Sistemi lineari - Esercizi svolti quesiti vero falso

SISTEMI LINEARI

Esercitazione n^o1

• Quesiti Vero Falso
• Sistema determinato, indeterminato, impossibile

Complementi di Algebra

SISTEMI LINEARI

Esercitazione n^o1

• Quesiti Vero Falso
• Sistema determinato, indeterminato, impossibile

VERO O FALSO?

Il sistema

{ax - 5y = -14x + by = 2

1. è impossibile se a = 4 e b = 5.
2. è indeterminato se a = -2 e b = 10.
3. è determinato se a = 2 e b = 4.
4. ha soluzione (-2, -1) se a = 3 e b = -10.

Risposta: a)F; b)V; c)V; d)V

Calcoliamo i determinanti del sistema:

D= |a   -5||4   b | = ab + 20; D_x =|-1   -5||2   b | = 10 - b; D_y =|a   -1||4   2 | = 2a + 4.

• a. Se a = 4 e b = 5 si ha D = 5 • 4 + 20 = 40 ≠ 0. L’affermazione è falsa.
• b. Se a = -2 e b = 10 si ha D = -2 • 10 + 20 = 0, D_x = 0, D_y = 0. L’affermazione è vera.
• c. Se a = 2 e b = 4 si ha D ≠ 0. L’affermazione è vera.
• d. Se a = 3 e b = -10 si ha D = -10, D_x = 20, D_y = 10.

Quindix = ^D_x/_D = -2y = ^D_y/_D = -1. L’affermazione è vera.

Senza risolverli, indica quale dei seguenti sistemi è determinato, quale è indeterminato e quale è impossibile. Quando è determinato, trova la soluzione.

a.

{2x + 3y = 21/2x + 1/3y = 1/2

b.

{3x + 6y = 91/3x + 2/3y = 1

c.

{4x - 2y = 31/2x - 1/4y = 2

[a) determinato: (1; 0); b) indeterminato; c) impossibile]

a. I rapporti dei coefficienti di x e di y sono:

2/1 = 4; 3/1 = 9.1/2 1/3

Il sistema è determinato.Risolviamo il sistema con il metodo di sostituzione.

{2x + 3y = 2x = 1/2 - 3/2 y⟹ 2 - 4/3 y + 3y = 2x = 1 - 2/3 y⟹ 5/3 y = 0x = 1 - 2/3 y⟹ y = 0⟹ x = 1x = 1 - 2/3 . 0

La soluzione del sistema è (1;0).

b. I rapporti dei coefficienti del sistema sono:

3/1 = 9; 6/2 = 9; 9/3 = 9.

Pertanto il sistema è indeterminato.

c. I rapporti dei coefficienti del sistema sono:

4/1 = 8; -2/2 = 8; 3/2.

Il sistema è impossibile

3. a. Interpreta graficamente il sistema

⟨ { 2v = 3(x - 2)v = 1/2x + 3 ⟩

b. Deduci la soluzione dal grafico e conferma il risultato con un metodo algebrico.

a. Ricaviamo y in funzione di x:

y = ³/₂ (x - 2) y = - ¹/₂ x + 3

Determiniamo due punti per ciascuna delle due funzioni.

y = ³/₂ (x - 2)

y = - ¹/₂ x + 3

Le due rette si incontrano nel punto (3 ; ³/₂).