Statistica

Matematica

Definizione di insieme

Un insieme è una collezione di elementi che hanno in comune una determinata proprietà. In statistica il termine popolazione è utilizzato come sinonimo di insieme.

Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano tra due insiemi A e B si indica con A × B (“A cartesiano B”), tale insieme ha come elementi tutte le possibili coppie ordinate di elementi che possono essere estratte dagli insiemi A e B. Pertanto l’insieme A × B contiene tutte le possibili relazioni che si possono costruire a partire dagli insiemi A e B.

Relazioni

Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Una relazione d’ordine (totale) è riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

Una relazione d’ordine parziale viene detta reticolo.

Funzioni

Una funzione f è un particolare tipo di relazione tra due insiemi A e B, in base alla quale per ogni elemento a ∈ A esiste un unico elemento b ∈ B che soddisfa tale relazione e si scrive b = f(a).

Sia f una funzione da X a Y (si scrive f: X → Y), l’insieme X viene detto dominio oppure insieme di definizione della funzione f, mentre Y viene detto codominio, insieme dei valori o immagine della funzione f. Una funzione si dice suriettiva solo se f(X) = Y, più in generale invece si ha f(X) ⊂ Y e f(X) ≠ Y. Una funzione si dice iniettiva se trasforma elementi diversi di X in elementi diversi di Y. Una funzione suriettiva e iniettiva si dice biunivoca.

Permutazioni

Le permutazioni semplici (senza ripetizione) di n elementi sono P_n := n(n − 1)(n − 2)...1 = n! (tale simbolo si legge “n fattoriale”). Per una questione di coerenza è necessario porre 0! = 1, altrimenti l’uguaglianza n! = n(n − 1)! non potrebbe essere vera sia per n = 2, sia per n = 1. Se h elementi di A possono essere “estratti” più volte (diciamo k_i volte, per i = 1,..., h), allora si parla di permutazioni con ripetizione, il loro numero è P_k1,...,khn = n! / k₁!...k_h!

Formula di Stiefel

Per il calcolo delle combinazioni si può utilizzare la seguente formula: C_n,k = (n − 1)! [ (n − k) + k / k!(n − k)! ] = n! / k!(n − k)!

Numeri di macchina

Numeri in virgola mobile normalizzata: Data una certa base B, nei calcolatori elettronici l’insieme dei numeri che possono essere utilizzati per rappresentare un qualunque numero reale a (∀a ∈ R) è “limitato” dalla possibilità di memorizzare la mantissa (a₁a₂...a_n, per a₁ ≠ 0) e l’esponente (e).

In ogni calcolatore i numeri reali sono approssimati dai numeri di macchina. La base naturalmente impiegata nei calcolatori è 2, per cui vengono utilizzate le cifre 0 e 1 per rappresentare, e approssimare, i numeri reali. L’errore relativo commesso con tale approssimazione si chiama precisione di macchina e nei calcoli può produrre errori rilevanti, casi di overflow e underflow.

Polinomi

La retta implicita ax+by = c esplicita y = c/b – a/b x; intercette c/a, c/b; coefficiente angolare – a/b.

La parabola y = ax² + bx + c.

Costante di Eulero

Costante di Eulero o numero di Nepero e = lim_n→∞ ( 1 + 1/n )ⁿ = 2.718282... Tale numero è la base dei logaritmi neperiani.

Soluzioni dei sistemi di equazioni lineari

Rouche-Capelli: Se det(A) ≠ 0, allora il sistema Ax = b ammette un’unica soluzione. Se det(A) = 0, allora il sistema Ax = b può ammettere infinite soluzioni oppure nessuna soluzione.

Statistica

Definizione

Scienza delle decisioni in condizioni di incertezza.

