Sistema di Vettori e Sistema di Generatori (Teoria + Esempi e Dimostrazioni)

Vettori Proporzionali

Due vettori _u, _v ∈ V si dicono proporzionali ⇔ ∃ k ∈ ℝ u = k·v

Esempi

• i vettori (3, -1, 0) e (6, -2, 0) sono proporzionali.
• i vettori (2, 1) e (2/4, 1/2) sono proporzionali.
• i vettori (3, 0) e (3, 1) non sono proporzionali perché non esiste alcun λ vettore per un qualunque k ∈ ℝ ma ¬ esiste k ² vettore 2 e viceversa.

Ogni sistema di vettori contenente 2 vettori proporzionali è linearmente dipendente.

dim. S ⊆ V, v_i, v_j con due vettori proporzionali v_i, v_j

⇒ S = [ v₁, v₂, ... v_i, v_j, ... v_n ]∃ 1 v_i v_j = λ₁v_i + ... + λ_nv_n = 0v_i = k · v_j

Consideriamo la seguente combinazione lineare:0 · v_i + 0 · v₁ + A · v_i + 0 · v_j + (k) · v_j + 0 · v₁ + ... + 0 · v_n - v_i - k · v_j = 0

poiché i coefficienti della comb. lineare non sono tutti nulli, S è lin dipendente.

Un sistema formato da due vettori S = { v₁, v₂ }è linearmente dipendente ↔ v₁ e v₂sono proporzionali

dim. (= ⇒ ). Supponiamo S linearmente dipendente ⇒ combinazione lineare:a₁ v₁ + a₂ v₂ = 0, a₁ ≠ 0,a₂ ≠ 0 (1)

Supponiamo a₂ ≠ 0, dunque a₁ ≤ κ; a₁; a₁ = A. Dall'equazione

○ possiamo trasportare il vettore a₂ v₂ dal 1^o al 2^o membro sommando-a₂, v₂ ∈ V.

Moltiplicando ambo i membri per a^-1, si ottiene a₁' = - a₁' a₂ v₂ anche v₁ = a_-1 v₁ = v₁ + v₂ sono proporzionali.

(↔) Ovvio.

2(1-x)+3(1+x⁴)=2-2x+3x+3x⁴=2-2x+1+3x⁴

Im K xⁱ

Im K xⁱ=

A=(² ₃) (₁ ³)

(^a₁) + (^b₃) = (⁰₀)

(^a₂) (^b₃) (⁰₀)

da cui

( ^a _b ) = ( ⁰ ₀ ) = > a-b=0

a=0 b=0

… quindi il sistema A èlinearmente indipendente

Si dice invece linearmente dipendente e anche legato se è unacombinazione lineare dei vettoriali di A uguale al vettore nullo concoefficienti non tutti nulli:

a_iv_i+a₂v₂...+a_nv_n=0

… da i

a_i≠0

esempio

Im K¹ A=(¹₀ ¹_-1) (¹₂ ⁰₁)

a_(1,0,2)+b_(0,1,-1)+c_(1,2,0)=(0,0,0)

(a+c, b+2c, 2a-b)=(0,0,0)

{ a+c=0 {a=0b+2c=0 => { a-c   2a-b=0 {b=-2c   

e il sistema ammette soluzioni non nulle

(c=1 => {a=-1b=-2

Δ e linearmente dipendente

Inoltre ogni sistema di vettori contenenti il vettore nullo è linearmente dipendente.

dim.. S={ v₁, v₂, ... , v_n } contenente il vettore nullo.Sia v_i: 0 => S = { v₁, ... 0, ... , v_n } Consideriamo la combinazione lineare:

0 = v₁ + ·0+ v₂ + ·0 + ·o + v_i + ... o

=0 v_t +...+ 0 v_z + ...

per la legge di annullamento

perché i coefficienti non sono tutti nulli ⇒ S è linearmente dipendente.

Esempio

In _k⁴ consideriamo l'insieme

Poiché (0,0,0,0) ∈ U si ha che U NON è un sottospazio vettoriale di k⁴.

