Riassunto di statistica, prof. Bollani

Appunti di statistica di Federico Vason

I dati assumono la veste di statistiche se sono il risultato dell’osservazione intenzionale di una molteplicità di casi individuali finalizzata alla conoscenza e alla comprensione del fenomeno oggetto di studio. La molteplicità dei casi individuali, l’insieme di riferimento, va sotto il nome di collettivo statistico. Si chiama unità statistica il caso individuale componente del collettivo statistico. Si chiama carattere ogni aspetto elementare oggetto di rilevazione nell’unità statistica del collettivo. Si chiamano modalità del carattere i diversi modi con cui questo si presenta nelle unità statistiche del collettivo.

I caratteri

• Qualitativi: hanno modalità costituite da espressioni verbali. Si parla di caratteri qualitativi rettilinei quando le modalità sono ordinabili (es: grado degli ufficiali); si parla di caratteri qualitativi sconnessi quando le modalità non sono ordinabili (es: professione dei lavoratori). Su questi caratteri non si può calcolare la media.
• Quantitativi: hanno modalità rappresentate da numeri. I caratteri quantitativi si dicono discreti se le loro modalità sono quantità distinte, preventivamente individuabili ed elencabili (es: numero di vani delle abitazioni); si dicono continui quando essi possono assumere tutti i valori di un certo intervallo di numeri reali (es: statura). Si può calcolare la media.

Distribuzione di frequenze

Si chiama distribuzione di frequenze lo schema con cui si associa a ciascuna modalità del carattere x la rispettiva frequenza. Per frequenza assoluta si intende il numero di volte che una data modalità si presenta nel collettivo statistico. Esistono anche le frequenze relative, che si ottengono facendo il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale di unità. Le frequenze relative hanno il pregio di consentire una valutazione rapida dell’importanza della singola modalità nell’ambito della distribuzione di frequenze. La somma delle frequenze relative deve dare come risultato 1. Se si moltiplicano per 100 le frequenze relative, si ottengono le frequenze percentuali. Quando le modalità del carattere sono ordinabili, ha senso definire le frequenze cumulate, che si ottengono sommando le frequenze assolute; e le frequenze relative cumulate, che si ottengono facendo il rapporto tra la frequenza cumulata e il numero totale di unità.

Raggruppamento in classi

Quando il carattere è quantitativo e il numero di osservazioni è elevato, la presentazione dei dati richiede necessariamente che le modalità contigue siano aggregate tramite la formazione di classi, cioè di intervalli numerici comprendenti più modalità. Es:

• Ampiezza della classe: differenza tra estremo destro ed estremo sinistro. Es: 42-41=1.
• Valore centrale della classe: somma degli estremi della classe/2. Es: (42+41)/2=41.5
• Densità di frequenza della classe: frequenza della classe/ampiezza della classe. Es: 5/1=5. Il calcolo della densità serve quando le classi non hanno la stessa ampiezza, e quindi si fanno dei grafici areali. L’area è proporzionale alla frequenza. L’area del rettangolo corrisponderà alla frequenza della classe; la base del rettangolo corrisponderà all’ampiezza della classe e la densità corrisponderà all’altezza del rettangolo del grafico. Nel caso invece che le ampiezze delle classi fossero tutte uguali, le altezze dei rettangoli sarebbero proporzionali alle frequenze.
• Classe modale: classe che ha la densità di frequenza maggiore.

Rappresentazione grafica

• Nel caso di distribuzioni di frequenze secondo un carattere quantitativo, la rappresentazione grafica naturale è il diagramma cartesiano: più precisamente, il diagramma ad aste quando il carattere è discreto e l’istogramma quando il carattere è continuo e diviso in intervalli.
• Nel caso di distribuzioni di frequenze secondo un carattere qualitativo, bisogna fare una distinzione tra serie sconnesse, storiche e territoriali. Per le prime sono consigliabili i grafici a nastri o a settori circolari; per le seconde sono consigliabili diagrammi cartesiani e grafici a nastri; per le terze la rappresentazione più indicata è il cartogramma.

Le medie

Le medie sono lo strumento con cui si sintetizzano i dati statistici. L’uso delle medie consente all’individuo di rappresentarsi mentalmente l’ordine di grandezza di un fenomeno, di effettuare comparazioni tra le manifestazioni di uno stesso fenomeno in tempi diversi.

Medie per distribuzioni aggregate

• Media aritmetica: rapporto tra la somma delle modalità e il loro totale.
• Media aritmetica ponderata: rapporto tra la somma delle modalità per la loro frequenza e la somma delle frequenze.
• Media armonica: è data dal rapporto tra N e la somma dei reciproci dei termini. I termini devono essere tutti maggiori di 0.
• Media geometrica: è data dalla radice ennesima del prodotto dei termini. Tutti i termini devono essere maggiori di 0.
• Media quadratica: è data dalla radice quadrata della media aritmetica dei quadrati d...