Statistica per la finanza

TEOREMA'

SE UNA FCU E Proprieta SODDISFA FONF 3 FUNZ CHE LE. ,J)-1 pPNOB Cin RMOD CHE una TAUESISTONO UN e no: :. ,,.I{ } V-se-c.ir(P Fln) )se≤ = ÌFG sia) Ripartizione Funzione Di Di TAU ovvero CHE la FCU)particolare FUNZIONE QUALUNQUE CONSIDERIAMO UNA in se CHE definiamo' se FO Proprieta SODDISFA ENF 3 LE :I lfsetr)B Etu (( { )-1=0 PR ( R Fln}Ed ))si ≤W •• w• se•= = == PCUN' PROBABILITÀ) ESTENDE CHE ESISTE unica SUDDETTE allora LE{ I }( )( Bdi0) A 0BOREL FP ( ALGEBRA alla≤ )se n - == £specifico specifica consideriamo B Sen Runo allora e1 : runa →. . £che funz divero qualunque diè la ripartizione una esseresempre possanon soddisfa FG FONF che potrebbefunzione 3che MI) necessario essere, condizionisoddisfi Fln ) alcune anche aggiuntive↳ Ì ÌCWÈ}{ definita R ( 2)è come )Wn 2luies WZ1 1a e→: == =,. , Icw }{ }{{ I} )() werwer ≤ 1,5^≤ wun : :== furiafuria Fln soddisfade qualunque ) chela

può NON essere soddisfare anche necessariamente le candele ma risulterebbero altrimenti perché evento Un) associate all' = probabilità diverse Di( )2 assegnazione conflitto- mai applicazioni capitanelle non PROBABILITÀ MASSA FUNZIONI DI DI applicazioni probabilità Nelle della variabile considerano teoria spesso casuali solo che DIVERSI Di valori numero possono Finito un assumere valori INFINITÀ diversi UN'soltanto di NUMERABILE oppure tali variabili variabili Discrete di conosi probabilità la Per di variabile di distribuzione discreta descrivere una basta conoscere: i valori che può essa assumere Xn a, I{( )} valori = P tali) prob (le associate ei seip a=. KIVALORI PUÒ DISCRETA TUTTI variabile L' UNA INSIEME casuale CHE DI I I" HER" {supporto )}=P VIENE (FUNZASSUMERE (la CHIAMATO E ) sep x = PROBABILITÀ DI DI FUNZIONE MASSA VIENE CHIAMATA -corrispondenza soltanto è punti dei positiva

In alche (appartengono nullaedsupportoK suo è)altrove DIdevedimostra che RIPARTIZIONEFUNZIONEessereSi✓ unafuria di ha ala cheGRADINI Una rep numero Finito oun= .di discontinuitàINFINITO diNUMERABILE punti chepiù edi discontinuitàpuntiè compresitrattinei tracostante i suoifuriatali dette DiscretevengonodaA furia discretadi lapuòrep ricavarepartire siuna . difuriacorrispondente probdi viceversamassa eIMPUCAUONI PROBABILITÀ PROPRIETÀMASSA SODDISFAREDEVEDIFUNLOGNI DI LE :DI ') ( ) L' INSIEME NUMERI REALIDOMINIO DEIExpo IL p {txt }R S HER ') ( )o L' UNpcse 1 oINSIEMEE >)≤ ≤pn :p n E=' RPIUALFINITO INFINITO NUMERALESOTTOINSIEME O DIInes PG)) 1PZ = PROPRIETÀ PUÒ( ) SODDISFAFUNZIONE SUDDETTECHEQUALSIASI LEp n PROBABILITÀDiFUNZIONEINTERPRETATA massaDiESSERE COME UNA UN'CORRISPONDE FUNZ( a FUNZIONE TIPOQUALSIASI UNICADI QUESTODi )Ripartizione Discretasoluzione

Finora abbiamo considerato distribuzioni discrete, che restituiscono un numero intero o un numero reale appartenente a un intervallo dato. Possiamo anche considerare variabili casuali che restituiscono un numero qualsiasi, reale o intero, che appartiene a un intervallo dato. Per specificare la probabilità di eventi legati a tali variabili, possiamo utilizzare la funzione di ripartizione o la densità di probabilità. In questo modo, possiamo definire una funzione di ripartizione come una funzione continua, definita attraverso una scelta di densità di probabilità. Questo modo di fare conduce a una definizione di ripartizione come una funzione integrale, come una funzione che soddisfa alcune proprietà. La funzione di densità deve essere integrabile e deve soddisfare alcune proprietà. Inoltre, il dominio della funzione deve essere un insieme di numeri reali.

