Serie funzioni - analisi matematica 2 - Appunti

Serie di Funzioni

Sia _{fk} tale che f_k : I → ℝ, con I ⊆ ℝ, la successione di funzioni reali.

Def.

Si definisce successione delle somme parziali {S_n} la somma della

successione {f_k} da 0 fino ad f_n,

S_n = Σ_k=1ⁿ f_k = f₁+f₂+...+f_n.

Def.

Si definisce serie di funzioni il limite per m → ∞ della successione

delle somme parziali: lim_{m → ∞} S_m = lim_{m → ∞} Σ_k=1^m f_k= f₁+f₂+ ... + f_n + ....

• La serie di funzioni Σ_k=1^∞ f_k si dice che converge puntualmente in I ⫕ se la successione delle somme parziali {S_n}_n conv. puntul. in I,

ovvero se la serie numerica Σ_k=1^∞ f_k(x) converge ∀ x ∈ I fisato.

Dunque, sia f somma della serie, si ha:

f(x) = Σ_k=1^∞ f_k(x) ∀ x ∈ I

• La serie di funzioni Σ_k=1^∞ f_k si dice che converge uniformamente in I

se la successione delle somme parziali {S_n}⫕ conv. uniform. in I quindi

∀ ε > 0, ∃ s ∈ ℕ | S_n(x) - f(x)| < ε ∀ x ∈ I ∀> K.

Ovvero se:

lim_{k → ∞} (sup_{x ∈ I} |S_k(x) - f(x)|) = lim_{k → ∞ supx ∈ X}| Σ_m=k+1^∞ f_n(x)| = 0

Dato che: S_k = f₁ + f₂ + ... + f_k (f_k+1 + ...), per k → ∞

e - f(x) = f₂ + f₂ + ... + f_k

Rimane solo il resto... (Da f_k+1 in poi).

La serie di funzioni ∑_k=1^∞ f_k si dice che converge assolutamente (funzionalmente o uniformemente) in I se la serie: ∑_k=1^∞ |f_k| conv. punt. o unif. in I

La serie di funzioni ∑_k=1^∞ f_k si dice che converge totalmente in I se la serie numerica ∑_k=1^∞ sup_x∈I |f_k(x)|= ∑_k=1^∞ M_k converge in I.

Proposizione (Criterio di Weierstrass):

Hp. Se la serie di funz. ∑_k=1^∞ f_k converge totalmente in I ossia Se ∃{M_k} ∞ _k=1 ⊆ R⁺ ∑_k=1^∞ M_k < +∞ converge e |f_n(x)| ≤ M_n, ∀ x∈I, ∀ n∈N (successione numerica a valori non negativi)

Th. Allora la serie di funz. ∑_k=1^∞ f_k converge uniformemente in I.

Proposizione:

Se la serie di funz. conv. totalmente ⇒ converge anche unif. e assolutamente.

Osservazione:

Conv. totale ⇒ conv. assoluta puntuale ⇒ conv. puntuale conv. assoluta uniforme ⇒ conv. uniforme

Serie Numeriche:

• Serie Armonica ∑_k=1^∞1/k diverge
• Serie Armonica Generalizzata ∑_k=1^∞1/k^α

EX

Data la serie _n=1^{∞ x2m+1}/_{m² n^2m} calcolare l'integrale della somma in I = [-√2, √2]

Ovvero ∫_-√2^{√2 x2m+1}/_m² ∑_n=1^∞ (1/n^2m)dx

Verifichiamo dunque le ipotesi di integrazione per serie.

1. Le f_m sono continue su I? Sì
2. ∑ f_m conv. uniformemente su I? Dunque confronto la conv. totale che CI garantisce la conv. uniforme, cerco dunque M_k:

sup_xε[-A,A] ^x2m+1/_{m² (n^2m)} = (√2)^2m+1/m² n^2m < √2/m²

• Dato che I è limitato e la f_m è crescente, ho il max in x=√2
• ∑_k M_k = ∑_k √2/k² = ∑_k 1/k² converge ⟹ ∑_m f_m conv. totalmente su I ⟹ conv. uniform.

Dunque applico il teorema, per cui:

∫-√2√2 ∑m=1∞ x2m+1/m2 n2m dx = ∑m=1∞ ∫-√2√2 x2m+1/m2 n2m dx = ∑m=1∞ 1/m2 ∫-√2√2 x2m+1 dx = ∑m=1∞ 1/m2 2/2m+2 x2m+2| -√2√2 =

= ∑_m=1^{∞ 1}/_m² (^{2 (√2)2m+2}/_2m+2 = ^2(2)m+1/_2(2m+2) = ∑_m=1^∞0 = 0