Statistica

La statistica

Statisticaistruttore: Settanni, Rosato

Definizione

La statistica è un metodo di studio avente lo scopo di sintetizzare le informazioni relative a caratteristiche variabili rilevabili su unità, ed estendere induttivamente i risultati a casi più generali, ovvero generare conoscenza su fenomeni che riguardano la popolazione sulla base dell’analisi condotte su campioni (di individui o gruppi).

La statistica utilizza un linguaggio formale, preciso, in cui certe parole indicano entità specifiche, hanno un significato specifico: non sempre è possibile usare parole diverse per indicare stesse entità. La statistica è un insieme di metodi per:

• Pianificare ricerche empiriche
• Ottenere dati (base empirica) e poi:
• Organizzarli
• Riassumerli
• Presentarli
• Analizzarli
• Interpretarli
• Trarre conclusioni appropriate

Perché conoscere la statistica

La conoscenza della statistica fornisce gli strumenti necessari e le basi concettuali nel ragionamento quantitativo per estrarre informazioni in modo intelligente dai dati. I metodi e le analisi statistiche sono spesso utilizzati per comunicare i risultati della ricerca e per sostenere le ipotesi e dare credibilità alla metodologia e alle conclusioni della ricerca. È importante che i ricercatori e anche i consumatori della ricerca comprendano la statistica in modo da poter essere informati, valutare la credibilità e l’utilità delle informazioni e prendere decisioni appropriate.

La statistica in psicologia

• Le unità possono essere individui o gruppi di individui
• Le caratteristiche variabili oggetto di indagine sono tratti e stati psicologici, atteggiamenti e comportamenti
• Le unità possono anche essere oggetti (item), come domande di un questionario, stimoli di un test, di cui vogliamo studiare le proprietà.

Ricerca empirica in psicologia

Psicometria

• Insieme di strumenti, procedure per rilevare, descrivere e mettere in relazione fenomeni di interesse per la psicologia
• Studia e sviluppa metodi per la misurazione di costrutti psicologici (capacità cognitive, atteggiamenti, tratti di personalità…)

Analisi dei dati

• Manipolazione di dati empirici avente l’obiettivo l’organizzazione, la sintesi e l’estrazione di informazioni

Tutti e tre condividono il linguaggio della matematica, un linguaggio comune che permette di comunicare, di maneggiare i concetti di cui ci occupiamo. Il linguaggio della statistica, è in buona parte mutuato da quello della matematica. È un linguaggio astratto e formalizzato, ricco di simboli convenzionali. Le formule sono un modo sintetico per rappresentare algoritmi computazionali (delle regole di calcolo). Sono una estensione delle quattro operazioni elementari (Miceli, 2001).

Statistica e psicometria come insieme di concetti, come metodo di indagine. È più difficile capirne i concetti che applicare le formule!

Lettere dell’alfabeto

Alfabeto greco

• α: intercetta di un modello di regressione
• β: discriminazione, difficoltà di un item
• θ: abilità di un individuo
• μ, σ²: informazioni che descrivono un fenomeno in una popolazione
• Γ, Λ: matrici di informazioni incognite su proprietà di item o di individui

Alfabeto latino o anglosassone

• x, y, z: variabili (tipicamente ultime lettere alfabeto)
• A, B: insiemi (tipicamente prime lettere alfabeto maiuscole), matrici (lettere maiuscole)

La statistica e la ricerca empirica in psicologia

Il ciclo della ricerca è circolare: dalla teoria si passa alla definizione di ipotesi e dalla definizione di ipotesi si va a raccogliere dei dati e li si analizza per verificare le ipotesi, e la verifica delle ipotesi può generare una nuova teoria. La statistica è molto presente in tutte le fasi della ricerca quantitativa: oltre che nella costruzione degli strumenti, entra anche nelle procedure di definizione dei casi a cui ci si vuole riferire quando si studiano i fenomeni psicologici e nella definizione delle strategie di campionamento (estrarre da una popolazione un gruppo di individui che dovrebbe rappresentare quella popolazione).

