Statistica

La covarianza

XY X Yk h∑ ∑=E[ ]μ XY =μ x y pdove è il valore atteso del prodotto XYXY XY i i iji=1 j=1

La covarianza ha alcune proprietà cui è opportuni riferirsi per interpretare correttamente il valore che essa assume. Esse sono:

proprietà 1se X e Y sono indipendenti la covarianza è nulla

proprietà 2date due variabili casuali X e Y, la covarianza fra le trasformazioni lineari aX+b e cY+dè data da Cov (aX+b, cY+d) = acCov (X, Y)

Proprietà 3Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: la covarianza fra due variabili casuali X e Y, in valore assoluto, è al massimo uguale al prodotto degli scarti quadratici medi

Coefficiente di correlazioneUn indice dell’intensità del legame lineare fra due variabili X e Y è il coefficiente di ρ correlazione, indicato con oppure con Corr(X, Y). Esso è dato dal valore atteso XY del prodotto delle variabili standardizzate( )( )−μ −μX YX Y( )=E=Corr [ ]ρ X , YXY

σ σX Ye può anche essere calcolato come rapporto fra covarianza e il prodotto degli scartiσ XYquadratici medi .σ σX YIl coefficiente di correlazione gode di alcune importanti proprietà da tenere presentiper interpretare correttamente il suo valore. Esse sono:

proprietà 1: il coefficiente di correlazione assume valore nell’intervallo [-1, 1]

proprietà 2: il valore assoluto del coefficiente di correlazione è uguale a 1, quando fraXYla X e la Y esiste un perfetto legame lineare

proprietà 3: se le variabili X e Y sono indipendenti il coefficiente di correlazione è nullo

proprietà 4: il coefficiente di correlazioni è invariante, a meno del segno, rispetto alletrasformazioni lineari, cioè± ρCorr (aX+b,cY+d)= XYCombinazioni lineari di variabili casualiData una coppia di variabili casuali (X, Y), una combinazione lineare è una

particolare funzione di X e Y data da aX+bY. Ad esempio, se a=b=1 la combinazione lineare è la somma X+Y, mentre se a=1 e b=-1 si ottiene X-Y. Il valore atteso di una combinazione lineare è dato dalla combinazione lineare del valore atteso. La varianza di una combinazione lineare è invece data da

(a^2 * Var(X)) + (b^2 * Var(Y)) + (2ab * Cov(X,Y))

Se le variabili casuali sono incorrelate si ha Var(aX + bY) = (a^2 * Var(X)) + (b^2 * Var(Y))

Combinazioni lineari di n variabili casuali

Var(a1X1 + a2X2 + ... + anXn) = a1^2 * Var(X1) + a2^2 * Var(X2) + ... + an^2 * Var(Xn)

Modelli per variabili casuali discrete

Variabile casuale di Bernoulli

Molti esperimenti hanno due soli esiti possibili interpretabili come "successo" oppure "insuccesso". Sia la probabilità del successo, dove 0 ≤ π ≤ 1. La variabile casuale di Bernoulli X assume valore 1 quando si verifica un successo e zero quando si verifica un insuccesso. La sua distribuzione di probabilità dipende dal parametro π, infatti

=1−π ( )=πP X=0 , P X=1 ( )X Ber π

Per indicare che X ha una distribuzione di Bernoulli si utilizza la notazione x 1− x( )=π

La funzione di probabilità risulta (P X=x 1−π)[ ] =0∗( ) +1∗π =π

E X 1−π => la media2 2( )=(0−π ∗( )+ ( ) => la varianza) ∗π=π (1−π )Var X 1−π 1−π

Variabile casuale binomiale

Si consideri un esperimento con risultato dicotomico e si supponga di eseguire n prove.indipendente, in modo tale che la probabilità di successo sia costante e a pari a La variabile casuale X che descrive il numero di successi nelle n prove ha una(n )X B , πdistribuzione binomiale

La variabile casuale binomiale è una variabile casuale discreta che assume valori interifra zero e n.π1−¿¿π1−¿¿ n x( )= ¿P X=x πx

Modelli per variabili casuali continue

In molte circostanze è ragionevole

Ipotizzare che la variabile casuale, che descrive un fenomeno di interesse, assuma con probabilità elevata valori intorno alla media e inoltre assuma valori in intervalli di ampiezza fissata con probabilità che decresce quando l'intervallo si allontana dalla media.

