Statistica I

Statistica I Università degli Studi di Milano-Bicocca 2020/21

Statistica I

Sommario

Definizione di statistica ................................................................................................................................... 2

Statistica descrittiva ........................................................................................................................................ 2

Scale di misura ................................................................................................................................................. 3

Distribuzioni di frequenza ................................................................................................................................ 3

Grafico distribuzioni di frequenze .......................................................................................................... 4

Grafico frequenze cumulate ................................................................................................................. 5

Indici di posizione ............................................................................................................................................ 6

Moda ........................................................................................................................................................ 6

Mediana ................................................................................................................................................... 7

Quantile/Percentile ................................................................................................................................. 8

Medie potenziate .................................................................................................................................... 8

Proprietà .............................................................................................................................................. 9

Teorema fondamentale sulle medie potenziate ......................................................................... 10

Proprietà della media aritmetica e scarti ..................................................................................... 12

Scelta della media ................................................................................................................................ 14

Indici di variabilità ......................................................................................................................................... 18

Indici di variabilità per fenomeni quantitativi .................................................................................... 18

Indici di variabilità per fenomeni qualitativi ....................................................................................... 18

Proprietà ............................................................................................................................................ 18

Indici di variabilità rispetto ad un centro/di dispersione .................................................................. 18

Varianza ............................................................................................................................................. 19

Proprietà ............................................................................................................................... 20

Criticità degli indici ................................................................................................................................ 21

Mutabilità ............................................................................................................................................... 24

Momenti di una distribuzione ............................................................................................................... 25

Statistica bivariata ......................................................................................................................................... 28

Indipendenza stocastica ...................................................................................................................... 28

Connessione .......................................................................................................................................... 29

Variabile statistica doppia quantitativa ............................................................................................. 31

Momenti doppi/misti ............................................................................................................................. 32

Normalizzazione della covarianza ...................................................................................................... 34

Indipendenza in media ........................................................................................................................ 34

Eta quadro .............................................................................................................................. 36

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Definizione di statistica

“La statistica è il ramo del sapere di tipo teorico che impiega strumenti logici e

matematici per la raccolta, il raggruppamento, l'interpretazione, ... dei dati.”

Fare statistica significa raccogliere nella maniera più dettagliata possibile un certo

numero di informazioni, su cui poi vi si applicano degli indicatori, in modo tale da fare

una sintesi; essa però comporta una perdita di informazione.

Per rimediare si usano tanti indicatori, avendo così tante sintesi, che unite permettono di

avere una visione a 360 gradi.

La statistica non è comunque una scienza esatta, ma cerca di ridurre al minimo l'errore.

“La statistica si occupa dei fenomeni reali che si manifestano con determinazioni ripetute,

caratterizzate dalla presenza di variabilità.”

La statistica vive della variabilità, ovvero del continuo cambiamento dei fenomeni che si

studiano.

Questi dati sono raccolti da fenomeni ripetibili nel mondo reale, caratterizzati da

determinazioni non costanti, ovvero variabili.

Statistica descrittiva

Si chiama statistica descrittiva in quanto descrive un fenomeno al meglio, attraverso vari

indicatori.

Si procede con:

1. Raccolta informazioni.

2. Classificazione:

 Variabili statistiche (V.S.) caratteri, ovvero l'oggetto della rilevazione.

→

 Unità statistica (U.S.) entità portatrice sana di informazioni, ovvero di

→

caratteri.

 Mutabile statistica unità statistica qualitativa.

→

 Modalità del carattere modi in cui il carattere si presenta.

→

Caratteri:

Quantitativi modalità espresse attraverso numeri.

→

 Continuo modalità descritte con numeri continui; carattere misurabile

→

o che appartiene ad R. (reddito, peso, statura, ...).

Discreto modalità descritte con numeri discreti; carattere numerabile

→

o che appartiene ad N. (numero figli, numero auto, ...).

Qualitativi modalità espresse con aggettivi.

→

 Sconnesso non c'è un ordinamento univoco. (ordine colori, ...).

→

o Ordinabile esiste un ordinamento definito. (gerarchia aziendale, ...).

→

o 2 | Pag.

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Scale di misura

Per i quantitativi:

Intervallare quando lo 0 è convenzionale ovvero di origine arbitraria

→

 (temperatura, ...): non ha senso il confronto proporzionale.

Proporzionale quando lo 0 è oggettivo (peso, altezza, ...): posso fare confronti

→

 proporzionali.

Per i qualitativi:

Sconnessi:

 Nominale assegno semplicemente un nome alla scala.

→

o

Ordinabili:

 Ordinale scala riconosciuta univocamente.

→

o

Distribuzioni di frequenza

Per estrarre le informazioni, si procede con la sintesi tabellare, ovvero con la

distribuzione di frequenza.

Frequenze cumulate:

Assolute ∑

N = n

→

 Relative ∑

F = f

→

 3 | Pag.

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Grafico distribuzioni di frequenze

Esistono molti tipi di grafici:

Ideogrammi disegnini; lettura imprecisa.

→

 Serie storica es: grafico covid-19; permette di tracciare curve di pendenza.

→

 Cartine fisiche colori e loro tonalità relativi ad altitudine.

→



Qualitativo:

Ordinabile istogramma ma con sbarrette staccate.

→

 Sconnesso grafico a torta.

→



Quantitativo:

Discreto sbarrette.

→

 Continuo istogramma (se ha classi diverse usare la ).

→

 d 4 | Pag.

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Grafico frequenze cumulate

Quantitativo:

Discreto scala con pallini.

→

 Continuo spezzata con pallini.

→

 5 | Pag.

