Semiconduttori

Semiconduttori

Metallo:

T=0K

• CB
• VB

Isolanti / Semiconduttori:

T=0K

• CB
• VB
• ε_F
• ε_F

Semiconduttori intrinseci = non drogati

(es., Si, Ge)

All’equilibrio:

• f(ε_F, T)
• f(ε₀)
• f(ε_F+T)
• Δε=ħω_ink_BT

Fermi-Dirac

Elettroni trasferiti in CB lasciando delle vacanze in VB

Supponiamo di avere un semiconduttore intrinseco (Si, Ge) completamente vuoto, VB pieno

Ipotesi: Ce al metallo

Si, Ge:

• ε_C-ε_V = E_gap = d_g

Si:

• E_g=1.11 eV

Ge:

• E_g=0.66 eV

Energia Eg

Elettroni trasferiti in CB (lasciando delle vacanze in VB)

massa efficace:

• e → m_e
• h → m_i e m_h

1. N_c=∫g_c(ε)f(ε_T)dε

Se T=0K allora N_c=0

• Funzione di occupazione degli elettroni in CB
• Distribuzione degli elettroni in CB

Distribuzione dell’elettrone eletto:

g_e elettroni che compaiono come e eletti: intritura banda di conduzione

g_e(ε_C)=V/(2π²)(2m_eħ²)^3/2ε^-ε_C

Semiconduttori

Metallo:

T=0K

CB → semipieno → tanti stati liberi che possono essere popolati

Isolanti / Semiconduttori:

T=0K

Semiconduttori intrinsechi → non drogati

• (es. Si, Ge)

All'equilibrio:

ρ(E_f, T)

Fermi - Dirac

quando ρ(E_f, T) si discosta dal valore zero alcuni elettroni in CB vengono termalizzati e si ristabiliscono alcuni p. nel VB

elettroni trasferiti in CB lasciando delle "buche" in VB

Supponiamo di avere un semiconduttore intrinseco a T=0K

• (CB completamente vuoto, VB pieno)

Eg > 0

Energia di gap

• Si E_g = 1.1 eV
• Ge E_g = 0.66 eV

Elettroni trasferiti in CB (considerando della funzione dei numeri):

massa efficace

N_c = ∫_Ec g_c(E)f_n(E_f,T)dE

se T → 0K

N_c = 0

Osservazione elettrone buca:

Gli elettroni si comportano come e^- e liberi: introtto buca di conduzione

g_c(E_c) = V_c (2m_e/^⁢h²)^3/2 (E - E_c)^1/2

Calcolo di Nc:

Se ɛc = ɛr a metà →

ϕ(ɛc, T) =

→ ϕ(ɛ, T) = 1 / e^ɛ + 1 ↔ e^−x = e^{−(ɛ−ɛc/ k_BT)}

→ distribuzione alla Boltzmann

Per Pc Maxime:

1 − ϕ(ɛc, T) = ↓ = 1 − e^x + x / ₁ − e^k_BT

stastica alla Boltzmann

β(ɛ−μ) = ɛ−μ / k_BT

ɛ − ɛc − ɛr / ₂ e^{−(ɛ−ɛc)/k_BT} dɛ

∞ ∫ 0(ɛ−ɛc)/k_BT) e = V / ₂ ∫ 0(ɛ−μe / k_BT) dɛ

= V / (2π²) ∫ɛr e^{ɛ−ɛc / k_BT} dɛ

= ½ ∫ e^−x dx

Γ(n + 1) = x^∞ x^−x dx

Γ(n (n) = 2 ( ^3/2) =

= ½ Γ(½ + 2)

= (1 / ₂ ₂) = √( ₂ / ₂)

x^3/2

∫₀ x^1/2 dx = Γ ( )

Δ_C = V^1/2 × 2 × ( )^3/2 × e

Δ_V = V

( )^3/2

N_C =

alestio di elettroni

n =                e

N_V = ∫ ( ) dε = ∫ ( ) dε

=

(( )^1/2 − ε ) e;

Δε =

f()

(2 ) e

X=

=

N_V =

V G ×

X e

N_V = ( )^3/2 e

( )

r =

×

Che relazione deve esercitare n e p in un semiconduttore intrinseco?

