Statistica

Statistica

Le distribuzioni di frequenza

La statistica è una scienza empirica perché il fine è decifrare i dati incerti, prendere decisioni in condizioni di incertezza, metodo di studio di fenomeni collettivi, dato che si esaminano sempre tanti casi, non uno solo. Variabilità. È proprio il fatto che esistono casi diversi che danno il motivo di studiare questi casi.

I caratteri statistici

I caratteri statistici possono essere:

• Quantitativi: sono numeri reali o valori. Sono variabili:
  • Discreti: assumono valori in un insieme discreto
  • Continui: assumono valori in un intervallo
• Qualitativi: non sono esprimibili numericamente
  • Nominale: non ordinabile (es: genere maschile M e genere femminile F)
  • Ordinabile: nomi delle persone

L’insieme di tutte le informazioni relative a un fenomeno di interesse costituisce la popolazione. L’obiettivo della statistica è lo studio delle popolazioni.

La raccolta dei dati statistici

• Censimento: la rilevazione dei dati è esaustiva
• Campionamento: la rilevanza dei dati avviene soltanto su alcune unità statistiche

Distribuzione di frequenza

Si consideri un insieme di n unità statistiche sul quale è stato osservato un carattere che assume modalità m₁, m₂, ..., m_k. Si definisce frequenza assoluta di m_i il numero di volte che la modalità m_i è stata osservata sulle n unità statistiche e si indica con n_i.

Le classi devono essere

• Disgiunte: in modo che non ci sia ambiguità nell’attribuzione delle osservazioni alle classi. Si lascia aperta la classe in uno dei due estremi.
• Esaustive: tutte le osservazioni devono poter essere collocate in una delle classi. La soluzione consiste nell’utilizzare come ultima classe una classe aperta.
• Ampiezza: conviene che le classi siano tutte di uguale ampiezza, tuttavia se nella distribuzione dei dati vi sono intervalli con una scarsa densità di osservazioni può essere opportuno costruire classi di maggiore ampiezza per evitare classi vuote.
• Valore centrale: costituito dalla semi-somma degli estremi, sia rappresentativo della classe perché nelle successive elaborazioni sarà utilizzato in sostituzione dei valori effettivi.

La frequenza relativa è il rapporto fra il numero di volte nelle quali la modalità m_i è stata osservata e la numerosità n. Quindi f_i = n_i/n e inoltre la somma delle frequenze relative è pari a 1. La frequenza relativa moltiplicata per 100 indica la percentuale di volte nelle quali è stata osservata la modalità m_i sulle n unità statistiche.

Istogramma

L’istogramma è un grafico mediante il quale rappresentare la distribuzione di frequenza di un carattere quantitativo.

• Le basi di rettangoli sono costituite dalle classi.
• L’area dei rettangoli è proporzionale alla frequenza delle classi.

Distribuzioni

• Distribuzione simmetrica
• Distribuzione asimmetrica positiva
• Distribuzione asimmetrica negativa

Diagramma stelo e foglia

Indice di posizioni

Media x₁, x₂, ..., x_n. Sia X una variabile statistica che assume n valori la media aritmetica è data da:

\(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\)

Proprietà della media

Proprietà 1: Si consideri una trasformazione lineare Y=ax+b di X; a ogni valore di x corrisponde il valore Y=ax+b di Y. La media di Y è data dalla trasformazione lineare della media di x:

\(\bar{y} = a\bar{x} + b\)

Proprietà 2: La media è quel valore che sostituito a ogni osservazione lascia invariata la loro somma.

Proprietà 3: La somma degli scarti dalla media è nulla.

Proprietà 4: La media è quel valore che minimizza la somma dei quadrati degli scarti.

La mediana

La mediana è il valore centrale di una distribuzione, ossia quel valore che divide i dati ordinati in due parti di eguale numerosità. Per calcolare la mediana è necessario ordinare i dati per distribuirle dai dati originari, le osservazioni ordinate si indicano con x₁, x₂, ... , x_n dove x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n.