Esempio

In k[X] consideriamo l'insieme

Un m è stabile rispetto all'operazione di addizione, infatti:

• ∀p(x), q(x) ∈ U_m si ha g_r(p(x)) ≤ m, g_r(q(x)) ≤ m, inoltre g_r(p(x)+q(x)) ≤ m, dunque p(x)+q(x) ∈ U_m.

Un m è stabile rispetto al prodotto esterno, infatti:

• ∀k ∈ K, ∀p(x) ∈ U_m si ha g_r(k.p(x)) ≤ m, inoltre g_r(k.p(x)) ≤ m, dunque k.p(x) ∈ U_m.

U_m è un sottospazio vettoriale di K[X].

Esempio

In ℝ² consideriamo l'insieme

Poiché (0,0) ∈ U si ha che U ≠ Ø.

U non è stabile rispetto all'operazione di addizione, infatti,

• (1,1) ∈ U, (2,2) ∈ U ma (1,1)+(2,2) = (3,5) ∉ U.

Pertanto U non è uno sottospazio vettoriale di ℝ².

Esempio

In ℝ^2x2 consideriamo l'insieme

Osserviamo che

• (0 0)(0 0) ∈ U, quindi U ≠ Ø.

U è stabile rispetto all'operazione di addizione, infatti:

• (a b) (a' b') (a+a' b+b') ∈ U se a, a' ≥ 0 inoltre
• (c d), (c' d') ∈ U si ha c+c', d+d'

Un m è stabile rispetto al prodotto esterno, infatti:

• −(1 0) ∉ U

ESEMPIO

In \( V_3 \) consideriamo il sistema di generatori \( A = \{v_3, v_2, v_1\} \) dove \( v_1, v_2 \) nei sono vettori delle due due ortogonali.

\( v_1 \)

\( - v_2 \)

Il sistema dei vettori A è linearmente indipendente, infatti non implica alcuna dipendenza da qualcuno almeno uno dei vettori di A, ad esempio se il vettore \( v_l \) si scrivesse come combinazione lineare degli rimanenti vettori di A, ovvero:

\( v_l = a_2v_2 + a_3v_3 \)

\( a_1, a_2 \in \mathbb{R} \)

dunque: il vettore \( v_1 \) apparire sulle \(\iff\) \( v_e \) al primo caso di viene al fine &invisib; disegno, poiché \( v_l \) è ortogonale ad persone.

A è dunque una base dello spazio verniciato \( V_3 \)

ESEMPIO

In \( K[x] \) consideriamo il sistema di generatori (infinito)

\( A = \{ x^i | i \in \mathbb{N}_0 \} = \{ x^0, x^1, x^2, \dots \} \)

DEFINIZIONE:

Su l'inno spazio vernicato su un campo K. Un sistema infinito di vettori si dice linearmente indipendente se ogni sua parte finita è linearmente indipendente

Consideriamo una generica parte finita di A: \(\{ x^{k_1}, x^{k_2}, \dots, x^{k_n} \}\) osde \( k_1, k_2, \dots , k_n \in \mathbb{N} \). Verifichiamo che questa parte finita è linealmente indipendente.

\( a_1 x^{k_1} + a_2 x^{k_2} + \dots + a_n x^{k_n} = 0 \)

Dunque ogni parte finid del A è linearmente indipendente, pertanto A è una base di \( K[x] \)

Sia \( S = \{ v_l, \dots, v_n \} \) un sistema di generatori di uno spazio verniciato V {usuario} finitamente generato.

SE 1, UN VETTORE VE è LA COMBINAZIONE LINEARE DEI RIMANENTI VETTORI DI S. ALLORA S\{V_E\} è UN SISTEMA DI GENERATORI DI V

\( v = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{_i}\) essendo S è un sistema di generatori di V si ha:

\( V = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0 \)

\( v = b_1 v_1 + b_2 v_2 + \dots + b_n v_n = 0 \)

\( \Rightarrow v_l = v_2 + a_1 v_1 + \dots a_n v_n = 0 \)

(rompendo exitin) già per: