Probabilità
probabilità
DEFINIZIONE PROBABILISTICO
DI MODELLO : finali
mondo esiti
CASUALI che
ESPERIMENTI si svolgono reale cui
i
processi nel
: ,
previsti certezza
assoluta
possono essere con
non ✓
INCERTI
" descritti diversi
modi
tanti
essere
possono in considerano
AMBITO solo
SCIENTIFICO si
ma in
, , tradotte
DESCRIZIONI possono
che essere in un
PROBABILISTICO
chiamato Modello
Modello matematico , - matematico
modello
particolare
= esperimento
descrive casuale
che un
probabilistico
componenti
Descriviamo le 3 modello
di :
un elementi
1) i
CAMPIONARIO cui
spazio
Lo W
insieme
a vengono
un
= chiamati ELEMENTARI perché
EVENTI esiti
tutti possibili
elementari
i
rappresentano verificarsi
potrebbero
che al termine
dell' esperimento casuale
V ad ogni finale
possibile
Deve esito
esaustivo
sempre essere =
deve
esperimento corrispondere elementare
dell' casuale evento
un
elementari
eventi della
gli
wfr devono essere
e s
w c
- . .
, dell' deve
casuale
esperimento
MUTUAMENTE al
ESCLUSIVI termine
=
verificarsi di essi
soltanto uno
A sottoinsiemi
2) spazio dello
di
DEGLI EVENTI
lo spazio
insieme
un
= di
sottoinsiemi
tali se
r
campionario ,
considerati
essere EVENTI
possono come )
chiama degli
perché eventi
si
(
ecco spazio
✓
Per A
gli eventi elementari eventi
distinguere dagli
wer
ultimi
d)
sottoinsiemi di
che questi vengono
( sono invece a
chiamati
volte COMPOSTI
EVENTI
Il eventi dato
definire
di
> più da
che
ampio può partire
si
spazio un
a
' detto PARTI di
delle
INSIEME nr
campionario r insieme
e
spazio =
tutti sottoinsiemi
i "
da
è
di t dove
composto
lo
di 2
r PCR
) elementi dir
numero
n =
Lo eventi
degli modello
> di prob
spazio necessariamente
deve
Non
un .
tutti struttura
deve
di certa
SOTTOINSIEMI
CONTENERE avere
1 ma una
I .
,
PC
3) PROBABILITÀ funzione PC
) probabilità
FUNZIONE che
LA DI ) associa una
= PCA A
) ad ogni evento che
eventi
degli
allo
appartiene spazio
-1 .
"
Il A
eventi potrebbe
è di che
dominio sempre spazio
uno
suo
anche dello
contenere tutti sottoinsiemi
i
campionario
spazio
non
In eventi
degli
dunque AER
questo esisteranno
r caso
. probabilità
ai quali associata
risulta nessuna
non
È PC
dominio
il
dire che
SBAGLIATO di ) spazio
campionaria
sia uno
una . consideri
DI applicazioni
QUESTO molte
ERRORE
ORIGINE
'
d. si
in
:
A
degli eventi l' dello
delle parti spazio
spazio campionario
come insieme
, " PROBABILITÀ
contesto della
che
ASSOCIA
T
A
si
questo sente parlare
spesso
e
r in { =
}
(
" valore P
intendendo )
il di
Elementare
EVENTO
UN w
AD W e non
di Infatti quest'
PCW
quello ) definito
ultimo NON
che
è visto
non w
nemmeno
. eventi )
degli PC
A di
elemento dello del dominio
' ( )
ovvero
spazio ma
un
e .
di
elemento !
!