Si parte da una o più teorie, o su basi letterarie. Si formulano ipotesi e poi bisogna utilizzare il “ragionamento statistico” per informare tutte le diverse fasi della ricerca empirica:

• La formulazione e verifica delle ipotesi
• La definizione dei costrutti e la costruzione degli strumenti di misura
• La definizione delle strategie di campionamento
• La raccolta e organizzazione e analisi dei dati

Costruzione della base empirica

Costruire la base empirica significa assemblare il supporto sul quale si basa la verifica di un determinato asserto o ipotesi. Per testare la mia ipotesi ho bisogno di riferirmi a dei fatti, a dei dati, a delle informazioni che raccolgo.

Esempio di ipotesi

Usare Instagram fa male. Devo costruire una base dati che mi consenta di confrontare lo stato di soggetti che differiscono in base al grado di utilizzo di Instagram. Per arrivare a ciò è necessario definire in modo opportuno gli elementi necessari:

• Cosa significa usare Instagram?
• Cosa significa fa male?
• Chi sarà oggetto delle mie osservazioni?

Unità e casi

Le unità sono gli oggetti a cui si interessa la ricerca: individui, famiglie, scuole… L’insieme di tutte le unità costituisce la popolazione o universo o collettivo (es. studenti iscritti al corso di laurea di psicologia). I casi sono le unità di analisi selezionate (campione) che entreranno a far parte della ricerca.

Vi sono due definizioni operative: quella in cui si vogliono definire i casi della ricerca e quelli in cui si vogliono definire le proprietà a cui siamo interessati, su cui vogliamo fare ricerca.

Definizione operativa (casi)

Dalle unità ai casi: procedura che ci fa passare da un universo (o popolazione) ad un campione. Definizione operativa: insieme delle regole che permettono di passare da una definizione di popolazione di riferimento ai casi di un campione.

• Universo: Utenti attivi di Instagram
• Definizione operativa: Individui che possiedono un account di Instagram, e che sono attualmente attivi sulla piattaforma
• Campione: Campione di utenti di Instagram (casi) reclutati online via advertisements

Proprietà e variabili

Una proprietà è una caratteristica di un evento reale. Se una proprietà può assumere stati diversi da caso a caso nello stesso momento, si dice che può variare. La capacità di variare non è sufficiente perché una proprietà possa essere definita una variabile ed essere oggetto di ricerca scientifica. È anche necessario stabilire in che modo questi stati differenti devono essere rilevati e registrati, dando una definizione operativa della proprietà in questione.

Definizione operativa (variabili)

Dai costrutti alle variabili: dalle proprietà (o costrutti), alle variabili (modo che abbiamo di registrare e trattare l’informazione). Definizione operativa: insieme delle regole che permettono di riportare nella matrice dati (dove immagazziniamo tutti i dati che raccogliamo sui casi della nostra ricerca) lo stato di un individuo su una ben definita proprietà.

Proprietà: sintomi depressivi

Definizione operativa: numero di sintomi depressivi rilevati in modo frequente nelle ultime due settimane

Variabile: punteggio costruito come somma delle risposte a domande da questionario che rilevano i sintomi

Estratto della Satisfaction With Life Scale (SWLS)

Esistono definizioni operative diverse degli stessi concetti; esistono infatti anche strumenti diversi per rilevare concetti differenti.

Definizione operativa (casi e variabili)

Si definisce variabile una qualsiasi proprietà di un evento reale che assume stati diversi e può essere “misurata”: perché una variabile possa essere misurata deve esserci una definizione relativa.

Operazioni

1. Classificazione: suddivisione di un concetto in un certo numero di sottoinsiemi, chiamate classi di equivalenza su cui valgono le proprietà: esaustività e esclusività. Ogni individuo facente parte della popolazione potrà essere collocato sicuramente in una delle classi di equivalenza e contemporaneamente potrà essere incluso soltanto in una classe di equivalenza.
2. Ordinamento: partizione del dominio di una proprietà che gode anche della relazione di ordine, oltre che di equivalenza.
3. Misurazione: presuppone l’esistenza di una unità di misura.
4. Conteggio: enumerazione degli oggetti posseduti, delle attività possedute… (numero di figli).

L’esito di queste operazioni saranno variabili di tipo differente.

Misurazione: dal sistema empirico al sistema numerico

Ogni operazione di misurazione consiste nel mettere in relazione certe proprietà del mondo che osserviamo (esempio: professioni, età, Qi...) con proprietà dei numeri. Gli individui che posseggono le entità formano un insieme e tra queste entità esistono delle classi (ingegneri, idraulici... QI=100, QI=110...) dette classi di equivalenza, poiché i membri nelle classi (es. ingegneri) sono indistinguibili tra loro (equivalenti), ma sono distinguibili da tutti gli altri (es. avvocati, idraulici...) elementi dell’insieme (non equivalenti).

