Sistema di Vettori e Sistema di Generatori (Teoria + Esempi e Dimostrazioni)

2/6/03/2020

Vettori Proporzionali

Due vettori V₁ e V₂ ∈ V si dicono proporzionali <=> ∃k∈K: µ=k∙γ

Esempi

In K³ i vettori (3, -1, 0) e (6, -2, 0) sono proporzionali.In K⁴ i vettori (1, 1, -1, 4) e (-2, -2, 2, -8) sono proporzionali.In K³ i vettori (3, 0, 2) e (3, 4, 3) non sono proporzionali poiché moltiplicando il 1° vettore per un qualunque k∈K non si ottiene il 2° vettore e viceversa.

Ogni sistema di vettori contenente 2 vettori proporzionali è linearmente dipendente

Dim. S = {V₁, V₂, ..., Vₙ} con due vettori proporzionali Vᵢ, Vⱼ => S = {V₁, V₂, ..., Vᵢ-₁, Vᵢ+₁, ..., Vⱼ, Vⱼ+₁, ..., Vₙ} [Vᵢ = k∙Vⱼ] Consideriamo la seguente combinazione lineare: 0∙V₁ + 0∙V₂ + ... + 0∙Vᵢ-₁ + 0∙Vᵢ+₁ + ... + 0∙Vⱼ-₁ + (k)∙Vⱼ + 0∙Vⱼ+₁ + ... + 0∙Vₙ = Vᵢ - k∙Vⱼ = 0 Poiché è espressione della comb. lineare non con tutti mulli, S è lin. dipendente.

Un sistema formato da due vettori S = {V₁, V₂} è linearmente dipendente<=> V₁ e V₂ sono proporzionali

Dim. (=>) Supponiamo S linearmente dipendente => combinazione lineare: a₁∙V₁ + a₂∙V₂ = 0 ; aᵢ≠0 ◯ Supponiamo a₂≠0; dunque ∃ a₁ : aᵢ∈K : a₁ᵢ = A ◯o

Possiamo trasporre il vettore 2₁V₂ dal 1° al 2° membro sommando ad ambo i membri -2₁V₂ ∈ V:

a₁V₁ - a₂V₂ = 0

Moltiplicando ambo i membri per a₁/-A ; si ottiene a₂/-A ovvero V₁ = -a₂/a₁ V₂ => V₁ e V₂ sono proporzionali ◯o

(=<) Ovvia.

Vettori Proporzionali

Due vettori _u, _v ∈ V si dicono proporzionali ↔ ∃ k ∈ K, u = k·v

Esempi

• In K¹ i vettori (3, -1, 6) e (6, -2, 0) sono proporzionali.
• In K¹ i vettori (-1, 4, 2) e (-2, 2, 4) sono proporzionali.
• In K¹ i vettori (3, 0, 0) e (3, 3, -3) non sono proporzionali perché moltiplicando il 1º vettore per un qualunque k ∈ K non si ottiene il 2º vettore e viceversa.

Ogni sistema di vettori contenente 2 vettori proporzionali è linearmente dipendente

Dim.

• S = {_vi, _vj} con due vettori proporzionali _vi, _vj
• ⇒ S = {_vi, _vj} = {_vj, a₁ · _vj ,…,a_n · _vj}, a₁ = ±1, …,a_n = ±1, _vi = k·_vj

Consideriamo la seguente combinazione lineare:

a·_vi + 0 ·_vj + (k) ·_vj + 0 = 0

a·_vi - k ·_vj = 0

perché coefficiente della comb. lineare non sono tutti nulli. S è lin. dipendente.

Un sistema formato da due vettori S = {_v1, _v2} è linearmente dipendente ⇔ i vettori sono proporzionali

Dim. (⇒): Supponiamo S linearmente dipendente ⇒ combinazione lineare:

a_{1 v1} + a_{2 v2} = 0 (1) a₁ ≠ 0 (*)

Supponiamo a₁ ≠ 0, dunque ∃ a₁ ∈ K, a₁ · a₁ · a = A. Da I uguaglianza

(*) possiamo trasporre il vettore -a₂/_v2 dal 1º al 2º membro sommando ad ambi i membri senza -a₁ ∈ V.

a_{1 v1} = a_{2 v2}

Moltiplicando ambi i membri per a^-1₁ si ottiene a^-1₁ · a_{2 v2} = -a^-1_{1 v1}

(⇐): Ovvia.

Im K[x] 2(x⁵x) + 3(x + x⁴) = 2∙2x.1x³ + 3x⁴ + 2 ∙ ∆ x¹ + 3x¹

Im k^v:

A = (1 0 0) (2 ∆ 1 3)

a (1 0 0) + b (0 ∆ 1) (0 2 0) (0 0 1)

(a ∆ 0) = (0 0 0) da cui:a+b = 0b = 0 ⇒ a-b = 0a - 3b = 0

quindi il sistema A ∆ è linearemente indipendente.

Si dice invece linearemente dipendente o anche legato se es una combinazione lineare di vettori di A uguale al vettore nulla con coefficienti non tutti nullo:

a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = 0 ai ≠ 0

ESESMPIO

Im k² : A = {(1 0 2), (0 λ 1), (1 2 0)}}

a (1, 0, 2) + b (0, λ, 1) + c (1, 2, 0) = (0, 0, 0)

(a + c, bλ + 2c, 2a + b) = (0, 0, 0)

a+c = 0

bλ + 2c = 0 ⇒ bλ + 2c = 0

2a-b = 0

Sistema ammette soluzioni non nulle

c = 1 ⇒ a = -1 b₂ = -1

∆ è linearemente dipendente.

Inoltre OGNI SISTEMA DI VETORI CONTENENTE IL VETTORE NULLO È LINEARMENTE DIPENDENTE.

Sia v_i 0 ⇒ S