Serie funzioni - analisi matematica 2 - Appunti

Serie di Funzioni

Sia {f_k} tale che f_k : I → ℝ con I ⊆ ℝ, la successione di funzioni reali.

Def.

Si definisce successione delle somme parziali {S_m} la somma della successione {f_k} da f₁ a f_m.

S_m = Σ_k=1^m f_k = f₁ + f₂ + ... + f_m

Def.

Si definisce serie di funzioni il limite per m → ∞ della successione delle somme parziali:

lim_m→∞ S_m = lim_m→∞ Σ_k=1^m f_k = f₁ + f₂ + ... + f_m + ...

La serie di funzioni Σ_k=1^∞ f_k si dice che converge puntualmente in I ⊆ ℝ se la successione delle somme parziali {S_k}_k conv. puntualmente in I,

ovvero se la serie numerica Σ_k=1^∞ f_k(x) converge ∀ x ∈ I fissato.

Dunque, sia f somma della serie, si ha: Σ_k=1^∞ f_k(x) = f(x) ∀ x ∈ I

La serie di funzioni Σ_k=1^∞ f_k si dice che converge uniformemente in I

se la successione delle somme parziali {S_k}_k conv. uniform. in I quindi:

∀ ε > 0, ∃ J ∈ ℕ | S_k(x) - f(x) | < ε ∀ x ∈ I ∀ k > ε

ovvero se,

lim_k→∞ (sup_x∈I | S_k(x) - f(x) |) = lim_k→∞ sup_x∈I Σ_m=k+1^∞ f_m(x) = 0

Dato che: S_k = f₁ + f₂ + ... + f_k (f_k+1 + ... per k → ∞

e - f(x) = - (f₁ - f₂ - ... - f_k)

Rimane solo il resto, → (da f_k+1, in poi)

Serie di Funzioni

Sia {f_k(x)} tale che f_k: I ⟶ ℝ con I⊆ℝ, la successioni di funzioni reali.

Def.

Si definisce successione delle somme parziali {S_n} la somma della successione {f_k} da 0 a f_n.

S_m = ∑_k=1^m f_k = f₁ + f₂ + ... + f_m

Def.

Si definisce serie di funzioni il limite per m ⟶ ∞ della successione delle somme parziali:

lim_m⟶∞ S_m = lim_m⟶∞ ∑_k=1^m f_k = f₁ + f₂ + f₃ + ... + f_n + ...

◦ La serie di funzioni ∑_k=1^∞ f_k si dice che converge puntualmente in I⊆ℝ se la successione delle somme parziali {S_k}_k conv. puntualmente in I,

ovvero se la serie numerica ∑_k=1^∞ f_k(x) converge ∀ x ∈ I fissato.

Dunque, sia f somma della serie, si ha: ∑_k=1^∞ f_k(x) = f(x) ∀ x ∈ I

◦ La serie di funzioni ∑_k=1^∞ f_k si dice che converge uniformemente in I⊆ℝ se la successione delle somme parziali {S_k}_k conv. uniform. in I, quindi:

∀ ε > 0, ∃ J ∈ ℕ, |S_K(x) - f(x)| < ε ∀ x ∈ I, ∀ K > J_ε

Ovvero se,

lim_K⟶∞ (sup_x∈I |S_K(x) - f(x)|) = 0

lim_K⟶∞ sup_x∈I ∑_m=n+1^∞ f_m(x) = 0

Dato che: S_K = f₁ + f₂ + ... + f_m + f_K + ... per K ⟶ ∞

e: f(x) = f₁ + f₂ - ... - f_i - f_K

Rimane solo il resto... (da T_k+1 in poi)

La serie di funzioni si dice che converge assolutamente (puntualmente o uniformamente) in I se la serie: conv. punt. o unif. in I.

La serie di funzioni si dice che converge totalmente in I se la serie numerica converge in I.

Proposizione (Criterio di Weierstrass):

Hp.: Se la serie di funz. converge totalmente in I, ossia

se converge e .

[Successione numerica a valori non negativi]

Th.: Allora la serie di funz. converge uniformemente in I.

Proposizione:

Se la serie di funz. conv. totalmente → converge anche unif. e assolutamente.

Osservazione:

Serie Numeriche:

• Serie Armonica: diverge
• Serie Armonica Generalizzata:
• α ≤ 1 diverge
• α > 1 converge

Ex:

Studiare tutti i tipi di convergenza di:

• Considero prima di tutto la conv. totale. Cero M_m:

Nota: x² > 30 ∀ x ∈ ℝ

• Posto M_m = ¹⁄_m⁵ ∈ ℝ₊ verifico se ∑_m=1^{+∞ 1}⁄_m⁵ (se converge):

• (vd. serie armonica g.e.n.) La serie numerica converge
• Dato che: | f_m(x) | ≤ M_m ∀ x ∈ ℝ ∀ m ∈ ℕ ∑_m=1^{+∞ 1}⁄_m⁵ = ∑_m=1^+∞ M_m converge

⇒ La serie di funz. conv. totalmente su ℝ_x ⇒ anche assolut. puntuali e unif.