Sistemi relazionali

Si definisce sistema relazionale un insieme A sui cui elementi vengono definite delle relazioni. Un sistema relazionale si dice empirico (SE) se è costituito da elementi empirici (caratteristiche di una persona, comportamenti, osservazioni, oggetti…) fatti o osservazioni rilevati. Un sistema relazionale si dice numerico (SN) se è costituito da elementi numerici.

Assunti

• Tra le classi di equivalenza delle entità (sistema empirico) studiate esistono delle relazioni
• Anche tra le rilevazioni corrispondenti alle diverse classi di equivalenza (sistema numerico) esistono delle relazioni corrispondenti alle prime

Misurare significa definire sull’insieme dei numeri Reali delle relazioni, corrispondenti alle relazioni presenti tra le entità nel sistema empirico. I numeri che assegno devono mantenere le relazioni che potevo definire nel sistema empirico. Possiamo compiere tutte le operazioni sulle rilevazioni come se fossero operazioni sui numeri reali? Dipende dal tipo di relazioni che esistono nel sistema empirico. Esistono diversi livelli di misurazione.

Misurare vuol dire stabilire una relazione funzionale tra un sistema relazionale empirico (SE) e un sistema relazionale numerico (SN) e determinare delle regole che consentano di associare a ciascuno degli elementi del SE un numero determinato del SN. Costruiamo una scala di misura ogni qual volta disponiamo dei seguenti tre elementi:

1. Un sistema relazionale empirico (SE);
2. Un sistema relazionale numerico (SN);
3. Una regola di trasformazione (o FUNZIONE) che consente di passare dall’uno all’altro (f).

La funzione di corrispondenza

Una variabile di scala o di misura è un sistema che mette in relazione di corrispondenza, utilizzando una funzione f gli stati di oggetti (ad es., individui) su proprietà (sistema empirico o SE), e numeri reali (sistema numerico o SN). Esprimiamo questa relazione come: il sistema numerico è funzione del sistema empirico. È possibile passare con una funzione specifica da un sistema empirico che noi osserviamo ad un sistema numerico; passare da fatti, eventi, caratteristiche osservati a numeri.

Di fatto abbiamo bisogno di una funzione di corrispondenza per passare dal sistema empirico al sistema numerico. Vogliamo rappresentare in forma numerica il genere di tre persone: (maschio/femmina): Marco, Carla, Francesca. La relazione che deve essere rappresentata è quella di equivalenza, per cui: Carla = Francesca, Carla ≠ Marco, Francesca ≠ Marco.

Per cui se osserviamo nel Sistema Empirico una diseguaglianza la funzione dovrà assegnare nel Sistema Numerico un numero che rispetti questa relazione: f(Carla) = f(Francesca), f(Carla) ≠ f(Marco), f(Francesca) ≠ f(Marco) rispetto alla proprietà che stiamo studiando (il genere).

Nel nostro esempio: Femmina=1; Maschio=0 da cui deriva: Marco = 0; Carla=1; Francesca=1. Anche nel sistema numerico viene rispettata la relazione di equivalenza: f(F)≠f(M); f(C) ≠ f(M); f(C) = f(F) che diventa 1 ≠ 0; 0=0. Le relazioni tra i numeri devono riflettere in modo appropriato quelle esistenti tra gli oggetti del SE.

Immaginiamo di rilevare il titolo di studio dei tre soggetti che si presenta con queste modalità: a) licenza media b) diploma c) laurea. La relazione che deve essere rispettata in questo caso è quella d’ordine: f(c) > f(b) > f(a). Per rappresentare il SRE può essere usata qualsiasi terna di numeri che rispetti la relazione d’ordine. Ad esempio:

• f { licenza media=1; diploma=5; laurea=10 }
• f’ {licenza media=1; diploma=25; laurea=100 } dove f’=T(f) la nuova scala è il frutto di una trasformazione dei valori di scala di f, in particolare: f’=f²

Per ogni SE possono esserci più rappresentazioni numeriche. Le diverse scale di misura sono formalmente definite attraverso le classi di trasformazioni ammissibili, ossia quelle funzioni T che consentono di passare da una misura del sistema empirico ad una qualsiasi altra misura dello stesso sistema. Per trasformazione ammissibile si intende l’insieme delle trasformazioni che alterano solo gli aspetti convenzionali di una scala.

