Statistica

COSA DIFFERENZIA IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ DALLA STATISTICA DESCRITTIVA

La presenza, nel calcolo della probabilità, di una prova, esperimento aleatorio ovvero soggetto ad incertezza (può produrre uno o più esiti detti “eventi”).

La statistica descrittiva esamina i risultati di eventi reali, già avvenuti e definitivi, di cui studia a posteriori la distribuzione del carattere X tra le sue modalità, invece il calcolo delle probabilità elenca i risultati di esperimenti ipotetici, che non necessariamente si realizzano, e dei quali determina a priori la probabilità dei singoli eventi.

VARIABILE CASUALE O ALEATORIA

Si definisce variabile aleatoria o casuale una funzione che associa ad ogni evento dello spazio campionario (Ω) un numero reale. Possiamo avere anche meno numeri reali di quanti eventi abbiamo: un numero reale può rappresentare più eventi dello spazio campionario. Partiamo da uno spazio

• Variabile aleatoria discreta → se può assumere solo un numero discreto e finito di valori → ogni variabile X il cui rango è un insieme finito di valori, un sottoinsieme dei numeri reali.
• Variabile aleatoria continua → se può assumere tutti gli infiniti valori di Re, o di un suo intervallo [a,b] → ogni variabile X il cui rango è un insieme dei numeri reali infinito. I numeri reali infiniti possono essere raggruppati in un numero finito di intervalli.

• Nell'esperimento lancio di un dado, una variabile casuale discreta finita potrebbe essere: "assegnare il numero 1 se il risultato è una faccia dispari, e 2 se il risultato è una faccia pari".

“In un insieme di 100 studenti che sostengono un esame di statistica, la legge della v.c. potrebbe essere “attribuire 1 se l’esame è stato superato e 0 se non è stato superato”.

Un esperimento consiste nel lancio di 2 monete. Sia X il numero di volte in cui “T” viene osservato in ciascuna prova. Lo spazio campionario è costituito da: = {(TT), (TC), (CT), (CC)}. Il valore da assegnare a X in corrispondenza di ciascuno degli eventi dello spazio campionario dipende dal numero di volte in cui si osserva “T”. Una variabile casuale può corrispondere, per esempio, alla regola “associare 2 se T appare 2 volte, 1 se T appare 1 volta e 0 se T non appare alcuna volta”. Quindi i valori che X può assumere sono: X={0,1,2}. Dunque una v.c è una funzione in cui il dominio sono le descrizioni dello spazio campionario ( = {(TT), (TC), (CT), (CC)}), il codominio sono i numeri reali (Re).

“N° facce T”, sono:● Ω Ω: è formato da 4 eventi elementari equiprobabili. Possiamo associare ad ogni evento diuna probabilità costante di verificarsi: ¼

ΩLa vc X ha generato uno spazio di probabilità x formato da 3 distinti valori con probabilità:P(X=0)=1/4; P(X=1)=1/2; P(X=2)=1/4X: {0,1,2}

P(X=0)=P(CC)= ¼

P(X=1)=P[(TC) U (CT)]= ¼+ ¼= ½

P(X=2)=P(TT)= ¼

La probabilità che la vc X assuma il valore x, P(X=x) è definita come la somma delle probabilità di tutti glielementi dello spazio campionario a cui viene assegnato il valore x.

P(X=x)=p(x)58p(x) è una funzione che assegna una probabilità a ciascun valore di x.

Ogniqualvolta a ciascun valore del rango di una variabile casuale si associa un valore che rispetta gli assiomi dellaprobabilità si ottiene una funzione di probabilità● p(xi)≧0, i=1,2,..n → ciascun evento

VARIABILE ALEATORIA CONTINUA

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE

Per assegnare valori di probabilità ad una va continua (X) è necessario definire la funzione di ripartizione o funzione F(X) = P(X ≤ x), -∞ ≤ x ≤ ∞ per ogni di probabilità cumulativa. Dobbiamo calcolare l'integrale, dunque l'area sotto la curva. Ed è caratterizzata dalle seguenti proprietà:

• Questa vuol dire che è una funzione delimitata tra 0 e 1.
• F(X) è una funzione non decrescente, infatti se a ≤ b allora F(a) ≤ F(b)

FUNZIONE DI DENSITÀ E FUNZIONE DI PROBABILITÀ ASSOCIATA

Se F(X) è la funzione di ripartizione della v.a. X, la funzione di densità di probabilità [f(X)] si definisce come:

La funzione di probabilità (densità) associata ad una v.c. continua f(X)