A qualsiasi temperatura n = p → elettroni in CB sono pressoché VB

¹/_G ( ^2πm_nk_BT/_h² )^3/2 e^{- (E_C - μ) / k_BT} = ¹/_G ( ^2πm_pk_BT/_h² )^3/2 e^{-(μ - E_V) / k_BT}

e

e^{- (E_C - E_V) / k_BT} = ( ^m_n*/_mp* )^3/2

μ = Ε ± ½ ( ^{E_C + E_V}/_kBT ) ( ^m_n*/_mp* )^3/2

Se T = 0

μ = μ(0); ^{E_C + E_V}/₂

μ(T) = μ + 3^k_BT &ln; ( ^m_p*/_mn* )

μ è una funzione decrescente;

m_e* < m_h* → funzione crescente

Esempio:

m_e*/m_h* = 0.3 → μ(T) →

n_p = ¹/_G ( ^2πk_BT / _h² )^3/2 ( ^m_n*m_p* )^3/2 e ^{E_g /k_BT}

G: 300 K

Al: → m: = 2.1 * 10⁹ cm^|

Drogaggio di semiconductori

aggiunta di un atomo di impurità all'interno del semiconduttore che può fungere da:

• donatore di elettroni
• accettore di elettroni

S ₂ /Ge ₂ - _struttura

Si ₂ S _{3 stabilizzato}

Si _{4 struttura tetraedrica}

d gruppo V → Si _p

gruppo II

_{Elettrone della zona di conduzione:} l'elettrone non è molto legato

_{elettroni da cromo, cadmio, alluminio, gallio, indio}

accettore

d è il donatore.

accettore _nella

doppio _{come donatore}

e perimetro valente

_stati

energia di legame tra e → atomo donatore o lacuna o atomo accettore?

Per elettrone di idrogeno:

E ₁ = 4 me e ² =13,6 eV

E = d ( d , E _k )

r _n = r ₁ E _k m e e ²

E = m ₁ A _{E 02} → 0,53

• Ht
• 0,53 d

energia della stessa ordine di grandezza di kT a T ambiente (25 m e V)

l'elettrone nello stato legato si trova a G (cella di struttura dello stato della terra del campo magnetico del orbitale H)

stato metastabile quindi poco legata

Se drogaggio altera l'energia di Fermi

1. drogaggio: altera E _F → donare
2. accedere livello → condizioni
• per semi di trasporto
• ampi valori
3. accedere da acc), per opposta condizione ionica
4. E _{V Fermi}

Elettroni doppi comprimere

Te livello di Fermi è il punto tra il primo stato non occupato e l'ultimo occupato.

Nel caso dei metalli, gli stati sono vicini in energia, ed è lo stesso di Ef: penultimo elettrone stato occupato.

Eccitazione elementare

Quando arriva un fotone, crea una coppia elettrone-lacuna.

ℓω → e^- + h

elettrone promosso e salta CB (se l'energia ℓω è maggiore della band gap)

E_f

band gap diretta → ℓω = E_g

E_v

Band gap indiretta: il fotone arriva e crea un elettrone, una buca e un fonone

ℓω → e^- + h + ℓΩ

asse y energia

fonone che si genera perché il fotone cambia k, le bande della VB e le bande della CB non si allineano

manca per la conservazione dell'energia e della quantità di moto

band gap diretta: ℓω = E_g

indiretta: ∢(k) = Ω

ℓω = E_g + ℓΩ

energia per creare il fonone che fa il ki come vettore d'onda

Sistemi di questo tipo non sono emettitori di luce nella decadicazione invece di uscire un fotone viene eccitato un fonone.

= Nella band gap diretta non intervengono fononi, si possono emettere fotoni nel elemento (es., GaAs)

Quando il fotone arriva, si formano e^- e h e un aumento di temperatura porta alla combinazione

stato disgregati

situazione di transizione

L'eccitone dopo piu o meno tempo si rompe

1 = 1/m_e + 1/m_h

Si: m_e = 0,3 m_e

m_h = 0,54 m_ee

m = 0,18 m_e

E_exc = 1/2 (k_k + k_i) + E_ch/m_e

E_i = 0,54 x 1,5 - 3,3

Se fornisco energia hv = E_g + ΔE_i

E_f, E_i

α = 0

Esercizio

Cristallo perfetto di InAs = semiconduttore a banda proibita

T = 0K

E_g(0)= 0,42 eV

μ(T) = ? o T = 300K

• m_e(r) = 1 (2.m_e kT
• n(r) = m(0)
• μ(00)