Le scale di misura

Stevens distingue quattro tipi di scale di misura in base alle famiglie di trasformazioni ammissibili:

• Variabili nominali
• Variabili ordinali
• Variabili ad intervalli o intervallari
• Variabili a rapporti o razionali

Sono scale che permettono di sviluppare variabili di tipo diverso. Grazie a queste scale, noi misuriamo ogni qual volta sviluppiamo delle regole per attribuire dei numeri agli elementi del sistema empirico.

Scala nominale

Sistema empirico di tipo classificatorio in cui la realtà può essere suddivisa in categorie distinte e mutuamente escludentesi (classi di equivalenza). Misurare vuol dire attribuire numeri uguali agli elementi della stessa categoria e numeri diversi ad elementi appartenenti a categorie diverse. Il sistema numerico ha la sola proprietà di simbolo (Es. genere, status sociale (popolare, rifiutato, etc.). Non possiamo svolgere le operazioni reali con questi numeri.

• Colore degli occhi: blu, marrone, verde…
• Sesso biologico: maschio o femmina
• Partito votato: M5S, PD, Lega…
• Stato civile: sposato, celibe, divorziato, vedovo
• Paese d’origine: 1=Italia, 2=Francia, 3=Spagna…

Qui i numeri non hanno implicazioni numeriche; sono semplicemente etichette convenienti. L’unica operazione ammissibile per questo tipo di scala è la transcodifica (o corrispondenza biunivoca): qualsiasi trasformazione che attribuisce allo stesso numero di partenza uno stesso numero di arrivo. Le relazioni di equivalenza e non equivalenza devono essere mantenute.

Scala ordinale

In un sistema empirico ordinabile gli elementi godono della stessa caratteristica ma in quantità o grado diverso, ordinabile rispetto a tale grado (relazioni di ordine). Il sistema numerico rispecchia le stesse caratteristiche del sistema empirico di ordinabilità. Ad uno stesso numero è associata la stessa quantità di caratteristiche e i numeri indicano solo una graduatoria. Ad esempio: titolo di studio, le risposte ad un item (spesso, raramente, mai), classificazione della gravità di sintomi depressivi (assenti, lievi, moderati, severi). Il grado tra item (distanza tra item) non è quantificabile (so solo che raramente è più di mai e meno di spesso, ma non so di quanto). L’operazione ammessa è la trasformazione monotona strettamente crescente.

Scala a intervalli

Quando nel sistema empirico è possibile stabilire una relazione di uguaglianza degli intervalli (o delle distanze) tra gli stati di una proprietà, allora possiamo parlare di misurazione in senso stretto. Nel sistema numerico corrispondente è possibile stabilire l’entità delle differenze di intensità della caratteristica. Per parlare di scala ad intervalli deve esistere:

• Uno strumento di misura dotato di unità di misura, che è convenzionale
• Uno “zero” fissato arbitrariamente (cambia in base all’unità di misura scelta) che non indica l’assenza
• I rapporti tra i valori attribuiti agli elementi non sono costanti al variare dell’unità di misura con cui esprimiamo la nostra variabile (10°C è il doppio di 5°C, ma trasformandoli in F diventano 50°F che non è il doppio di 41°F. Non posso dire che c’è il doppio della temperatura, ma posso dire che c'è il doppio dei °C)

Dati quattro individui rispondono ad un questionario che rileva sintomi depressivi su una scala da 0 a 10 (con zero arbitrario!). L’operazione ammessa è la trasformazione lineare (o affine): deve rimanere costante il rapporto tra le distanze. Possiamo trasformare in modo arbitrario qualsiasi punteggio che noi abbiamo rilevato su scala di intervalli, facciamo queste trasformazioni perché a volte è utile per aumentare e migliorare l’interpretabilità dei punteggi.

Scala razionale o di rapporti

Quando nel sistema empirico è possibile identificare un punto zero assoluto che indica l’assenza della caratteristica, siamo nel caso di una scala razionale o di rapporti, che è stata interrotta.