Se n è dispari, la mediana è x_(n+1)/2.

Proprietà della mediana

Proprietà 1: Sia y una trasformazione lineare di x, Y=ax+b. La mediana di Y è la trasformazione lineare della mediana di x: Med(Y)=aMed(x)+b.

Proprietà 2: Siano x_1-med, x_2-med, ..., x_n-med gli scarti dalla mediana. Il numero di scarti positivi è uguale al numero di scarti negativi.

Proprietà 3: La mediana è quel valore che minimizza la somma degli scarti in valore assoluto.

La moda

La moda di una variabile statistica x, che assume valori x₁, x₂, ..., x_n, con frequenze n₁, n₂, ..., n_k, è il valore di X al quale corrisponde la massima frequenza.

Indice di variazione

La varianza è il più importante indice di variabilità e, al tempo stesso, di disposizione intorno alla media. Sia x una variabile statistica che assume i valori x₁, x₂, ..., x_n e ha media x̄, la varianza è data da:

\(s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\)

La varianza indica qual è la concentrazione dei dati intorno alla media, fornendo informazioni sull’ordine di grandezza degli scarti x_i - x̄ delle osservazioni dalla media. Poiché la somma degli scarti è nulla (gli scarti positivi e gli scarti negativi si compensano) la loro media non dà informazioni sulla dispersione dei dati intorno a x̄. Pertanto, la varianza è calcolata come media degli scarti al quadrato.

Esempio di calcolo della varianza

Varianza di (1,2,5,6,7,9), la media è 5:

\(\frac{(1-5)^2 + (2-5)^2 + (5-5)^2 + (6-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{6} = s^2\)

Quando i dati sono raggruppati in classi, analogamente a quanto avviene per la media, non è possibile calcolare il valore esatto della varianza.

Proprietà della varianza

La disuguaglianza di Chebyshev motiva ulteriormente il ricorso alla varianza come indice di dispersione intorno alla media. Sia X una variabile statistica come media x̄ e varianza s²; è possibile dimostrare che:

\(\text{fr}( | X - \bar{x} | \geq \epsilon) \leq \frac{s^2}{\epsilon^2}\)

Dove fr è la frequenza relativa con la quale X assume valori nell’intervallo (\(\bar{x} - \epsilon, \bar{x} + \epsilon\)).

La disuguaglianza di Chebyshev afferma che una qualsiasi variabile X assume valori in un intorno della media, di semi-ampiezza \(\epsilon\), con la frequenza relativa almeno pari a \(1 - \frac{s^2}{\epsilon^2}\). La disuguaglianza di Chebyshev fornisce un limite inferiore per la frequenza. Quando la varianza diminuisce, questo limite aumenta; ma se aumenta la frequenza con la quale X assume valori intorno a x̄, ciò significa che la distribuzione è più concentrata intorno alla sua media.

Sia s² la varianza di una variabile X, la varianza di una trasformazione lineare Y=aX+b è data da:

\(s^2_{Y} = a^2s^2_{X}\)

La varianza è indipendente dalla posizione: se si effettua una traslazione dei dati, aggiungendo a ciascuna osservazione una stessa quantità b, la varianza rimane invariata. Se si altera l’unità di misura dei dati, moltiplicandoli per una costante non nulla a, la varianza risulta modificata di conseguenza.

Poiché la varianza e lo scarto quadratico medio dipendono dall’unità di misura e dall’ordine di grandezza dei dati, quando la variabile assume soltanto valori positivi, può essere conveniente utilizzare il coefficiente di variazione:

\(CV = \frac{s}{\bar{x}}\)

La differenza interquartile

Misura la variabilità del 50% dei dati che si trovano al centro della distribuzione. Per definire questo indice è necessario introdurre i quartili. Essi dividono i dati in quattro parti uguali: il primo quartile si lascia a sinistra il 25% dei dati, il secondo quartile si lascia a sinistra il 50% dei dati e coincide con la mediana e il terzo quartile si lascia a sinistra il 75% delle osservazioni.