Una variabile casuale continua X, che assume valori nell'insieme dei numeri reali, è normale se la sua funzione di densità è

2(x - μ) / σ² √(2πσ)

dove μ e σ sono due parametri tali che -∞ < μ < +∞ e σ > 0. È possibile dimostrare che μ e σ sono rispettivamente la media e la varianza di X.

Per indicare che una variabile casuale X è distribuita in modo normale, con media μ e varianza σ, si utilizza la notazione X ~ N(μ, σ²).

La funzione di densità di una variabile casuale normale ha forma campanulare.

ed è centrata sulla media.

Funzione di densità di una variabile casuale normale

Funzione di densità di variabili casuali normali stessa varianza e diversa media

Funzione di densità di variabili casuali normali con diverse varianze e stessa media

Funzione di ripartizione di una variabile casuale normale

Una variabile casuale normale standardizzata Z ha media nulla e varianza unitaria, (0,1)Z N . La sua funzione di densità è -11 2z2( )=Φ z √ 2 π ( )=P(ZΦ z ≤ z)

La funzione di ripartizione di Z si indica con ed è tabulata per valori di z non negativi. ϕ

Utilizzando la tavola di (z) è possibile calcolare le probabilità che Z assuma valore P( Z ≥ z) in una qualsiasi regione dell’asse reale. Infatti, la probabilità, per z positivo, Φ(z) è l’area sotto a destra di z. Poiché l’area sotto la funzione di densità vale 1, P( Z ≥ z) è data dal complemento a 1.

della funzione di ripartizione( )=1-Φ( )P(Z ≥ z)z

La variabile casuale normale gode della proprietà riproduttiva: combinazioni lineari di variabili casuali normali indipendenti generano variabili casuali la cui distribuzione è ancora normale.

Variabile casuale uniforme θ(θ),

La variabile casuale uniforme assume valori in un intervallo è costante nell’intervallo. θ(θ)XU, θ1 2θ ≤ x ≤ θ e è nulla altrove. 1 2θ θ 2+ (θ -θ)1 2[ ] 2 1= , E X ( )=Var X2 12 θ(θ), La media coincide con il valore centrale dell’intervallo. Infine, la funzione di ripartizione è x-θ 1( )=Fx θ -θ2 1

Variabile casuale chi-quadrato Z, Z, … , Z (0,1) Z N Siano n variabili casuali normali standardizzate, e i1 2 n indipendenti. La variabile casuale n∑ 2=X Zi i=1 2 Ha una distribuzione

(chi-quadrato) con n grandi di libertà χ2X χ n

Il valore atteso e la varianza dipendono dai gradi di libertà e sono dati da E[X]=n, Var(X)=2n

Variabile casuale t di Student 2

Sia Z una variabile casuale normale standardizzata e Y una variabile casuale , fra nloro indipendenti. La variabile casuale Z=X √/nY X tha una distribuzione t di Student con n gradi di libertà n

La variabile casuale t di Student assume valori reali e ha una distribuzione simmetrica intorno allo zero.

Teorema del limite

Il teorema del limite centrale dimostra che la distribuzione della media o della somma di n variabili casuali indipendenti tende alla distribuzione di una variabile casuale normale quando n diventa infinitamente grande. Si consideri una successione di [ ] 2( )=μX , X ,… , X ,… E X =σVar X variabili casuali indipendenti e tali che e1 2 n i 1X́per qualunque i. Si indichi con la media delle prime n variabili casuali n1 ∑=X́ Xn in i=1 Tuttavia, se