Finalità dei metodi statistici

• Descrittive: Rilevare, elaborare e sintetizzare i dati relativi ad un certo fenomeno (per fini descrittivi).
• Inferenziali: Validare, in base ai dati rilevati, le teorie che sono proposte come spiegazione di fenomeni reali (per fini inferenziali). Validare in termini statistici significa stabilire con quale probabilità, certe affermazioni possono essere vere oppure false.

Rilevazione dei dati statistici

La rilevazione dei dati statistici è l’insieme delle procedure atte a reperire le informazioni inerenti un determinato fenomeno reale. Distinguiamo tra:

• Rilevazione dell’intera popolazione statistica.
• Rilevazione di un campione statistico dalla popolazione. Le rilevazioni non devono essere affette da errori sistematici. È anche necessario che il campione sia rappresentativo della popolazione (cioè che rispecchi le caratteristiche di quest’ultima). Campioni rappresentativi si possono ottenere mediante estrazioni casuali.

Concetti essenziali delle rilevazioni statistiche

• Le unità di rilevazione (o di osservazione) sono gli elementi di base che costituiscono la popolazione e in riferimento ai quali sono rilevati i fenomeni (i caratteri delle unità di rilevazione) oggetto dell’indagine statistica.
• Le variabili sono i fenomeni o caratteri rilevati per ogni unità di osservazione statistica.
• Le modalità sono i valori (qualitativi o quantitativi) con i quali, per ogni unità di rilevazione, si manifesta un particolare fenomeno (carattere o variabile) statistico.
• La frequenza è il numero di volte che una certa modalità si manifesta nella popolazione o nel campione oggetto della rilevazione (in altri termini, il numero di individui, unità di osservazione, che possiedono una data modalità).

Tipi di fenomeni

Le rilevazioni dei fenomeni reali possono interessare fenomeni quantitativi e fenomeni qualitativi.

• Ai fenomeni quantitativi (misurabili) può essere associata una variabile quantitativa, che cioè assume valori nel campo dei numeri reali.
• Ad altri fenomeni, qualitativi, può essere associata una variabile qualitativa o un indice (si tratta in ogni caso delle mutabili).
• Le mutabili possono essere variabili ordinali (es.: sufficiente, buono, discreto e ottimo).
• Oppure, possono essere variabili nominali (non ordinabili, es.: colori, sesso, nazionalità, etc.).

Rilevazione dei dati

Una volta individuato il fine dell’indagine statistica è necessario procedere alla rilevazione dei dati. Le fonti possono essere diverse, ad esempio:

• Indagini ad hoc e interviste (di norma complesse e costose).
• Fonti di dati certificate da enti pubblici o privati (es: fenomeni economici e demografici).
• Fonti dati pubblici: ISTAT, Banca d’Italia, OCSE, FMI, EUROSTAT, AMECO.

Software per elaborazione dati

R, STATA, GRETL, EViews.

Forme di presentazione dei dati statistici

I dati statistici possono essere presentati in varie forme tabellari:

• Dati trasversali o longitudinali (cross-sectional data), quando non c’è il riferimento temporale.
• Dati in serie storica (time-series), se una unità di osservazione viene osservata in diversi istanti o periodi di tempo.
• Dati panel (panel data), sono serie storiche di dati longitudinali (più osservazioni in più istanti di tempo). Se ogni osservazione viene osservata nei medesimi istanti o periodi di tempo, allora si parla di panel bilanciato.

Le principali tabelle per dati panel sono di due tipi:

• Wide table, che è indicato per dati longitudinali semplici, se viene osservata una sola variabile per ogni osservazione in più periodi di tempo.
• Long table, se per ogni unità di osservazione sono osservate più variabili per più periodi di tempo.

Trend

Il trend è l’andamento di fondo di una variabile nel tempo o nello spazio.

Trasformazione logaritmica

La trasformazione logaritmica offre alcuni vantaggi. Il logaritmo riduce l’eccessiva variabilità del fenomeno, riducendo maggiormente i valori particolarmente elevati. In tal modo si riduce la distorsione nei dati.