r
un sei
dado ①
facce
ESEMPIO lancio di regolare
un a
: dado
consideriamo regolare
di
esperimento lancio
che
casuale nel
consiste un
un
seguenti caratteristiche
le
ha
che : { }
* I
campionario
spazio l' 6
insieme 3 4,5
1,2
~ : = , , ,
{ Io
A { {
A l' {
{ }
{
} {
}
}
DEGLI
spazio EVENTI }
* } 5
3
insieme 4
^ 6
2
: = ,
, ,
,
, ,
,
{ {
{ { {
{ }
{
}
}
} } {
{ }
{
}
} } } } { 3.5
1,3 2,5 2,6 3
1,5 2,3 "
1,2 "
2
16
' in , ,
, ,
, , ,
, . ,
,
,
, {
{ }
{ {
} {
{ } }
}
} } {
{
} }
{
5,6 145
3,6 4,5 12,6 is
4,6 173 "
'
144 ,
,
, ,
, , ,
, ,
,
{ { } { }
} {
} }
} { {
{ }
{ } 213,5
2,3 3,6 5
13,5 "
13,6 3,4
1,45 6 2
su
' , ,
, ,
,
,
, , ,
, ,
,
{
{ }
{ } {
{
{ }
} }
} {
}
5 3,6
4,5 42,3
6 5
2,3
6 112,4
3,4 2
4 42 4,6
^ ^ ,
,
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, ,
{ } } }
{
{ {
} {
} )
{
}
{
13,45 5,6 5
5,6 4,6 73
73 5,6 2,3 6
3,4
4
72 4 2
1
, , ,
, ,
,
, , , ,
,
, , ,
, , }
{
} }
} { } }
{ {
{ {
} {
5,6 5,6
2,3 2,4 5,6
5,6 45,6
12,3
3,4 4,5
12,3 73
5,6 2,4
^ ,
,
, ,
, ,
, ,
, , ,
,
,
, }
}
{
}
{ 5,6
2,3 72
4,5 3,4
6 ,
, ,
,
, elementari
eventi A #A_
di
numero in
(a)
probabilità
FUNZIONE Pf p
* )
DI : =
= #
eventi
di elementari 1 I
numero in
III AEA
per
= degli
lo
6 spazio
d eventi
di
eventi
e-
PROBABILITÀ DI
QUI RAPPORTI
definite
EVENTI
DEGLI SONO NUMERI
TRA
LE come
casi Possibili
NUMERO Di
FAVOREVOLI
casi E IL ②
dado
lancio sei facce
di
ESEMPIO truccato a
: un dado truccato
Consideriamo di
esperimento lancio
che
casuale nel
consiste un
un esiti dado
lanci questo
di
di di
gli che
1000
supponiamo conoscere
e n sono
=
passato
effettuati
stati in .
-1 precedente il
nell'
definiti dado
possono
r es
essere siccome
e come ma
. ,
"
"
sarebbe PC
truccato probabilità
sbagliato definire funzione
è la )
anche di
, "
Per "
descrizione
nell' realistica conviene invece
ottenere
es prec
come una
.
. ,
considerare lanci eventi
probabilità
esiti degli
definire le
degli 1000
gli n e
=
AEA come : lanci
di negli
volte verificato l' A
è
che si evento
numero 1000
n
(a)
p =
= 1000
n =
PROBABILITÀ
QUI FREQUENZE
DEGLI EVENTI
LE INVECE COME
SONO DEFINITE
Relative ③
scommettitore
lo
ESEMPIO : la squadra
80%
Un di
giornalista che AAA il
all'
sostiene essere vinca
sicuro
calcio
campionato potrebbe
di egli
può certo
essere
Siccome
prossimo non ne
. ,
il
considerare descriverlo
campionato esperimento casuale
come e
un con
probabilistico
modello
il seguente :
{ }
1 K
1,2
* = , .
. . .
dove campionato
rappresenta delle squadre che al
partecipano
K
1,2 K
una
.
. . ,
, il naturale rappresenti
dove la
1 AAA
squadra
che
supponiamo numero
e potrebbe da
( quelli
rappresentata
contenuti
qualsiasi
anche essere altro tra
→ numero
d)
in }
{
1- { }
{
Io } a
K
* 2,3
^
= . . .
, , ,
,
, PIG
PC { (
(
(d) } }
P P )
)
) definita P r
) 0,80
* come 2,3 0,20
: K
0 1
. =
=
=
= , . .
. ,
,
, ,
PROBABILITÀ
QUI VALORI Rappresentare
SEMBREREBBERO
delle soltanto
I
UN' OPINIONE
Le differenze esercizi modo
gli
tra abbiamo
al cui
attengono
assegnato
in
probabilità probabilità
agli
le eventi al cui
modo queste
e in
quindi
devono interpretate
essere .