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Indici di posizione

Una funzione reale deve soddisfare le seguenti

(x )

a; a = a(x); a = , x , … , x ; n , n , … , n

condizioni:

1. Proprietà di Cauchy/Internalità:

con e

x ≤ a(x) ≤ x x = x minore x = x maggiore.

2. Proprietà moltiplicativa:

con

a(cx) = ca(x) c = costante.

3. Proprietà di monotonicità:

se con

a(x) ≤ a(y) x ≥ y k = 1, 2, … , n.

Se le soddisfa tutte, è una media in senso stretto.

Tra gli indici di posizione si distinguono:

Non analitici non necessitano di essere espressi con funzioni analitiche.

→



Moda

“La moda è quella modalità del carattere cui è associata la massima frequenza

(assoluta/relativa/densità di frequenza).”

Proprietà:

 Rispetta Cauchy/Internalità:

In quanto è un valore osservato e dunque per forza .

x ≤ x ≤ x

 Rispetta moltiplicativa:

Se e con , ovvero se prendo

→

= = = =

una modalità e la moltiplico per una costante qualsiasi non cambia nulla.

c

 Non sempre rispetta la monotonicità:

Infatti, può essere che in alcuni punti la , ma nonostante ciò .

≤ >

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Mediana

“Data una variabile statistica con valori ordinabili in modo crescente, si definisce

x x

mediana (M ) l'osservazione che occupa la posizione centrale.”

“La mediana è la modalità del carattere che occupa la posizione centrale nella serie

ordinata dei dati.”

“La mediana è la modalità che bipartisce la serie ordinata dei dati.”

La mediana è calcolabile su caratteri ordinabili (quantitativi e qualitativo ordinabile).

 Se è pari mediana è un valore convenzionale che non è tra quelli osservati.

→

n

 Se è dispari mediana è un valore osservato.

→

n

Per trovarla uso le frequenze relative cumulate (F ) in quanto cadrà sullo nel caso di

0,5;

pari, mi affido anche alle retrocumulate (R ): il primo dove sia che sono

n x F R > 0,5,

sarà il mio valore di mediana.

Definizione: dove .

∑ ∑

M = x x = x

/ f ≥ 0,5 ≥ 0,5

⋀

In un caso quantitativo continuo, avendo a disposizione degli intervalli , non posso

I

sapere effettivamente il valore di una modalità; potrebbero essere distribuiti

uniformemente o trovarsi tutti entro un certo intervallo.

Allora assumo che le frequenze siano ripartite uniformemente all'interno della loro

classe.

Con questa dimostrazione, assumo dal grafico che:

I triangoli

 = .

ampiezza classe mediana.

→

 = frequenza relativa classe mediana.

→

 =

 (

= − ).

 (0,5

= − ).

Posso quindi impostare una proporzione: la mia unica incognita è .

→ ( (0,5

: = : : − ) = : − );

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( )

,

Risolvo e trovo: = + .

Se le classi non avessero ampiezze costanti:

,

so che perciò

d = = = + .

/

Quantile/Percentile

Generalizzando la dimostrazione precedente, trovo la formula:

+ .

Analitici sono analitici perché usano funzioni analitiche;

→



Medie potenziate / /

Formula generale: o con calcolabile

∑ ∑

μ = μ = > 0,

( ) ( )

solo per caratteri quantitativi.

Le più comuni:

1. media aritmetica o : è inessenziale la

→ → ∑ μ=∑

μ = μ =

( )

positività di .

2. media armonica o : se perde di

→ →

μ μ = μ = = 0

( ) ( ) ( )

∑ ∑

significato; se mi genero segni alterni, perciò essenziale

< 0 > 0.

3. media quadratica o : inessenziale la

→ → ∑ ∑

μ μ = μ =

( ) ( ) ( )

positività di .

4. media geometrica : in questo caso la media non è definita,

→ →

μ μ

( ) ( )

→

perciò si ricorre al limite. μ ≤ μ ≤ μ

( ) ( )

L'uguaglianza tra le medie si ha solo se sono sempre uguali, ovvero sono una

costante; una costante è una variabile statistica degenere. 8 | Pag.

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Proprietà

Sono medie in senso stretto, perciò rispettano le 3 proprietà:

Internalità/Cauchy:

 ≤ μ ≤

( )

dove significa che le medie

→

= , =

sono sempre comprese tra il valore minimo e il valore massimo osservati.

Moltiplicativa:

 data una costante > 0, ( ) ()

s() = = 1 = =

In pratica se c'è una costante posso raccoglierla e la media rimane invariata.

Monotonicità: (rispetto agli , ovvero all'argomento della media)

 Verifico se le medie sono sempre crescenti/decrescenti.

posto , con

≥ > 0, ≥

tra l'ipotesi e l'elevamento a potenza la disuguaglianza rimane immutata.

√

È crescente al crescere dell'argomento .

1 1 1 1

≥ → ≥ → ≥

Ne consegue che () ()

μ ≥ μ ∀ > 0.

Se ho invece lavoro coi reciproci:

< 0, perciò risalto il fatto che sto lavorando coi reciproci;

()

μ = = | |

| | | |

∑ 9 | Pag.

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| | | |

evito i passaggi di prima

→ → → → ∑

≥ ≤ ≤ ≤

| | | |

| | | | , ma essendo per Hp, allora avrò , perché se

→

∑ < 0 ≥

| | | |

prima avevo ora coi reciproci ho

≤, ≥;

() ()

≥ ∀ < 0

Allora ho dimostrato che () ()

≥ ∀.

Teorema fondamentale sulle medie potenziate

/ , con positivi, ordinati e distinti.

∑ ];

= ϵ[±1, ±2, …

( )

1. Monotona in senso stretto (rispetto all'ordine della media):

se

μ ≥ μ ≥ .