La profondità del primo quartile è data da:

\(\text{prof}(Q_1) = \frac{n+1}{4}\)

Se la profondità del primo quartile è un numero intero, è dato dall’osservazione che occupa la posizione corrispondente nella sequenza ordinata; altrimenti il primo quartile è dato da:

\(Q_1 = \frac{X[\text{prof}(Q_1)] + X[\text{prof}(Q_1)+1]}{2}\)

Il terzo quartile viene calcolato in maniera speculare a partire dall’ultima osservazione.

La differenza interquartile è data da:

\(\Delta Q = Q_3 - Q_1\)

E fornisce indicazioni sulla variabilità della metà centrale dei dati.

Box-plot

Il box-plot è un grafico che fornisce simultaneamente informazioni sulla posizione, sulla variabilità e sulla forma della distribuzione di un insieme di dati. Esso è costituito da tre elementi:

• Una linea in corrispondenza della mediana che rappresenta il centro della distribuzione.
• Un rettangolo o scatola che va dal primo al terzo quartile, la cui altezza indica qual è variabilità della metà centrale dei dati.
• Due segmenti, detti baffi, disegnati a partire dal rettangolo, le lunghezze dei quali sono determinate dagli estremi della distribuzione.

La rappresentazione grafica

La rappresentazione grafica è uno strumento estremamente utile per l’interpretazione delle informazioni. I grafici a barre consentono di visualizzare in modo efficace l’intensità con la quale un fenomeno quantitativo si manifesta rispetto a diverse unità statistiche. I grafici a torta consentono di visualizzare come la totalità di un fenomeno si ripartisce, in percentuale, fra le sue componenti.

In alternativa al grafico a torta, si potrebbe avere un grafico a barre suddiviso. Esso consente di mettere in evidenza i mutamenti che un fenomeno subisce nel tempo. Il grafico a barre multiple consente di visualizzare come due o più fenomeni si sono evoluti nel tempo o come mutano rispetto a diverse aree geografiche. Esso è simile al grafico a barre ma, per ogni etichetta, due o più barre forniscono informazioni su due o più fenomeni.

Eventuali relazioni fra due variabili possono essere rappresentate con un grafico a dispersione. Esso è un grafico che usa le coordinate cartesiane per rappresentare i valori di due variabili. I dati sono rappresentati da punti, a ciascuno dei quali corrisponde una coordinata sull’asse orizzontale data dal valore di una variabile e una coordinata sull’asse verticale data dal valore dell’altra variabile.

• Se i punti di dispongono in modo crescente a partire dall’angolo a sinistra in basso del grafico verso l’angolo a destra in alto, ciò suggerisce un’associazione positiva.
• Se i dati si dispongono in modo decrescente dall’angolo a sinistra in alto del grafico a quello in basso a destra, ciò suggerisce un’associazione negativa.
• Se i punti si dispongono in maniera casuale ciò indica l’assenza di un’associazione.

Il calcolo della probabilità

Molte decisioni sono prese in condizioni di incertezza. Il calcolo delle probabilità si può definire come “la logica del possibile o dell’incerto” poiché tratta di proposizioni alle quali non è possibile associare con certezza l’attributo vero o l’attributo falso ma soltanto l’attributo possibile. Le proposizioni di interesse per il calcolo della probabilità prendono il nome di eventi casuali. Per definirli è necessario introdurre il concetto di esperimento casuale.

Si definisce esperimento casuale o prova qualsiasi fenomeno del mondo reale per il quale vi è più di un risultato possibile e pertanto l’esito è incerto. Un esperimento casuale è un fenomeno alla cui manifestazione è associato uno stato di incertezza.

