serie di potenze

Vediamo subito che si annulla se e solo se  x=k  perché ...

ta essere di max ass ... per  f_n(x)  mentre  x=k  è di min ass.

f_n(x) =             

Th. CONTINUITÀ SOMMA: La somma di funzioni continue, converge uniformemente è anch'essa continua.

Th. INTEGRAZIONE PER SERIE: Sia  f_n  una successione di funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [a,b] e supponiamo che  ∑ _n=1 f  _n  converga uniformemente in [a,b]. Allora

∫_a^b ∑ _n=1 f_n(x)d_x =  ∑ _n=1∫_a^b f_n(x)d_x

Th. DERIVAZIONE PER LE SERIE: Data una succ. di funzioni  f_n  deriv...

con derivata continua in [a,b]. Se la serie  ∑_n=1 f_n(x)  converge in [a,b] a f e è derivabile con derivata continua in [a,b], quindi  ∑ _n=1  f '_n(x)  converge unif. in [a,b] ed ∃  y  in  x₀ ⊆ [a,b] /  ∑_n=0 f_n(x)  converge ;

1.  ∑ _n=1 f_n(x)  converge unif. in [a,b]
2.  ∑  f_n(x) " " " " " "
3.  ∑_n=0 ( x₀ ⊆ [a,b])   /  ∑ f_n(x)

Allora la serie  ∑_n=1 f_n(x)  con.unif in (a,b) e si ha

(∑ _n=1 f_n (x))  =  ∑_n=1 f_n' (x)

SERIE DI POTENZE

Sia  a_n  una successione di numeri i R assegnati detti coefficienti

della serie

 a_o + a₁x + a₂x² + ... + a_kx^k ...

Vediamo subito che si annulla se e solo se x=k

f₁(x) = 1/a

f_n(x) = f_n(k) = -1/g_k³

1/g_k³ ≤ f₁(x) ≤ 1/g_k³

Th. Continuità Somma:

La somma di funzioni continue converg. uniformemente è anch'essa continua.

Th. Integrazione per Serie:

Sia f_n una successione di funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e supponiamo che ^∞∑_n=1 f_n converga uniformemente in [a, b]. Allora:

∫_a^b ∑ f_n(x) dx = ∑_n=1∫_a^b f_n(x) dx

Th. Derivazione per le Serie:

Data una succ. di funzioni f_n(x) derivata con derivata continua in [a, b]. Se la serie ^∞∑_n=1 f_n converge in [a, b] a f è derivabile con derivata continua in [a, b], quindi ∑ f_n(x) converge unif. in [a, b] ed ∃ un punto x₀ ∈ [a, b] ∃ ^∞∑_n=0 f_n(x) converge:

• ∑ f_n(x) converge unif. in [a, b]
• ∑ f_n(x) " "
• x₀ ∈ [a, b] ∃ ^∞∑_n=0 f_n(x) converge

⇒ la serie ^∞∑_n=1 f_n(x) conv.in [a, b] e si ha che

(∑_n=1 f_n(x)) = ∑_n=1 f'_n(x)

Serie di Potenze

Sia {a_n} una successione di numeri e IR assegnati detti coefficienti della serie

a₀ + a₁x¹ + a₂x² + ... + a_kx^k, ...

Per una serie di potenze possono verificarsi Ⅲ "casi":

1. La serie converge solo per x = 0 in un punto x₀.
2. " "     " "                     ∀ x ∈ ℝ
3. ∃  r numero ∈ ℝ : ∀ x > r  ⇒   La serie converge se |x| < r   e non con-verge se |x| > r
   • Se la serie ∑_n a_n xⁿ converge in ξ ≠ 0 allora converge totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato nell'intervallo (-|ξ|, |ξ|)

   Dim. Poiché la serie ∑_n a_n xⁿ converge in ξ si ha che ∑_n a_n ξⁿ ∈ ℝ e per la con dizione necessaria per la convergenza della serie {ξ} deve risultare che  lim_n→∞ a_n ξⁿ = 0. Siccome ogni succ. conv. è anche limitata ∃M >0: |a_nξⁿ| ≤ M ∀n

Si chiama "raggio di convergenza" della serie di potenze, l'estremo sup. ρ ∈ℝ_0,+∞ dell'insieme X dei numeri reali x nei quali essa converge, cioè ρ = sup X, X = { x ∈ ℝ : ∑_n=0 a_n xⁿ converge}

1. il raggio di convergenza ρ è zero ↔ la serie di potenze converge solo per x = 0.
2. ρ = +∞ ↔ la serie converge ∀x ∈ℝ.

Th. Abel : se una serie di potenze converge in uno degli estremi dell'intervallo di convergenza (chiamiamolo x̄), allora essa conv. unif. in ogni intervallo [a,b] avente un estremo coincidente con x̄ e l'altro interno all'interno dell'intervallo di convergenza. Se la serie converge per x = x₀ allora la se rie conv. unif. in tutto l'intervallo di convergenza (sia per x: che per x̄ ) < ρ, ρ + x̄

Th. Cauchy-Hadamard Sia a₀ + a₁ x + a₂ x + ... + a_n xⁿ, {la serie di potenze chiamiamo P} se ∃ il limite = E allora:

lim_n→∞ ^n√|a_n| = E allora il raggio di convergenza è :

• 1/ρ = 0 se E = 0
• 0 se ∃ = +∞
• 1/E se 0 < E < +∞

Dim. ∀ x ∈ 0 _ s . lim_n→∞ ^n√|a_n| |x|ⁿ = ◉ |x|