Sistemi aerospaziali 2 - prof. Michele Grassi - Appunti

Indice

1. Dinamica dei satelliti
2. Legge di Keplero
• Legge di gravitazione universale
3. Sistemi di riferimento
• Inerziale
• Latitudine/longitudine
• Perifocale/topocentrico
4. Trasformazione tra sistemi di riferimento
5. Equazione dei due corpi
6. Coniche
7. Forma della traiettoria
8. Velocità di fuga
9. Dimostrazione delle leggi di Keplero
10. Parametri orbitali
11. Equazioni di aggiornamento dell’anomalia vera o equazioni di Keplero
• Derivazione analitica
12. Misura del tempo
13. Trasferimenti orbitali
14. Trasferimenti orbitali (2)
15. Rendez-vous
16. Perturbazioni orbitali
• Resistenza aerodinamica
• Non sfericità della terra
17. Dinamica rotazionale
18. Moto libero di un corpo assial-simmetrico
19. Moto libero di un corpo non assial-simmetrico
20. Stabilità del satellite in presenza della coppia di gravità
21. Stabilità con gradiente di gravità su orbita ellittica kepleriana con a e c1

DINAMICA DEI SATELLITI

DINAMICA SATELLITI

• DINAMICA ORBITALE
• DINAMICA ROTAZIONALE O DI ASSETTO

La dinamica orbitale studia la traiettoria del centro di massa del satellite. (Traiettoria possono essere intorno ai pianeti o interplanetarie)

La dinamica rotazionale studia la rotazione attorno al centro di massa.

MOTO = TRASLAZIONE C.M. + ROTAZIONE ATTORNO C.M.

I moti si possono separare sotto opportune ipotesi.

Supponiamo che il satellite sia un corpo rigido (non vale per la stazione spaziale).

Si parte da due equazioni differenziali:

• EQUAZIONE TRAIETTORIA → VARIAZIONE TEMPORALE DI $ r = m \gamma $
• '' ROTAZIONE → VARIAZIONE TEMPORALE DI $ H = I \cdot \omega $

SISTEMI DI RIFERIMENTO:

1. INERZIALE - Riferimento fisso-geocentrico
2. PERIFOCALE - Asse che punta verso il fuoco
3. ORBITANTE - Due ass. sono nel piano orbitale
4. BODY - Solidale al corpo

Nel riferimento inerziale le equazioni sono differenziali non lineari e non sono risolubili con l'uso nel caso generale. Esistono dei casi particolari in cui la soluzione è ricavabile.

EQUAZIONE DELLA TRAIETTORIA

Considerate solo forze di gravità della terra sul satellite

Risulta che rota un'area alla terra orbitale fissa

CLASSIFICAZIONE DELLE ORBITE

• LEO - ORBITE BASSE (≤1000 km)
• MEO - ORBITE AD ALTEZZA INTERMEDIA (1000 km - 10000 km)
• HEO - ORBITE ALTE (10000 km - 36000 km)
• GEO - GEOSTAZIONARIE - 36000 km

Oltre GEO un tempo di percorrenza che è identico a quello di rotazione della terra. Se si trova all'equatore allora il satellite appare fermo sopra un punto della terra.

L'asse Y forma una terna eucovia per (a, z, i).

Gli equinozi sono punti e poi sono fissi quindi. Il sistema di

riferimento è inerziale. Asse Z = asse della Terra al polo nord

celeste. Asse X = una delle direz del modo assumendo

la direzione 1 all'eclittica accorata con la regola della mano

destra indiva sulla sfera celeste il polo dell'eclittica PE.

Se il riferimento non è inerziale ricche è soggetto alla precessione

degli equinozi cioè la linea dei nodi ruota verso est ed è causato

dal moto conico dell'asse di rotazione della Terra attorno all'asse

1 all'eclittica.

L'asse X quindi non è fisso. Il moto conico

si chiude in 26.000 anni con una rotazione

della linea dei nodi di ~50 arcosecondi/anno

¹/₃₆₀₀

La precessione è un fenomeno riassultivo preccio

della vita di un satellite. Il riferimento per quindi una decina

inerziale Se fenomeno causar dall'attrazione gravitazionale

L'oscillare con della di settare del conico perce mutazione

1 accoscendo

asse area uno riferimento recuso si utilizza la posizione degli

equinozi (solamente) del 01/01/2000 — 5.000 cioè si

fissa quindi un'epoca di riferimento.