PROPRIETÀ PUÒ( ) SODDISFAFUNZIONE SUDDETTECHEQUALSIASI LEp ze corrispondeDENSITÀFUNZIONEINTERPRETATA (DiESSERE COME UNA cuia)DIUNICA RIPARTIZIONEUN' FUNZIONEsoluzione : RIPARTIZIONEOSSERVAZIONI CONTINUEDIFUNZ :DI ASSOLUTAMENTE CONTINUE delleRIPARTIZIONE* FUNI SONOTUTTE LE RIPARTIZIONEDIFUNZIONICONTINUEFUNZIONI LEMA TUTTENON,CONTINUE (CONTINUESONO tutteANCHE ASSOLUTAMENTE dunque lenonfuni integralidi )rappresentateesserecontinuerep possono come.

→ si funzdimp.IEconsiderano solo continueapplicanelle 2 fonz continuesiccome sono sempre ,Evariabili assolutache sonoper→ =hamente continue sempresi :{ {I ( {I} Ib ( } ) )PC b ) )I} }=P) Fca)=P { (b ( b=P ba ≤ ≤a a≤ << a< <≤ -soddisfafuria di densità 2)fonfad (ogni furiacorrisponde* un' unicaripartizione 'di assolutamente MA VICEVERSAVEROcontinua NON E IL,se si/Fca txtdtflt R) )= co-furia 7 infiniteassolutamente continuadiè allorarep sempreuna . ,f-furia

dannodellaversioni (densità esattamente altre di ) luogochesefunzione dimedesimaalla assolutamenteripartizione continuaPer Ricavare DENSITÀINFINITEdelle DIuna FUNZ DANNO LUOGOCHE ÈDETERMINATA RipartizioneDi )FUNZIONEAD FCUUNAASSOLUTAMENTECHEbasta calcolare la derivataCONTINUA , (ᵈ%{I )hF )Flnse +' lemf- -(d) = = h h→ oRitutti esisteset dovepunti essain furiase Fca di la furiaè allora) continuarepuna ass. .{ F' 7 'F( puntonel) ( )sese× sef. (a) = altrimentio furiadeve 'necessariamente densitadiessere unafinito 'diSeB difficilefossedi punti calcolo F (d)il /N ein un num ose. .. ,fosse'di] F ottenere'l sidubbio(a) versionepuò un' altrain , fcsefuriadella di talidensità puntiponendo anche) ino=SOLUZIONE :MISTUREa dellaseconda può anchedell' di refesperimento voltenatura casuale a,.specificare la variabilevantaggioso distribuzione di casualeessere una infinitaforma considerandodisotto

finitamistura (partizioneovvero una o, ¥C }{ specificarenumerabile ai) evento.az dir separatamenteAK pere= , . . , ÌAi della di interessedellaDISTRIBUZIONE CONDIZIONATApartizione una ,andamentospecificare probabilitàdelle condizionatel'ovvero { I )}( +ttxtrAiP Ai/ Eseparatamente c-evento≤ se* Ait E distribuzionela condizionatase corrispondenteevento I{ }( / ))ai (=P( funzione)Fi di soddisfaè Fo -1-3≤ Vandax repse una -.C )aiagli probabilità PCAIeventi di si dellese assegnanoe pi modoin=£chetale pi esistonoallorao 1≥ e pi :=i ,= ) furia PC( P eventimod probA* agliprob di ) cheun con unar.. , .,ai )Pcaila iprob =passocia . IÌ { }( ) futP / RAi Fi (tale )ch