I esempi PROBABILITÀ
i
illustrano che
di assegnazione
3 delle
3 Metodi
solito usati nelle applicazioni
di vengono :
1) all'
di
METODO assegnazione luogo
da interpretazione
classica '
> PROBABILITÀ
della
classica
la PROBABILITÀ definita il
è
UN come
EVENTO
DI ←
Rapporto tra di
il evento
all'
numero favorevoli
casi ultimi
il quest'
purché
NUMERO Di casi possibili
e PROBABILI
EQUI
siano def basata PRINCIPIO indifferenza
è sul
Questa di e
> . di
il
quando
soltanto
' applicata
essere numero
puo quando
esiti possibili di
finito è motivo
c'
e
' non
e verificarsi "
che di più
esiti
ritenere possa
questi
uno
" altri
degli
facilmente .
DI
2) dà all'
ASSEGNAZIONE FREQUENTI
METODO STA INTERPRETAZIONE
luogo
> probabilità
della
STA
FREQUENTI
la il
PROBABILITÀ rappresenta
EVENTI LIMITE
DEGLI ←
verifica
FREQUENZA cui l' si
Relativa
della evento
con
successione repliche INDIPENDENTI
infinita Di
una
in
dell' esperimento casuale . v
infatti reale Questa
'
mondo interpretazione
{
nel non non si lascia
si
, di
mai tradurre
esiti
gli metodo
facilmente
una
conoscono in un
repliche delle probabilità
di
infinita pratico
successione assegnare
per
casuale
esperimento
di pertanto
e
un di
accontentarsi
bisogna frequenze
relative ad
riferiscono
che si un )
finito possibilmente
( elevato
numero
repliche di
questo
anche
di Ma modo
.
procedere da
' DUBBI
luogo a ]
:
Quante repliche dell’esperimento casuale sono necessarie? Sotto quali condizioni un esperimento
casuale di cui conosciamo l’esito finale puo` essere considerato come una ”replica”
dell’esperimento casuale che vogliamo descrivere? Sotto quali condizioni delle repliche possono
essere considerate ”indipendenti”? Che cosa si dovrebbe fare se l’esperimento casuale di interesse
non `e ”replicabile”?
3) da
' luogo
Di ASSEGNAZIONE INTERPRETAZIONE
all'
METODO SOGGETTIVO > probabilità
della
SOGGETTIVA
PROBABILITÀ rappresenta
Di
la evento
un un <
da
" " che può
Di soggetto
credenza
Grado variare
soggetto
a BRUNO ( PLUMPTON il
secondo FRANK RAMSEY
che
DE '
Finetti primo
insieme e
a )
probabilità PCA
probabilità )
soggettiva
dell' la
fautore della
interpretazione
dato dovrebbe
A
soggetto determinato
che ad
XXX assegna evento
un un si
dove
il ritiene
PRELLO
rappresentare egli scommessa
che EQUO per una
verifica
evento nulla
A indietro
€ l' dove si
si riceve caso
1 se in
vince e non
,
contrario . )
vuole dovrebbe
PCA
soggetto che
Inoltre determinare il prezzo immaginare
un
, Di di
di richiesta
scommesse
banco
gestire costretto
e essere su
un , (a)
ad P
ad EMETTERE allo stesso
ACQUISTARE
chiunque prezzo
sia sia
, , verifica
1€
titoli A
diritto
il
che di evento
l' si
ricevere
incorporano se .
ASSIOMI KOLMOGOROV
GLI DI
funzioni probabilità
le di descritte tutte
diverse rispettano
seppur una
, ,
condizioni
di
serie :
) PROBABILITÀ PC
-1 ) ( spazio
KO DI ovvero
FUNZIONE
Della
DOMINIO lo
IL " "
) Di ALGEBRA
POSSIEDE struttura
EVENTI cosiddetta
la
DEGLI una
condizioni
soddisfa seguenti
le
ovvero :
a
re
a. a
A
b. a c-
Se evento contenuto allora
è contiene
Se un in , À
corrispondente
il evento complementare
anche =
}
¢
{ A
wer w
:
= A
-1
contenuti
Az eventi
due
an contiene
allora
c. in
se sono
e ,
la an
anche UA
loro unione a
-1 (A)
1) £
A PROBABILITÀ '
CORRISPONDENTE P
PER La
K UN
EVENTO
OGNI e
NEGATIVO
reale
NUMERO NON
) )
PROBABILITÀ (
associata allo spazio EVENTO
K2 campionario lento
r
la PARI
' 1
a
e d)
ADDITIVITÀ A
a Ann
3) Se an INCOMPATIBILI (
SONO 2 EVENTI
e
K ovvero 2
2 =
= -1
eventi
entrambi degli
eventi
questi appartengono allo allora
spazio
e ,
) )
( P
Plan ) (
var
P Ar Ar
+
=
)
* ADDITIVITÀ an a infinita
Se è
NUMERABILE
K successione
numerabile
una
3 2
= , . . .