Ex:

Studiare la serie di funzioni:

• Nota: è un tipo di serie telescopica tale che ∑_m=0^m &om = A_m - A_m+1

oppure: a_n = A_m+1 - A_m ovvero la differenza di due termini consecutivi

Si semplifica ⇒ Studio la successione delle somme parziali m-esime:

S_m(x) = ∑_k=2^m f_k(x) = ∑_k=2^m (arctg2kx - arctg2(k-1)x) =

= arctg2²x - arctgx + arctg2x - arctgx + π/4 arctg mx + arctg ((m-1)x) =

Dunque: = arctg mx - S_m(x)

• Studio la conv. uniforme: le f_n sono continue su ℝ_x ∀ x ∈ ℕ ⇒ δ_x sono continue su ℝ_x ∀ x

Ma f(x) non è continua su ℝ_x per il teorema della continuità del limite se ∑ f_m

Convergese unif. si avrebbe f(x) continua per ipotesi(!)

⇒ La serie non converge uniformemente ad f su ℝ_x

⇒ La serie non converge totalmente ad f su ℝ_x

Studio della Conv. Puntuale:

f(x) = lim_M→+∞ ∑_m=1^M arctg mx = { 0 se x=00 se x≠0π/2 se x0 0 se x=0 }

∑_m|f_m(x)| = ∑_-∞⁰ -f(x) = | ∑_-∞⁰ f(-x) | = f(-x) = -f(x) = -π/2

⇒ ∑ ( arctg mx = arctg (m-x)x ) Conv. totalmente ad f = { π/2 se x≠00 se x = -0 }

Teoremi:

Indicano sotto quali ipotesi le proprietà di f_k si trasmettono al limite f

Teorema di Continuità della Somma:

Hp1: Sia {f_k}_k una successione di funz. continue f_k: I → ℝ tale che la serie:

∑ f_k converge uniformemente in I ad f

Th1: Allora f è una funzione continua

Teorema di Integrazione per Serie:

Hp1: Sia {f_k}_k una successione di funz. continue f_k: I → ℝ con I=[a,b] insieme compatto tale che la serie: ∑^∞_k=1 f_k → conv. uniformemente in I ad f. Allora:

∫_a^b f_k(x) dx = ∫_a^b ( ∑^∞_k=1 f_k(x)) dx = ∫_a^b f(x) dx

Teorema di Derivazione per Serie:

Hp1: Sia {f_k}_k una successione di funz. derivabili con derivata continua in I=[a,b] - &{f_k ∈ e^t(I)}, f_k: I → ℝ, tale che:

• ∑_k f_k converge puntualmente
• ∑_k f'_k converge uniformemente

Th1: Allora f è derivabile con derivata continua in I - &{f ∈ e^t(I)} e vale:

∑_k f_k(x) = ( ∑_k f_k(x) )' = f'(x)

Ex

Data la serie Σ _m=1^∞ (x^2m+1)/(m¹2^m) calcolare l'integrale della somma in I = [-√2, √2]

ovvero: ∫_-√2^√2 Σ_m=1^∞ (x^2m+1)/(m¹2^m) dx

▸ Verifichiamo dunque le ipotesi di integrazione per serie:

1. Le f_n sono continue su I? SI
2. Σ f_n conv. uniformemente su I? Dunque controllo la conv. totale che garantisce la conv. uniforme. Cerco dunque M_k:

|x^2m+1/(m¹2^m)| ≤ (√2)^2m+1/(m¹2^m) = (√2)^m(√2)²/(m¹)

Dato che I e' limitato e la f^' crescente, ho il Max in x = √2

Σ M_k = Σ(√2)/(k²) = Σ/k² converge ⇒ Σ f_n conv. totalmente su I ⇒ conv. uniform.

▸ Dunque applico il teorema per cui:

∫_-√2^√2 Σ_m=1^∞ (x^2m+1)/(m¹2^m) dx = Σ_m=1^∞ ∫_-√2^√2 (x^2m+1)/(m¹2^m) dx = Σ_m=1^∞ (x^2m+2)/(2m+2) |_{-√2, √2}

-Σ_m=1^∞ 1/(m¹) (2^m+2)/(2^m+2) (2^m+2)/(2^m+2) Σ_m=1^∞ 0 = 0

Ex: Determinare l'insieme di convergenza puntuale di: ∑_n=1^∞ (1 + e^-n₂x/sup>)

1. Il limite è continuo? Derivabile?
2. Se sì, calcolare f'(π/2).

Sia x₀ ∈ ℝ fissato, per Taylor si ha che: dato che e^t = 1 + t, ∀t ∈ [-1,1]

e^-n₂x/m2 ≈ 1 - n₂x₀/m₂ → f_n(x₀) = 1-e^{-n₂x₀/n₂} ≈ 1 - (1 - n₂x₀/m₂) = n₂x₀/m₂

• La serie numerica ∑ n₂x₀/m₂ converge
• Per il Teorema del confronto asintotico delle serie numeriche si ha che: ∑_m=1^∞ (1-e^-n₂x₀/m2) converge puntualmente, ∀x₀ ∈ ℝ

2. Controllo le ipotesi del terzo teorema:

1. F_n derivabile ∀n ∈ ℕ √ Sì (è un esponenziale)
2. ∑ f_m conv. puntualmente su ℝ?Dedotto sopra
3. ∑ f_m conv. uniformemente su ℝ

f_n(x) = x₂/n₂ x cos x ∈ [-π/4, π/4[ = {e^-n₂x/m2 - M_n|f'_m(x)| ≤ 2/m = M_m}

• Dato che ∑ M_m = ∑ 2/m₂ = ∞ → la serie conv. totalmente =⇒ conv. uniform.
• Dato che f ∈ derivabile =⇒ f' ∈ continua

1. f'_n = ∑_m=1^∞ f'_m → f' (π/2) = ∑_m=1^∞ f' (π/2) - ∑_m 2m₂ ∑cos π/2/m² e^-n₂x₀/m2 = m₂ = 0 = ∑_m 0 = 0