Si indicano con ω₁, ω₂, ..., ω_n i possibili risultati di un esperimento casuale. L’insieme S=(ω₁, ω₂, ..., ω_n) di tutti i possibili risultati è definito spazio campionario.

In un sondaggio di opinione che prevede le risposte “molto favorevole”, “favorevole”, “contrario” e “molto contrario”, ciascuna risposta costituisce un possibile risultato dell’esperimento. Si può ora definire un evento casuale: esso è proposizione non ambigua formulabile intorno a un esperimento casuale.

Gli eventi casuali possono essere rappresentati come sottoinsiemi dello spazio. I sottoinsiemi di S costituiti da singoli elementi prendono il nome di eventi elementari. Se si considera come sottoinsieme (improprio) di S lo stesso spazio campionario, esso rappresenta l’evento che si verifica se uno qualsiasi dei possibili risultati dell’esperimento si verifica. Poiché uno di tali risultati deve necessariamente verificarsi, allora S prende il nome di evento certo.

Si consideri il sottoinsieme di S che non contiene alcun elemento, cioè l’insieme vuoto ∅; poiché uno dei possibili risultati dell’esperimento necessariamente si verifica, esso prende il nome di evento impossibile. Uno strumento molto utile per visualizzare gli eventi è il diagramma di Venn. Vi sono tre operazioni che si possono fare con gli eventi: l’intersezione, l’unione e la negazione.

• Dato un esperimento casuale, che ammette un insieme S di possibili risultati, e considerati due eventi A e B, l’intersezione A ∩ B è costituita dagli elementi di S comuni sia ad A sia a B. Pertanto, l’intersezione è l’evento che si verifica quando si verificano contemporaneamente A e B.
• Dato un esperimento casuale, che ammette un insieme S di possibili risultati, e considerati due eventi A e B, l’unione A ∪ B è costituita dagli elementi di S che appartengono soltanto ad A oppure soltanto a B oppure entrambi. Pertanto, l’unione di A e B è l’evento che si verifica quando si verifica soltanto A oppure si verifica soltanto B oppure si verificano contemporaneamente A e B.
• Dato un evento A contenuto in S, si indica con Ā l’insieme complementare di A rispetto a S, costituito dagli elementi di S che non appartengono ad A. Esso rappresenta quindi un evento che si verifica quando A non si verifica e pertanto viene chiamato negazione di A.
• Due eventi A e B, contenuti in S, si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente. In tal caso A e B non hanno elementi in comune e la loro intersezione è l’evento impossibile, A ∩ B = ∅. Se sono incompatibili a due a due saranno incompatibili a tre a tre, A₁, A₂, ..., A_n.
• Dati n eventi di S, essi si dicono necessari se la loro unione dà l’evento certo, ossia A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n = S.

La probabilità

Definire la probabilità è utile per misurare quanto è verosimile che un evento si verifichi. Il termine “probabilità” in realtà appartiene al linguaggio comune e le valutazioni di probabilità sono particolarmente ricorrenti. Si pensi ai pronostici sull’esito di una competizione agonistica; frequentemente si sente dire che una squadra ha maggiore probabilità di vincere. Comune è la misura della probabilità su una scala da zero a 1. Essa è tanto più vicina a 1 quanto più verosimile è il verificarsi dell’evento e, viceversa, essa è prossima a zero se si ritiene che l’evento difficilmente si possa verificare.

La definizione frequentista si applica ai cosiddetti eventi ripetibili, cioè eventi che si possono verificare in ciascuna replicazione di un esperimento casuale. Questo ultimo, deve potersi replicare indefinitamente senza che il risultato di una replicazione sia influenzato dai risultati delle prove precedenti.

\(\lim_{n \to \infty} \frac{\text{frequenza}}{n} \rightarrow \text{probabilità}\)

Secondo la definizione soggettivista la probabilità è il grado di fiducia che un individuo ha nel verificarsi di un evento. Per tradurre il grado di fiducia in una valutazione numerica di probabilità si fa riferimento a uno schema di scommesse.