, tutti degli
eventi incompatibili
di che appartengono allo spazio
UE degli
-1 evento
eventi Ai eventi
anche allo
l' spazio
appartiene
e se
, ,
A allora :
, co
co
( ) E
Ai
P )
PCAI
U =
i 1
= i a
= *
condizioni oggi
la quelli
se KO 3
K
3
alle che
K otteniamo
aggiungiamo
- di
noti KOLMOGOROV
assiomi
come
sono condizioni fondamentali violazione
assiomi
Gli KO delle
3
K sono in
- A
di
quali un'
probabilità eventi
assegnate agli algebra
le possono
non
coerenti
"
ritenute
essere *
)
alcuni
attività
Finetti
( l'
studiosi dell'
che
contestano
De (
3
K
invece
es assioma
. fondamentale
rappresenti di
condizione
)
numerabile di
coerenza
una e
*
fatto lo l'
Kolmogorov introdusse di
soltanto
3
stesso motivi
K
assioma per
matematica
convenienza .
giustificazione che
PC definire
tutte )
le si
* attraverso
possono
: metodo di
il classico quello
assegnazione e
soddisfano
frequenti gli assiomi di K
sta .
prezzi PC
Inoltre dei
soggetto
* assegnasse
se )
un di
i titoli riferiscono
tutti ad
si
che
scommesse
a A
eventi degli
algebra
ad
che un'
appartengono eventi
di soddisfa
(
-1 ad
eventi che
spazio
ovvero uno
) questo
Ko 3
Kt K soggetto
VIOLANDO allora
- ,
, gli
sarebbe che
esposto scommesse
a procurano una
PERDITA delle
teorema scommesse
lenta olandesi
=
In fondamentali
condizioni
loro di la
di
del ruolo
' coerenza teoria
virtu ,
assiomi
sugli
PROBABILITÀ stata Kolmogorov
fondata di
è
Della suoi detti PROBABILITÀ
i DEL della
teoremi calcolo
LEGGI
sono
> t validi dimostrabili
essere
devono partire
poter essere a
✗
dagli di
assiomi kdgomorov
teoremi
Prima di i approfondiremo struttura delle
la
enunciare
ALGEBRE algebra
EVENTI algebre
DI 0
e :
: - PROBABILITÀ PC
-1 )
K
RICORDA dice
0 DI
FUNZIONE
Della
DOMINIO
che il
: : Di soddisfa
"
struttura "
possedere ALGEBRA
la ovvero
una
deve condizioni
seguenti
le :
a
re
a. a
A il
b. a c-
Se evento contenuto anche
allora
è contiene
Se un in }
¢
, À { a
wer
corrispondente evento complementare w
:
=
'
ALGEBRA
CHE
DICE
QUESTA condizione rispetto
OGNI chiusa a
E
DI
OPERAZIONI NE
COMPLEMENTANO A
-1
contenuti la
anche
a eventi
due
an loro
contiene
allora
c. in
se sono
e 2 ,
an UA
unione 2 '
ALGEBRA
CHE
DICE
QUESTA condizione rispetto
OGNI chiusa a
E
DI DI
OPERAZIONI UNIONE Di
applicate
OPERAZIONI eventi
a coppie
si condizioni condizioni
altre
anche
queste
dimostrare implicano
può 3
che :
A
Arnaz
A
Az
An e
d. C-
, '
ALGEBRA
CHE
DICE
QUESTA CONDIZIONE rispetto
OGNI chiusa a
E
DI
OPERAZIONI INTERSEZIO
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