto normale a vettore è definito come:

N(s, t) = 1tx0tx 1det( 0-fx 1 fx-1)