Nel sistema di riferimento introdotto la

posizione di un satellite S è data da

L'ascensione retta (nel piano equatore celeste)

S = declinazione

C interessa sapere anche dove ė'' riessemmato il sateliite rispetto

alla Terra posizione che si ricerca commenando il moto assoluto

del satellite e la rotazione della Terra intorno al proprio asse

S. introduce il rif. Latitudine Longitudine (o rif. soldo

alla Terra)

RIFERIMENTO LATITUDINE - LONGITUDINE

40

Combinando le tre trasformazioni

[ u v w ] = M_ϕ M_θ [ x y z ] = M_ϕ [ x y z ]

M₃₄₃ = M_ψ M_θ ϕ = M_ψ M_ϕ M_ψ

MATrice di trasformazione

Affinché le tre rotazioni siano indipendenti deve essere

θ ≠ kπ, k = 1, 2,..., N.

Se θ = 0 l'asse z non cambia

Se θ = π l'asse z è anti-parallelo

all'asse x e la rotazione non è

indipendente.

Le rotazioni possibili sono 6:

343, 242, 121, 232, 323, 434

Le 6 sequenze sono del tutto equivalenti:

La matrice di trasforma

zione che ottengo è sempre la stessa.

Infatti assegnato un p.u.

mento di partenza e uno di arrivo esistono 6 sequenze possibili di

angolo di Eulero (con due rotazioni attorno allo stesso asse) → la

M matrice di movimento è la stessa ma cambia l'espressione

formale (anche se i valori numerici non cambiano).

343 è la più usata per descrivere il moto del teliche nel superfice

uramento mensuale

Altro 6 rotazioni sono possibili attorno a tre assi differenti:

3 2 1: γ = yaw (imbardata)

1 2 3: β = pitch (beccheggio)

1 3 2: δ = roll (rollio)

Queste 6 rotazioni vengono usate per descrivere il movimento orbitante

M₃₂₁ = M_ψβ = M_az M_φ M_θ

M_s = [ cβ sβ -sβ cβ 0 ] M_az = [ 1 0 0 cα sα -sa cα ] 0

Partiamo dall'equazione dei due corpi:

₁ + ₂ = 0 → ₂₂ - ₂ = 0

₂₂ + (₁ + ₁)² = ₂₂

₂² + ² = 0 → (₁ + ₁)² = ²

₁+² = ²

₂² = -₂

energia totale specifica

= ₂²

₃ = -₂ +

Possiamo porre come riferimento per l'energia potenziale:

1) ₃ = 0 per = +∞ → = 0 → = ²

2) ₂ = 0 per ₂

4) esce da 0 verso infinito (attraverso il campo eccentrico)

2) esce da quello negativo al 0 (attraverso il campo gravitato)

= ² - ₂

(reciproco) ₃ e maggiore e

e minore rispetto al punto A

Siccome e e uguale deve essere e la seconda

Legge di Keplero e verificata

Dimostriamo che _b e costante

₂₂ = 0 → ₂₂ + ²

₂² = 0 ddt = 0 = ²

in effetti

²

ddt ( e = ( +

² (la definizione di)

Partendo dall'equazione in coordinate polari

r = _p/^{1 + e cos θ} → _{rp - f e}/^{1 + e}

P_F1 + P_F2 = 2a → r_p + 2a = 2a → a = _{rp + ra}/²

distanza media

r_p + r_a = 2a → _p/^{1 + e} + _p/^{1 - e} = 2a → p((1 - e) + p(1 + e)) = 2a(1 - e²)

Relazione che lega il semiasse maggiore

a = c + _{c rp = c + p (1 - e²)}/^{1 + e} = c + a(1 - e²)_{c = ae}

È valida per tutte le coniche tranne la parabola per cui non è el definito a.

Iperbole

Assegnati F₁ e F₂: a > 0 tale che F₁F₂ > 2a si scelgono x e il

QF₁ - QF₂ = 2a (l'arco del lobo destro)

Sul lato di destra QF₁ > QF₂ sempre si ha

)

Dai due rami uno solo ha fisica

mente senso (quello che si trova

più vicino al pianeta)

(teoria F₁F₂ > 2a e quindi c > a)

_{QF1 - QF2 = 2a}

Con gli stessi procedimenti precedenti otteniamo:

_x²/^{a2 - y2/b2 = 1 con b2 = c2 - a2}

c = a + _{p e}/^{1 + e} = ae = a + _p/^{1 + e} → p = a(e² - 1)