Serie di potenze
Σm=0+∞am(x-x0)m = f(x)
{am} successioni numeriche a valori reali, x0 fissato.
Serie geometrica
La serie geometrica è un caso particolare delle serie di potenze.
Σm=0+∞xm 1⁄1-x, |x|<1, x∈(−1,1).
|x|<1.
Teorema
Σm=0+∞am(x-x0)m → Se ∃ limm√|am| = l allora la serie converge assolutamente x |x-x0|<R, non converge x |x-x0|>R.
|y-x0|≤R ↔ −R<x−x0<R ↔ x0−R <x< x0+R.
Esempio 1
Σm=0+∞xm
limm√1 = 1.
R = 1.
conv. m−1<x<1.
Cenno di dimostrazione
lim limm√(x-x0)m = limm√|am| = √|x−x0|m = l|x−x0l|<1 ∑ conv. >1 non conv. !=1 Boh.
Esempio 2
Σm=1+∞(−1)m (x−3)m
am = (−1)m ⁄ m2m
x0 = 3.
R = 2.
−2<x−3<2.
1⁄m → 1⁄2.
−2<X−3<2.
Serie di potenze
∑m=0+∞ am(x-x0)m = f(x)
|x| < 1, x ∈ (-1, 1).
x0 fisso.
|x0-c| < R ↔ x0-R < x < x0+R.
Teorema
∑m=0+∞ am(x-x0)m → Se limm√|um|m→+∞ = l allora la serie converge assolutamente x |x-x0|<R, non converge x |x-x0|>R.
limm√|am|m→+∞
Esempio 1
lim 1/m⇒1.
R=1.
Cenni di dimostrazione
limm√|am|m→+∞ = limm√|um| x-x0|m = l x-x0| l.
Esempio 2
am = (-1)m / m2m
x0 = 3.
R = 2.
-2 < X-3 < 2.
|x-3| 2.
Per x=1 Σ 1/n diverge.
Per x=5 Σ(-1)1/n converge per Leibniz.
Allora la serie di potenze converge in 1<x<5.
Teorema
Σ m=0+∞ an(x-x0)n → limm⟶+∞|am+1/am| = | R ½ di convergenza assoluta, la serie conv. ∀ |x-x0|<R.
Esempio 1
Σm=0+∞ (m+1) / m! xm
X0 =0.
an = m+1 / m!
limm⟶+∞ m + 2 / (m+1) ¹ m+1 / m+1 =0 → 0, R =+∞.
|x-0|<+∞ → ∀ x∈R.
Proprietà generali delle serie di potenze
f(x) = Σn=0+∞ an (x-x0)m
R >0.
|x-x0|<R.
∀ 0<r<R le serie conv. totalmente ∀ x∈ [x0-r, x0+r].
|an(x-x0)m|≤|an| Σm=0+∞ |an| conv.
x0-R ←→ x0 ←→ x0+R.
|am(x-x0)m = |am| |(x-x0)m = am| |x-x0|m ≤ |am| rm
Σn=+∞&thinp;(am xm converg.
f(x) è derivabile in (x0-R, x0+R).
f(x) = (∑m=0∞ am (x-x0)m)' = ∑m=1∞ am m (x-x0)m-1
convergenza uniforme.
limm→∞ m√|mam| = l ⟹ R = 1/l.
f''(x) = ∑m=2∞ am m (m-1)(x-x0)m-2
Esempio
(1/1+x)2 = f(x)
x0 = 0.
(Sviluppo in serie di potenze x0=0)
(1/1+x)2 = (1/1+t) 1
t = -x.
-1/1+x = -1/1-t = -∑n=0∞ tn|t|
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